高中數(shù)學(xué)第二章 平面向量章末復(fù)習(xí)

ruize章末復(fù)習(xí)學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.回梳理向量的有關(guān)概念步體會向量的有關(guān)概念的特征系整理向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及相應(yīng)的運(yùn)算律和運(yùn)算性.3.體會應(yīng)用向量解決問題的基本思想和基本方進(jìn)步理解向量的“工具”性作用．

ruize1．向量的運(yùn)算：設(shè)a＝x，)，b＝x，)1122向量運(yùn)算

法則(或幾何意義

坐標(biāo)運(yùn)算加法

a＋b＝x＋，＋)1212向量的線性運(yùn)算減法

a－b＝x－，－)1212數(shù)乘

(1)|a＝λa；當(dāng)＞時λa方向與a的方向相同；當(dāng)＜，a的方向與a方向

a＝λx，)11

12121121212112212向量的數(shù)量積運(yùn)算

ruize相反；當(dāng)＝時λ＝0ab＝ab|cos(為a與的角定0a，數(shù)量積的幾何意義是a的與b在a方上的投影的積

ab＝x＋12122．個(1)平向量基本定理①定理：如果e，e是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，，a＝e＋e.②基底：把不共線的向量e，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

ruize(2)向共線定理向量a≠0與b共，且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使＝a3．向量的平行與垂直a，b為零向量，設(shè)a＝x，)，b＝x，)，1122a∥ba⊥b

有唯一實(shí)數(shù)λ使b＝a≠0)ab0

xy－y＝1221xx＋y＝12121．面內(nèi)的任何兩個向量都可作為一組基底(×

)提示→→2．若向B和量D共線，則，B，，四點(diǎn)在同一直線上．×)提示∥CD3．若ab＝，a＝0或b＝0×)4．若ab>0，則和b的夾角為銳角；若<0，則a和b的角為鈍角(×)提示abab>0ab0.abab<0abπ.

ruize類型一向量的線性運(yùn)算→→→→例1若D點(diǎn)三角形ABC邊BC上且D4DB＝rABsAC則3＋值為

)16A.58C.5

12B.54D.5考點(diǎn)平向量基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利平面向量基本定理求數(shù)★答案★→→→→解析CDDBsAC→4→4→→→→CD(ABAC55

1μADAD→1μADAD→24441248，s，3s.55555反思與感悟向共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線、共點(diǎn)問題．→→跟蹤訓(xùn)練1(2017·廣深圳二模如所示方形ABCD中是的中點(diǎn)C＝→＋，λ＋等()4A.315C.8考點(diǎn)平向量基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利平面向量基本定理求數(shù)★答案★→→→解析CμBD→→→→(ABBM(BAAD

5B.3D．λ

→→→→2(μABλμAD→→→ABADμ11μ，35μ，B.3

k1111ruizek1111類型二向量的數(shù)量積運(yùn)算例2已a(bǔ)＝，α)，b＝β，β)，且ka＋＝akb>0)．(1)用示數(shù)量積ab(2)求ab最小值，并求出此時a與b的角θ的小．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的運(yùn)算性與法則題點(diǎn)求量的數(shù)量積的最值解

(1)kabb(ab3(ak)2∴2a

2abb

2

3a

6ab3kb2.∴k2

3)a

28ka(1kb20.∵acos21bcos2βsin2β1∴2

38ka13

2

02k2221∴ab(>0)8k4k2111(2)abk.4k4k11(k)k([∞411∴1fk)f(1)×1)，42abcosθ

ab，ab∵∈180∴60°.反思與感悟數(shù)積運(yùn)算是向量運(yùn)算的核心，利用向量數(shù)量積可以解決以下問題：(1)設(shè)a＝x，，b＝x，)，1122a∥b?y－＝，1221a⊥b?x＋＝0.1212(2)求量的夾角和模的問題①設(shè)a＝x，，a＝x＋2.②兩向量夾角的余弦值≤≤abcos＝＝ab

xx＋y1212x2＋2＋21122

.跟蹤訓(xùn)練2已△ABC是長為1的邊三角形，點(diǎn)D，分別是邊AB，的點(diǎn)，連→→接DE并長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為)

→→→→13ACruize→→→→13AC51111A．B.C.D.8848考點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義題點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義★答案★→→→→→→→→3→解析∵ABAFADABAC2224∴·AFAB)·

→→2411133113131×××＋×××＋－.22244244288類型三向量坐標(biāo)法在平面幾何的應(yīng)用例3金華十校期已知等邊ABC的長為2P為ABC內(nèi)包括三條一則→→→PB＋)的大值是)3A．B.C．D．22考點(diǎn)平向量數(shù)量積的坐標(biāo)表與應(yīng)用題點(diǎn)坐形式下的數(shù)量積運(yùn)算★答案★解析BCOOxy(03)C(1,0)Pxy→→→A(3yPBx

44→→→44→→→44→→→A)2(x3y)·(2(2

33y23y)2y22tx

2

2

ABC0

2

Pt

7maxA)2反思與感悟把何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而解決問題．這樣的解題方法具有普遍性．跟蹤訓(xùn)練3如半徑為3的形的心角為120°點(diǎn)C在→→→若＝μOB，λ＋等()

上且∠＝A.3

B.

3343C.3

D．3考點(diǎn)平向量基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利平面向量基本定理求數(shù)★答案★解析∠90°OOCy

32133ruize32133A(0C(B(×30°330°)→→→OλOAμOB(33)3×

313×22

3μ××33×μ2

2μ3μ3.→→1．D為△ABC所平面內(nèi)一點(diǎn)BD＝CD則(→1→4→AD＝－＋33

)

ruize→→1→＝AB－33→→1→＝AB－32→1→3→AD＝－＋22考點(diǎn)向加減法的綜合運(yùn)算及用題點(diǎn)用知向量表示未知向量★答案★→→→→→→解析∵CD∴AD→→→∴AD3AC→3→1→∴AB2212．知a＝，ab，a－22

＝，則a與的角等于)A．45°C60°D120°考點(diǎn)平向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)向模與夾角的綜合應(yīng)用★答案★解析abθ1aab|·cosθa21b|cosθ①2ab2

a2

b2

2ab1b211b1.1①②cosθ.2θ∈C.3．知向量a＝，＝－若ma＋b與a－b共，則的為

)1A.B．．2

D．－考點(diǎn)向平行與垂直的坐標(biāo)表的應(yīng)用題點(diǎn)已向量平行求參數(shù)★答案★

ruize解析a4bm4,38)ab∵a4ba2b∴4)×1)m×02.→→→→→→4．向O＝，－3)，OA＝OB，OAOB＝，＝________.考點(diǎn)平向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利數(shù)量積求向量的?！锎鸢浮?5→→解析OOA|OB10→AB2025平面向量a＝1)b，存在不同時為0的數(shù)k和使x＝a＋t222y＝－a＋b，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式＝t)．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的坐標(biāo)表與應(yīng)用題點(diǎn)坐形式下的數(shù)量積運(yùn)算3解a(31)b20a2b1x⊥[a(23)bkab0

－b，k

2

abkt2

3)ab(2

3)b0114k3t0kt33)(tt344

31f(tt3t41由于向量有幾何法和坐標(biāo)法種表示方法的算也因?yàn)檫@兩種不同的表示方法而有兩

ruize種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法，在具體做題時要善于從不同的角度考慮問題．2向是一個有“”幾何量因在研究向量的有關(guān)問題時一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技.一、選擇題1．列命題中正確的()→→→OA－→→＋＝0→C0AB＝0→→→→AB＋CD＝考點(diǎn)向的概念題點(diǎn)向的性質(zhì)★答案★→→→→→解析OBBAABBA→→→00AB0.2．知A，三點(diǎn)在一條直線上，且A(3，－6)，(－，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)()A．－B．9C．－．13考點(diǎn)向共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)題點(diǎn)已三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo)

ruize★答案★→→解析(yA8,8)AC(336∵BC∴y9.88→→3．平面直角坐標(biāo)系xOy，已知四邊形ABCD是行四邊形AB＝，AD＝，→→則D等()A．．C3D．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的坐標(biāo)表與應(yīng)用題點(diǎn)坐形式下的數(shù)量積運(yùn)算★答案★→→→→→解析∵ABCDABAD(1(2,1)(3AD2×(1)×5.4．遼大河高中高一期已平面向量a，3)＝(4，2)，＋λ與a垂直，則等()A．－C．1

B1D．考點(diǎn)向平行與垂直的坐標(biāo)表的應(yīng)用題點(diǎn)已向量垂直求參數(shù)★答案★解析aλbλ3λaba(b)·a043(21.5．向量a與b的角為，b＝4，(a＋ba－3b)＝－，則向量a的為)A．C6

B4D．考點(diǎn)平向量模與夾角的坐標(biāo)示的應(yīng)用題點(diǎn)利坐標(biāo)求向量的?！锎鸢浮锝馕觥ab|·cosa(2)·(a3ba2

b2

aba22|a9672.a6.

112B.，11C.，21112B.，11C.，216．義運(yùn)算a×b＝abθ其中θ是量b的夾角．x＝y(tǒng)＝，xy＝－，則x×等()A．C8或－8

B－D．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義題點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義★答案★解析∵xy5xyxy3∴θ.2554θ∈π]∴sin，54∴xy|xy|·sinθ2××5→→→7如圖所示在△ABC中AD＝＝ECCD與BE交點(diǎn)F設(shè)＝＝AF＝xa＋y，則(，)為)A.，22考點(diǎn)平向量基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利平面向量基本定理求數(shù)★答案★→→解析B.

D.，32

→ACAB(1λλAC→ABAC→ACAB(1λλAC→ABACμABAC121232|→→→→→→→→ABBFλ

1→→→1→22→→CF→→→→→μ

1→→→→22→→ABAμ12

3→1→1→FABAC33二、填空題8．a(chǎn)＝，b＝，a與b的角為，若(3a＋b⊥a－b，的為_______．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)已向量夾角求參數(shù)★答案★

238解析(a5bmabm2m3)abb

0m3)××60°235×m.89．菱形ABCD的長為2則－＋CD＝考點(diǎn)向加、減法的綜合運(yùn)算應(yīng)用題點(diǎn)利向量的加、減法化簡量★答案★2解析

|→→→||→→→|→→||→ABCDABCDAD10．知向量a，b夾為，a＝，a－＝10，b＝________.考點(diǎn)平向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利數(shù)量積求向量的?！锎鸢浮?2解析ab45°a|2ab10.4a

2b

2

4a

224b2

4|b45°10

ruizeb2

22|b60b≥32.．知a是面內(nèi)的單位向量若向量b足a－b＝，則b的取值范圍_．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利數(shù)量積求向量的?！锎鸢浮颷0,1]解析bababb2

a||bθb2

π∴ba|cosθcos(b∈0∴≤b≤1.三、解答題→→12．四宜中高一月如，在OAB中為段AB上一點(diǎn)，且OP＝＋→yOB→→(1)若＝，求，的值；→→→→→→→→(2)若＝PB，OA＝，|OB＝，且O與的角為60°，求OP的值．考點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義題點(diǎn)平向量數(shù)量積的概念與何意義解

→→→1→1→(1)APPBOOAOB221x.2→→(2)A3PB

OPOAOB·→→→2ruizeOPOAOB·→→→2→1→3→OOAO