概率統(tǒng)計-第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

（浙大·第四版）《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》王松桂等

科學(xué)出版社《概率論基礎(chǔ)》李賢平等（復(fù)旦大學(xué)）

高等教育出版社《概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊》

目錄第一章概率論的基本概念第二章隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律及中心極限定律第六章樣本及抽樣分布第七章參數(shù)估計第八章假設(shè)檢驗(yàn)第九章方差分析及回歸分析引例：某車間有200臺車床，由于經(jīng)常需要檢修、測量、調(diào)換刀具、變換位置等種種原因，即使在生產(chǎn)期間，各臺車床還是時常需要停車。若每臺車床有60%的時間在開動，而每臺車床開動時需要耗電1千瓦，問應(yīng)供給這個車間多少電力才能保證此車間正常生產(chǎn)？

某時刻同時工作的車床數(shù)不確定！自然界與人類社會中存在兩類不同的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生（結(jié)果確定）

例如：磁鐵同性兩極必然相斥；

標(biāo)準(zhǔn)氣壓下,水在100℃沸騰。隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下,可能出現(xiàn)這樣的情況,也可能出現(xiàn)那樣的情況（結(jié)果具有不確定性）

例如：擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

拋一枚硬幣,觀察正面

H反面T出現(xiàn)的情況。問題：隨機(jī)現(xiàn)象是否存在某種規(guī)律性呢？

對某種現(xiàn)象的觀察、測量，或進(jìn)行一次科學(xué)實(shí)驗(yàn)概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象

統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支第一章概率論的基本概念隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間、隨機(jī)事件頻率與概率等可能概型（古典概型、幾何概型）條件概率事件的獨(dú)立性

§1.隨機(jī)試驗(yàn)

試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不止一個，并且事先可以明確知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；在一次試驗(yàn)之前，不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。

定義1.1.1（隨機(jī)試驗(yàn)）設(shè)E是一個試驗(yàn)，若它滿足條件①②③，則稱E為隨機(jī)試驗(yàn)，以下簡稱試驗(yàn)。

§2.樣本空間、隨機(jī)事件定義1.2.1（樣本空間）設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，E的所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，即試驗(yàn)E的每個結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。例如:

“滿足某種條件的樣本點(diǎn)”

事件的關(guān)系和運(yùn)算

SAB

A∪B表示“A與B至少有一個發(fā)生”，被稱為A與B的和事件。A∩B表示“A與B同時發(fā)生”，被稱為A與B的積事件，也記為AB。注①：和事件、積事件可以推廣到n個事件或者可列個事件的情形。

SBASABA∪BA∩B

特殊情況:若A是B的子事件,那么A與B的和事件、積事件分別是?

ASB5.

AB=?

ABS6.A∪B=S且AB=?事件運(yùn)算中”+”和”﹣”并非代數(shù)運(yùn)算符,不能進(jìn)行消元!SAB

IO14235事件的運(yùn)算律

={甲、乙至少有一個來聽課}；={甲、乙都來聽課}；={甲、乙都不來聽課}={甲、乙至少有一個沒來聽課}={甲、乙不都來聽課}◎小結(jié)確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性；隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、樣本點(diǎn)；隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的關(guān)系：包含關(guān)系、相等；事件的運(yùn)算：和事件、積事件、互斥事件、逆事件；事件的運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律?！蛐〗Y(jié)確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性；隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、樣本點(diǎn)；隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的關(guān)系：包含關(guān)系、相等；事件的運(yùn)算：和事件、積事件、互斥事件、逆事件；事件的運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律。集合的觀點(diǎn)

作業(yè)：

P24頁習(xí)題第1題、第2題§3.頻率與概率

頻率

1/100015/17=88%頻率的性質(zhì)

例1.3.1

拋硬幣出現(xiàn)正面H的頻率。

表1-1隨機(jī)波動性

“頻率的穩(wěn)定值”概率

定量的描述事件發(fā)生的可能性大小概率的性質(zhì)

§4.古典概型

古典概型中事件概率的計算問題

k是事件A的有利場合數(shù)，n是樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)(A中包含的樣本點(diǎn)個數(shù))

“古典概型”預(yù)備知識

排列無放回選?。簭膎個不同的元素中無放回的選取m次進(jìn)行排列(m≤n)，也就是說元素不允許重復(fù)，其總數(shù)為

這種排列稱為選排列。特別當(dāng)n=m時，稱為全排列。有放回選?。簭膎個不同的元素中有放回的選取m次進(jìn)行排列，這時的元素允許重復(fù)，其總數(shù)為

這種排列稱為有重復(fù)的排列。（與次序有關(guān)）

“分組”的思想有放回選取：從n個不同元素中有放回的選取m次，不考慮排列次序，其總數(shù)為★理解“隔板法”！

“古典概型”概率計算的例子例1.4.2將一部四本頭的文集按任意次序放到書架上去，問各冊自右向左或者自左向右恰成1,2,3,4的順序排列的概率是多少？例1.4.3從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋中至少有2只配成一雙的概率。注意:不能直接用來計算！

例1.4.4將n個球隨機(jī)放入N個盒子中，允許有空盒。試求以下幾個事件的概率。A：某指定的n個盒子中各有一球；B：恰有n個盒子中各有一球(n≤N)；C：某指定的盒子中恰有m個球；D：每個盒子至多一個球。注：利用P(B)，可以計算出n個人中至少有兩人生日相同的概率。P(D)=P(B)例1.4.5N件產(chǎn)品，其中有D件次品，現(xiàn)從中任意抽取n

件，問其中恰有k件次品的概率(k≤D)。超幾何分布例1.4.6（抽簽問題）袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同之外，其它方面(質(zhì)地、大小)沒有差別?，F(xiàn)有k個人依次在袋中取一只球，分別求在有放回選取和無放回選取的情況下，第i個人取到黑球的概率，其中i=1,…,k。有放回：無放回：

※建議：設(shè)法將問題歸入已學(xué)模型；對復(fù)雜問題，可嘗試將其分解為若干步驟，再應(yīng)用乘法原理；合理應(yīng)用逆事件；如果問題不易理解，不妨先考慮特殊情況。

例1假設(shè)在一片5萬平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架貯藏著石油。如果再這片海域里隨意選定一點(diǎn)鉆探，問鉆到石油的概率是多少？補(bǔ)充：幾何概型例2在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。

蒙特卡洛方法/計算機(jī)隨機(jī)模擬方法◎小結(jié)表征事件發(fā)生可能性大小的量——概率(定義)概率的性質(zhì)（六條）古典概型：等可能性+有限樣本點(diǎn)乘法原理、加法原理、排列組合基本公式以及一些經(jīng)典模型和方法幾何概型：等可能性+無限樣本點(diǎn)（幾何方法）§5.條件概率

幾何概型：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間是區(qū)域Ω，以m(Ω)、m(A)、m(AB)分別代表事件Ω、A、AB對應(yīng)點(diǎn)集的測度，并且m(A)＞0，那么

①號②號紅色23白色47

概率的性質(zhì)對條件概率都成立作業(yè)！

例1.5.3袋中有r只紅球，t只白球，每次從袋中任取一只球，觀察它的顏色后放回，并放入a只同色球?，F(xiàn)連續(xù)取球4次，求第一、二次取到紅球，第三、四次取到白球的概率。注①：卜里耶模型——描述傳染病的模型。注②：a=0對應(yīng)有放回摸球，a=-1對應(yīng)無放回摸球。全概率公式簡單復(fù)雜

B1B2BnSA

上式稱為全概率公式。

※找到樣本空間的一個合適的劃分！例1.5.4（二進(jìn)信道模型）若發(fā)報機(jī)以0.7和0.3的概率發(fā)出信號0和1，由于隨機(jī)干擾的影響，當(dāng)發(fā)出信號0時，接收機(jī)不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信號0和1；同樣的，當(dāng)發(fā)報機(jī)發(fā)出信號1時，接收機(jī)以概率0.9和0.1收到信號1和0.考慮：接收機(jī)收到0的概率；接收機(jī)收到0時，發(fā)報機(jī)是

發(fā)出信號0的概率。01010.80.90.10.2原因結(jié)果貝葉斯公式

由貝葉斯公式得

§6.獨(dú)立性引例：設(shè)試驗(yàn)E為“拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況”，事件A為“甲幣出現(xiàn)H”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”。易知E的樣本空間為S={HH，HT，TH，TT}，我們有：事件A與事件B的出現(xiàn)具有某種“獨(dú)立性”

(1)(2)

事件獨(dú)立性與概率的計算相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率例1.6.3假設(shè)每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。

回憶兩兩互不相容的情況在“可靠性理論”中的應(yīng)用對于一個元件，它能正常工作的概率為p，這稱為它的可靠性；若元件組成系統(tǒng)，則系統(tǒng)能正常工作的概率就稱為該系統(tǒng)的可靠性。例1.6.4（附加通路的系統(tǒng)）如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件可靠性均為r(0<r<1)，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求下面系統(tǒng)的可靠性。例1.6.5（附加元件的系統(tǒng)）在例1.6.2的條件下，試求下面附加元件系統(tǒng)的可靠性。每對并聯(lián)元件的可靠性為：系統(tǒng)的可靠性為：

例1.6.6要驗(yàn)收一批（100件）樂器，方案如下：自該批樂器中隨機(jī)取3件進(jìn)行測試（設(shè)3件樂器的測試結(jié)果是相互獨(dú)立的），若3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純，則這批樂器就被拒絕接受。設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率是0.95；而一件音色純的樂器被誤認(rèn)為不純的概率是0.01。如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的，試問這批樂器被接收的概率是多少？