小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)學(xué)生

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)學(xué)生第一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)先前知識(shí)

元認(rèn)知、非認(rèn)知因素、兒童心理特征、學(xué)習(xí)環(huán)境、評(píng)價(jià)……

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)（主體）

數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)技能的習(xí)得、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決、數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)、幾何學(xué)習(xí)、代數(shù)學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論拓展問(wèn)題

（章節(jié)后的研討問(wèn)題）第二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日先前知識(shí)梳理：元認(rèn)知問(wèn)題：

1.什么是元認(rèn)知？包含哪些成份？其核心成份是什么？各成份之間具有怎樣的關(guān)系？并舉例。

2.培養(yǎng)小學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控能力的策略有哪些？為什么？并舉例。

……第三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日先前知識(shí)梳理：非認(rèn)知因素為學(xué)正如上水船，方平穩(wěn)處，盡行不妨，及到灘脊急流之中，舟人來(lái)這上一篙，不可放緩。直須著力撐上，不一步不緊。放退一步，則此船不得上矣。

——朱熹：《朱子語(yǔ)類》

在科學(xué)上面沒(méi)有平坦的大路可走，只有那在崎嶇小路的登攀上不畏勞苦的人，才有希望達(dá)到光輝的頂點(diǎn)。

——馬克思：《資本論》法文版序言第四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日先前知識(shí)梳理：非認(rèn)知因素問(wèn)題：

1.什么是非認(rèn)知因素？

2.非認(rèn)知因素對(duì)學(xué)習(xí)有什么作用？

3.描述一個(gè)關(guān)于非認(rèn)知因素的教育故事。

……第五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日先前知識(shí)梳理：兒童的心理特征問(wèn)題：

1.兒童的認(rèn)知規(guī)律？并舉例

2.兒童如何對(duì)待別人的評(píng)價(jià)？并舉例

3.兒童的心理特點(diǎn)？并舉例

……第六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解什么是數(shù)學(xué)概念從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展看，數(shù)學(xué)概念一是反映直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，二是反映在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上再經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象的結(jié)果。第七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

1.概念發(fā)展的抽象性

1）數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)：只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，所達(dá)到的抽象程度大大超出其他學(xué)科中的一般抽象；數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中，如果自然科學(xué)家為了證明自己的論斷常常求助于實(shí)驗(yàn)，那么數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計(jì)算，……這樣看來(lái)，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的、思辨的，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的、思辨的（亞歷山大洛夫Alexanderlov，1988）第八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

1.概念發(fā)展的抽象性

2）數(shù)學(xué)概念并非一開(kāi)始就是精確的，有一個(gè)抽象化和精致化的過(guò)程：（拉卡托斯lakatos，1976）產(chǎn)生一個(gè)模糊的想法；

嘗試對(duì)這個(gè)想法用語(yǔ)言進(jìn)行描述；通過(guò)形式的定義得到初步的概念；

嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗(yàn)證相關(guān)定理、尋找等價(jià)或者相似的對(duì)象；對(duì)原先的定義進(jìn)行修正以排除不合理的推論；

調(diào)整、變更或者拓展對(duì)概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性第九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

2.概念表征的多元性

表征：用某種形式將事物或想法重新表現(xiàn)出來(lái)，以達(dá)到交流的目的；根據(jù)信息加工理論，表征就是以一物代替另一物。第十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

2.概念表征的多元性

萊什等人認(rèn)為，學(xué)生必須具備下列條件才算了解了一個(gè)概念：

1）必須能將此概念放入各種不同的表征系統(tǒng)中；

2）在給定的表征系統(tǒng)中，必須能夠有彈性地處理這個(gè)概念；

3）必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)。第十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

3.概念理解的層次性

概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程度都反映了數(shù)學(xué)概念理解的層次性。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)可分為五個(gè)階段（克勞斯梅爾Klansmeier，等人）

具體期：學(xué)生能理解一個(gè)先前經(jīng)驗(yàn)過(guò)的例子；

確認(rèn)期：可以了解一個(gè)之前遭遇的例子，即使這個(gè)例子是由不同時(shí)空觀點(diǎn)或不同形式來(lái)觀察的；

分類期：能夠舉出正例和反例；

生產(chǎn)期：可以自行舉出關(guān)于此概念的例子；

形成期：可以說(shuō)出此概念的定義。斯根普（skemp）：初級(jí)概念（直接由感知得到）

二級(jí)概念（初級(jí)概念再抽象）第十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

4.概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)概念的前三個(gè)特征直接導(dǎo)致了它的第四個(gè)特征，即數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系性。這里的聯(lián)系既包括概念與背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系。因此，數(shù)學(xué)概念都被嵌入到組織良好的概念體系中。這樣，個(gè)別概念的意義總有部分是來(lái)自與其他概念的相互關(guān)系，或出自系統(tǒng)的整體特征（Lesh,1979）。

第十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

兒童產(chǎn)生錯(cuò)誤概念的原因及解決辦法

錯(cuò)誤概念形成的原因可能是：（1）從直接的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)或日常生活經(jīng)驗(yàn)和觀察得來(lái)；（2）由通常的用語(yǔ)或隱喻的使用得來(lái)；（3）由正式或非正式的教學(xué)而來(lái)；（4）同伴的影響而來(lái)；（5）來(lái)自教科書(shū)的內(nèi)容或教師的教學(xué)過(guò)程；（6）由字義的聯(lián)想、混淆、沖突或缺乏知識(shí)。（Sutton&West,1982）第十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

兒童產(chǎn)生錯(cuò)誤概念的原因及解決辦法

從邏輯上看，錯(cuò)誤概念的類型主要有以下三種（Markle&Tiemann,1970）：

兒童錯(cuò)誤概念的解決辦法：

1.前兩種是由于對(duì)概念的內(nèi)涵把握得不夠準(zhǔn)確，從而縮小或擴(kuò)大了概念的外延，解決辦法：分別找到相應(yīng)的正、反、特例；

2.第三種則是由于對(duì)概念內(nèi)涵的理解出現(xiàn)了偏離，從而形成了交叉外延，解決辦法：必須同時(shí)指出交集以外的正反、特例。概念（1）類化不足（2）過(guò)度類化（3）概念偏離第十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解概念理解的評(píng)價(jià)途徑用于評(píng)價(jià)學(xué)生的概念理解的途徑比較多，其中包括測(cè)試（包括標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試）、問(wèn)卷、訪談、出聲思維，等等。近年來(lái)，隨著動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)方式的流行，概念圖逐漸成為評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的重要手段，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也不例外。（1）什么是概念圖（conceptmap）概念圖最早由美國(guó)康奈爾大學(xué)的諾瓦克（JosephD.Novak）教授等人于20世紀(jì)60年代提出，即用圖式的方法來(lái)表達(dá)人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱形知識(shí)顯性化、可視化，便于人們思考、交流、表達(dá)。概念圖又稱為概念構(gòu)圖或概念地圖。第十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解

概念理解的評(píng)價(jià)途徑

（3）概念圖的圖表結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：方框中的概念聯(lián)結(jié)線：表示兩個(gè)概念之間的意義聯(lián)系聯(lián)結(jié)詞：置于連線上的兩個(gè)概念之間形成命題的聯(lián)系詞概念圖軟件Inspiration

第十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解概念理解的評(píng)價(jià)途徑

（4）概念圖計(jì)分方法簡(jiǎn)介成份結(jié)構(gòu)評(píng)分法

1）關(guān)系：一個(gè)有效且有意義的聯(lián)結(jié)關(guān)系，給予一分；

2）階層：每一個(gè)有效的階層，給予五分；

3）交叉聯(lián)結(jié)：概念圖中某概念階層的一部分和另一階層的部分概念間呈現(xiàn)有意義的聯(lián)結(jié)。一個(gè)重要且有效的交叉聯(lián)結(jié)，給予十分，有效但不能指出相關(guān)概念（或命題）所組成的交叉聯(lián)結(jié)，則給予兩分；

4）舉例:根據(jù)自己理解，舉出特殊且具代表性的例子（非現(xiàn)成例子）。舉出一個(gè)例子，給予一分。

總分越高，表示學(xué)生概念學(xué)習(xí)越好。其他：相似度評(píng)價(jià)法（學(xué)生與專家的概念圖比較）綜合評(píng)定法（綜合運(yùn)用基于成份和基于專家圖匹配的兩種方法）第十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)概念的理解思考題：數(shù)學(xué)概念表征的意義何在？根據(jù)你的了解，舉一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)概念錯(cuò)誤的例子，說(shuō)明屬于什么類型，并找出解決辦法。根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特征和兒童數(shù)學(xué)概念的形成途徑，你認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有哪些有效策略？請(qǐng)舉例。你認(rèn)為用概念圖評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的掌握情況的優(yōu)勢(shì)和不足是什么？根據(jù)本專題內(nèi)容，畫(huà)出你的概念圖。

你還能提出什么問(wèn)題？第十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得什么是技能和數(shù)學(xué)技能數(shù)學(xué)技能的基本特征

中小學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)技能的形成第二十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得什么是技能和數(shù)學(xué)技能

在認(rèn)知心理學(xué)中，技能一般被看作是按照固定步驟進(jìn)行，利用常規(guī)思路順利完成某種任務(wù)的一種動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。數(shù)學(xué)技能是指，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)訓(xùn)練得以順利完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動(dòng)方式或心智行動(dòng)方式。也可以說(shuō)，是通過(guò)數(shù)學(xué)練習(xí)在個(gè)體上固定下來(lái)的自動(dòng)化活動(dòng)方式。據(jù)其本身性質(zhì)和特點(diǎn)，數(shù)學(xué)技能可以分為操作技能（動(dòng)作技能）和心智技能（智力技能）兩種類型。第二十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得數(shù)學(xué)技能的基本特征

1.數(shù)學(xué)操作技能的特征

操作性數(shù)學(xué)技能是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中由一系列實(shí)際動(dòng)作以合理、完善的程序構(gòu)成的操作活動(dòng)方式。三個(gè)基本特征：外顯性客觀性非簡(jiǎn)約性第二十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得數(shù)學(xué)技能的基本特征

2.數(shù)學(xué)心智技能的特征

數(shù)學(xué)心智技能（認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能），是指借助內(nèi)部語(yǔ)言在頭腦中按一定的、合理的、完善的方式自動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的方式。有以下特點(diǎn)：直接對(duì)象是抽象的數(shù)學(xué)概念、命題與表象，而不是具有物質(zhì)形態(tài)的客觀對(duì)象；主體的變化具有很強(qiáng)的內(nèi)隱性；心智活動(dòng)的簡(jiǎn)縮性；

第二十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

1.國(guó)外數(shù)學(xué)課程中的技能美國(guó)：注重在課程文件中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的是加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與框架（比NCTM更重視），規(guī)定在12年的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須熟練技能：能正確算出加法、減法、乘法和除法的答案；能正確找出等值的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分比；能運(yùn)用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分比；能測(cè)量；能計(jì)算出簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)和面積；能解釋日常生活中遇到的圖表；第二十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

1.國(guó)外數(shù)學(xué)課程中的技能美國(guó)：注重在課程文件中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的是加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與框架（比NCTM更重視），規(guī)定在12年的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須熟練技能：能從日常生活中的一組數(shù)據(jù)找出中位數(shù)和平均數(shù)；能運(yùn)用科學(xué)記號(hào)表示非常大或非常小的數(shù)；能運(yùn)用基本幾何性質(zhì)，包括畢達(dá)哥拉斯定律；能根據(jù)已知兩點(diǎn)，找出通過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的線性方程式；能解出線性方程式和線性方程式組的解；等等第二十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

2.中國(guó)數(shù)學(xué)“雙基”之一的數(shù)學(xué)基本技能數(shù)學(xué)運(yùn)算技能：符號(hào)操作技能：圖形處理技能：數(shù)據(jù)分析技能：推理論證技能：數(shù)學(xué)交流技能：第二十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（1）數(shù)學(xué)思維的含義數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。數(shù)學(xué)思維是一個(gè)從外感到內(nèi)化的交互作用過(guò)程，是認(rèn)知主體將外部材料轉(zhuǎn)化為內(nèi)部材料的信息增殖過(guò)程，也是從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)、從感性材料轉(zhuǎn)化為理性材料以及理性材料不斷純化和多樣化的前進(jìn)過(guò)程。

第二十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維

（2）數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)

概括性、問(wèn)題性（3）數(shù)學(xué)思維方式

思維方式：是內(nèi)化于人腦中的世界觀和方法論的理性認(rèn)識(shí)方式，是體現(xiàn)一定思維心智方法和思維內(nèi)容的思維模式。

數(shù)學(xué)思維方式：就是在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，主體進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的相對(duì)定型、相對(duì)穩(wěn)定的思維樣式。它是數(shù)學(xué)思維心智方法與數(shù)學(xué)思維形式的統(tǒng)一，并且通過(guò)一定的數(shù)學(xué)思維內(nèi)容體現(xiàn)出來(lái)。第二十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）指調(diào)動(dòng)各種信息（已知的或回憶的），按照常規(guī)習(xí)慣尋求解決問(wèn)題、整理知識(shí)或總結(jié)方法的思維方式。（1）特點(diǎn)

思路集中，所有信息都朝向一個(gè)目標(biāo)深入發(fā)展，以生成新信息。在思維方向上具有定向性、層次性和聚合性；在思維內(nèi)容上具有求同性和專注性。通常較多采用分析、綜合、概括等思維心智操作方法。第二十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

1）定向思維（正向思維）：連續(xù)性、漸進(jìn)性和聯(lián)結(jié)性由定向思維所造成的思維的趨向性或?qū)Ｗ⑿缘臓顟B(tài)就稱為思維定勢(shì)。思維定勢(shì)有正遷移和負(fù)遷移作用。第三十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

2）縱向思維把思維目標(biāo)沿著逐步深入的方向分成若干前后聯(lián)系的小目標(biāo)（中途點(diǎn)或環(huán)節(jié)），通過(guò)小目標(biāo)的逐個(gè)解決達(dá)到解決大目標(biāo)的思維方式。思維的連續(xù)性、漸進(jìn)性和聯(lián)結(jié)性，但更強(qiáng)調(diào)思維環(huán)節(jié)之間的層次性和因果性。第三十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維發(fā)散思維（輻射思維）（1）特點(diǎn)思路廣闊、尋求變異，對(duì)已知信息通過(guò)轉(zhuǎn)換或改造進(jìn)行擴(kuò)散、派生以形成各種新信息。在思維內(nèi)容上，具有變通性和開(kāi)放性；在思維方向上，具有逆向性、側(cè)向性（橫向性）和多向性。第三十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維發(fā)散思維（輻射思維）

（2）分類逆向思維：是發(fā)散思維的重要形式。思維過(guò)程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性。側(cè)向（橫向）思維：數(shù)形結(jié)合等多向思維：在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，多向思維過(guò)程主要有三種基本體現(xiàn)形式：一題多解、一法多用、一題多變。第三十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維

抽象邏輯思維（1）含義

以詞語(yǔ)過(guò)程進(jìn)行表達(dá)，以概念、判斷、推理為其基本形式，以比較與分類、抽象與概括、分析與綜合等邏輯方法為其基本心智操作方法的思維方式。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心。第三十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

1）概念：是事物本質(zhì)屬性的反映，邏輯思維最基本的思維形式數(shù)學(xué)概念形成的思維過(guò)程：（對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行）感知辨認(rèn)——（在人腦中形成）個(gè)別表象——（通過(guò)）思維加工（從若干思維表象）分化（出它們的）各種屬性——（再通過(guò)）比較（得出）共同屬性——形成一般表象——（并在思維的）抽象概括下，確認(rèn)（此類事物）本質(zhì)屬性——（最后通過(guò)）詞語(yǔ)表達(dá)形成概念——（部分可）簡(jiǎn)化為符號(hào)形式。第三十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

2）判斷：是邏輯思維在概念基礎(chǔ)上的發(fā)展，表現(xiàn)為對(duì)概念的性質(zhì)或關(guān)系有所肯定或否定，是認(rèn)識(shí)概念間聯(lián)系的思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷又稱為數(shù)學(xué)命題，是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的語(yǔ)句。如公里、公設(shè)、定理等就是真實(shí)的數(shù)學(xué)命題。第三十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

3）推理：從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)判斷的思維形式。是對(duì)判斷間邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)推理指由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的思維形式，是嚴(yán)格推理，即每前進(jìn)一步都有依據(jù)，由此探尋數(shù)學(xué)中的各種因果關(guān)系，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。最常用數(shù)學(xué)推理包括演繹推理和歸納推理。第三十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維（1）含義依靠對(duì)形象材料（指客觀事物的整體在人腦中形成的表象）的意識(shí)領(lǐng)會(huì)得到理解，以表象、直感和想象為其基本形式，以觀察與實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想等為其基本心智操作方法的思維形式。形象思維是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)。第三十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

1)表象：人們對(duì)當(dāng)前沒(méi)有直接作用于感覺(jué)器官的、以前感知過(guò)的事物形象的反映。個(gè)別表象一般表象數(shù)學(xué)表象第三十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

1)表象：表象的兩個(gè)重要特征：直觀性：指表象中重現(xiàn)的事物形象具有一定程度的生動(dòng)逼真性，與客觀事物本身相近似，有“如見(jiàn)其形”之感。概括性：指表象所包含的內(nèi)容，是同類事物主要的表面特征綜合的結(jié)果。第四十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運(yùn)用表象對(duì)具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

A．形象識(shí)別直感：用數(shù)學(xué)表象這個(gè)類象的特征去比較具體數(shù)學(xué)對(duì)象的個(gè)象，根據(jù)形象特征整合的相似性來(lái)判別個(gè)象是否與類象同質(zhì)的思維形式.第四十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運(yùn)用表象對(duì)具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

B．模式補(bǔ)形直感：利用主體已經(jīng)在頭腦中建構(gòu)的數(shù)學(xué)表象模式，對(duì)具有部分特征相同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行表象補(bǔ)形，實(shí)施整合的思維形式。這是由部分形象去判斷整體形象、或由殘缺形象補(bǔ)全整體形象的直感。幾何補(bǔ)形、代數(shù)補(bǔ)形第四十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運(yùn)用表象對(duì)具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

C．形象相似直感：以形象識(shí)別直感和模式補(bǔ)形直感為基礎(chǔ)的復(fù)合直感。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中表現(xiàn)為問(wèn)題的變更和轉(zhuǎn)化。例如，做輔助線，配方法、拆添項(xiàng)法、構(gòu)造法等第四十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

3）想象：在頭腦中對(duì)已有表象經(jīng)過(guò)結(jié)合和改造，產(chǎn)生新表象的思維過(guò)程。想象的基本材料是表象，基本手段是直感。數(shù)學(xué)想象是似真推理（合情推理）的基本成分。想象的重要性還在于它是創(chuàng)造性思維的重要成分。

討論：請(qǐng)發(fā)表你對(duì)數(shù)學(xué)形象思維的認(rèn)識(shí)和看法。第四十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維直覺(jué)思維

（1）含義：直覺(jué)思維是客觀存在的一種思維形式，是一種以高度省略、簡(jiǎn)化、濃縮的方式洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)的思維。（2）主要特征：能在一瞬間迅速解決問(wèn)題。簡(jiǎn)約性、創(chuàng)造性、自信力第四十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維直覺(jué)思維

（3）分類

1）直覺(jué)：運(yùn)用有關(guān)知識(shí)組塊（知識(shí)的濃縮、形象的結(jié)晶）和形象直感對(duì)當(dāng)前問(wèn)題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方向或途徑的思維形式。特征：經(jīng)驗(yàn)性、迅速性、跳躍性（直覺(jué)思維的本質(zhì)特征）、或然性。數(shù)學(xué)直覺(jué)一方面是形象直感的擴(kuò)大，另一方面是邏輯推理過(guò)程的壓縮。直覺(jué)的跳躍性是邏輯性與非邏輯性的矛盾統(tǒng)一。

第四十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維直覺(jué)思維

（3）分類

2）靈感（頓悟）：表現(xiàn)為人們對(duì)長(zhǎng)期探索而未能解決的問(wèn)題的一種突然性領(lǐng)悟，也就是對(duì)問(wèn)題百思不得其解后的一種“茅塞頓開(kāi)”。特征：突發(fā)性、偶然性、模糊性、非邏輯性。第四十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能目前已成為最活躍的數(shù)學(xué)教學(xué)與研究領(lǐng)域。并無(wú)統(tǒng)一定義，被引用最多的是瑞思尼克（Resnick,1987）的研究：思維是處理抽象事物以及發(fā)現(xiàn)事物基本原理的過(guò)程，不只停留在事實(shí)和知識(shí)或個(gè)別案例的具體水平上。在這個(gè)過(guò)程中包含了諸如分類、歸納、演繹和推理等心智操作。第四十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個(gè)方面對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

深刻性：對(duì)數(shù)學(xué)概念理解透徹，有合理的概念圖；……能運(yùn)用分析、比較、概括等心智操作；……在解決問(wèn)題后能夠主動(dòng)尋找具有普遍意義的方法、模式，并能夠遷移和推廣。第四十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個(gè)方面對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

靈活性：起點(diǎn)靈活，能從與題目相關(guān)的各種角度和方向考慮問(wèn)題，能運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題，這些方法在質(zhì)上不同；思維轉(zhuǎn)向比較容易、迅速，……；思維過(guò)程善于轉(zhuǎn)化，很容易化生為熟，……。第五十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個(gè)方面對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

獨(dú)創(chuàng)性：獨(dú)立思考，能從與眾不同的“新”角度觀察，能在“平?！毙畔⒅邪l(fā)現(xiàn)不尋常之所在；……不受常規(guī)限制和束縛，富于聯(lián)想，……思維活躍，經(jīng)常產(chǎn)生有別于常規(guī)、正統(tǒng)、創(chuàng)造性的想法。第五十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個(gè)方面對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

批判性：不盲從，不附和，……，能堅(jiān)持自己合理的看法，但在發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤時(shí)，愿意糾正并接受其中的教訓(xùn)；……能評(píng)估信息資源的可靠性，判斷從一個(gè)結(jié)論導(dǎo)出另一個(gè)結(jié)論的充分性，可以發(fā)現(xiàn)他人解題過(guò)程或結(jié)論中的錯(cuò)誤；……能對(duì)解題過(guò)程全程監(jiān)控，進(jìn)行有意識(shí)的自我調(diào)節(jié)，修正過(guò)程和結(jié)論。第五十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個(gè)方面對(duì)高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

敏捷性：能較快且正確完成對(duì)題目的文字理解；能自覺(jué)運(yùn)用簡(jiǎn)便方法；……能迅速判別題目模式，從而縮短解題時(shí)間：……能迅速判斷，在時(shí)間緊迫情況下做出是否放棄解決此題的決策。五個(gè)方面相互聯(lián)系、滲透的統(tǒng)一體。深刻性是基礎(chǔ)，靈活性和獨(dú)創(chuàng)性在深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展；批判性以深刻為基礎(chǔ)，又直接制約獨(dú)創(chuàng)性；敏捷性則以其余四個(gè)因素為前提，只有正確領(lǐng)會(huì)知識(shí)、把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)，達(dá)到融會(huì)貫通，才能有真正的敏捷性。第五十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

1、操作性技能的形成過(guò)程

動(dòng)作的定向階段：通過(guò)視覺(jué)形成為達(dá)到某一目的如何展開(kāi)與調(diào)節(jié)操作活動(dòng)的表象與概念，在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機(jī)制，通過(guò)對(duì)“做什么”和“怎么做”的了解而明確實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序與步驟。

動(dòng)作分解階段：是操作技能進(jìn)入實(shí)際學(xué)習(xí)的最初階段，把某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的全套動(dòng)作分解成若干單項(xiàng)動(dòng)作，在老師的示范下依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動(dòng)作的活動(dòng)方式。第五十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

1、操作性技能的形成過(guò)程

動(dòng)作的整合階段：把所掌握的各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的順序聯(lián)結(jié)起來(lái)，使形成一個(gè)連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來(lái)。

動(dòng)作的熟練階段：是動(dòng)作技能形成的最后階段，通過(guò)練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點(diǎn)。第五十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

2、認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能的形成過(guò)程

認(rèn)知定向：主要讓學(xué)生了解并記住與活動(dòng)任務(wù)有關(guān)的知識(shí)，明確活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果，在頭腦中形成活動(dòng)本身及其結(jié)果的表象。主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動(dòng)程序，并讓這種程序的動(dòng)作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。

具體化模仿：把在頭腦里已初步建立的活動(dòng)程序以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。通常教師采用語(yǔ)言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式。第五十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

2、認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能的形成過(guò)程

言語(yǔ)化模仿：學(xué)生運(yùn)用自己的口頭語(yǔ)言表述進(jìn)行模仿訓(xùn)練，后期，往往通過(guò)默想的方式進(jìn)行。這一活動(dòng)水平的出現(xiàn)，標(biāo)志著學(xué)生的活動(dòng)已開(kāi)始向智力化活動(dòng)水平轉(zhuǎn)化。

內(nèi)化：該階段，學(xué)生的智力活動(dòng)過(guò)程有了高度的濃縮和簡(jiǎn)化，整個(gè)過(guò)程達(dá)到完全自動(dòng)化的水平。

數(shù)學(xué)技能自動(dòng)化的幾個(gè)顯著特點(diǎn)：快速、不費(fèi)力、自主刻板、無(wú)意識(shí)。第五十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得思考題你認(rèn)為目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，哪些數(shù)學(xué)思維方式并沒(méi)有得到足夠的重視？為什么？舉例說(shuō)明。你認(rèn)為促進(jìn)數(shù)學(xué)技能形成的重要條件與措施是什么？你如何解讀“熟能生巧”？你認(rèn)為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？你認(rèn)為如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？以形象思維、發(fā)散思維為例進(jìn)行說(shuō)明在信息時(shí)代，哪些數(shù)學(xué)技能更為重要？如何在小學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的技能？

你還能提出什么問(wèn)題？第五十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

如何解讀“熟能生巧”？你認(rèn)為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？李士锜教授發(fā)表于《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》三篇文章：

《熟能生巧嗎？》《熟能生笨嗎？——再談熟能生巧問(wèn)題》《孰能生厭嗎？——三談熟能生巧問(wèn)題》第五十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)目標(biāo)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個(gè)方面：

1.學(xué)生成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決者好的問(wèn)題解決者應(yīng)具備的素養(yǎng)（顧泠沅，2003）（1）較為廣博的知識(shí)，形成很好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（2）較為豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，并能根據(jù)實(shí)際情況綜合、靈活、創(chuàng)造性地加以應(yīng)用（3）較好的自我調(diào)節(jié)能力，敢于堅(jiān)持，大膽否定，富有信心第六十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)目標(biāo)（4）能自覺(jué)抵制和糾正不正確的觀念，并逐漸形成“分析和理解（結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)關(guān)系）”、“觀察和思考”的偏好（5）較好的“解題胃口”，并獲得真正的樂(lè)趣（6）傾向于從結(jié)構(gòu)出發(fā)探索事物的數(shù)學(xué)特征，從而進(jìn)行抽象和一般化；善于尋找多種解題途徑，進(jìn)而建立新的聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)新的元素、形成新的問(wèn)題（7）傾向于猜想和探索，進(jìn)而檢驗(yàn)猜想、推理論證，或者在反例的基礎(chǔ)上放棄猜想；能運(yùn)用不同策略解決問(wèn)題，并運(yùn)用于心的情境，并逐漸形成特定的數(shù)學(xué)思維模型，包括模型化、抽象化、最優(yōu)化、邏輯分析、數(shù)據(jù)推理和符號(hào)運(yùn)用。第六十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個(gè)方面：

2.幫助學(xué)生增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解

NCTM在美國(guó)2000年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“解決問(wèn)題的能力不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，也是一種主要的學(xué)習(xí)形式。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用問(wèn)題解決的途徑去研究數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，他們可以發(fā)展新的數(shù)學(xué)理解，強(qiáng)化運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力?！?/p>

另外，Kilpatrick（1985）,James等人（1993）的研究也表明，問(wèn)題解決有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。第六十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個(gè)方面：

3.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)式的思維

Schoenfeld認(rèn)為，要通過(guò)問(wèn)題解決培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，首先必須選擇一個(gè)合適的有真正數(shù)學(xué)味道的問(wèn)題，這種問(wèn)題的一個(gè)特征是：在解答過(guò)程中可以產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由此得出一連串的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例：方程和等式之間是怎樣的關(guān)系？什么是方程？什么是等式？方程是不是等式？等式是不是方程？第六十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個(gè)方面：

4.幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)信念

Schoenfeld1994年曾做過(guò)一個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn)：“數(shù)學(xué)權(quán)威在哪里？”學(xué)生數(shù)學(xué)信念的轉(zhuǎn)化進(jìn)程：老師是仲裁者→數(shù)學(xué)論斷是否正確并不是哪個(gè)人說(shuō)了算，而是數(shù)學(xué)本身的原因→討論重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到：什么是有說(shuō)服力的數(shù)學(xué)論據(jù)（首先說(shuō)服自己；然后說(shuō)服你的朋友；然后說(shuō)服你的敵人），明白正確的理解、判斷的涵義，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流→自己尋找證據(jù)，而不是依賴?yán)蠋煹闹俨玫诹捻?yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)模式目前，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)有以下幾種流行模式：

1.樣例學(xué)習(xí)（例中學(xué)）

2.學(xué)徒式教學(xué)

3.基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)

4.專題學(xué)習(xí)

5.發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)

6.變式教學(xué)第六十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

思考題影響數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的主要因素有哪些？查閱資料更多了解數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的幾種教學(xué)模式。你認(rèn)為教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)存在什么問(wèn)題？如何解決？舉例說(shuō)明？你認(rèn)為在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)上述四個(gè)目標(biāo)？除了上述問(wèn)題，你還能提出什么問(wèn)題？第六十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展估算技能與算法思想的形成算數(shù)中的問(wèn)題解決數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)第六十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成從心理學(xué)研究來(lái)看，主要集中在有理數(shù)、特別是自然數(shù)上，有關(guān)無(wú)理數(shù)和虛數(shù)的研究寥寥無(wú)幾.（Zazkis&Sirotic,2004）有理數(shù)概念是學(xué)生在小學(xué)階段遇到的最重要也是最復(fù)雜的概念之一。

第六十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

有理數(shù)概念的重要性主要體現(xiàn)在以下方面（Lesh&Lando,1990）：1）從實(shí)踐方面看，能有效處理這些概念將大大改進(jìn)兒童理解和把握現(xiàn)實(shí)世界中的情況和問(wèn)題的能力；2）從心理學(xué)角度看，有理數(shù)概念為兒童提供了一個(gè)豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴(kuò)展那些今后智力發(fā)展所必需的智力結(jié)構(gòu)；3）從數(shù)學(xué)的角度看，有理數(shù)概念的掌握為以后初等代數(shù)運(yùn)算提供了可靠的基礎(chǔ)。第六十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（1）自然數(shù)

有關(guān)自然數(shù)概念的研究主要來(lái)自皮亞杰的工作，他認(rèn)為學(xué)習(xí)自然數(shù)概念的基礎(chǔ)是數(shù)守恒（numberconservation）的概念。數(shù)守恒概念主要有以下三個(gè)特點(diǎn)：

1）相互性：(增加部分能抵消減少部分。矮寬和高窄杯）

2）同一性：(水倒入不同的容器）

3）逆反性:(杯中的水倒入不同容器，可再回到原來(lái)的杯中)第七十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（1）自然數(shù)兒童對(duì)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)有三個(gè)發(fā)展階段：

1）4-5歲，對(duì)數(shù)概念無(wú)法理解，無(wú)法運(yùn)用一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實(shí)物，通常用實(shí)物的長(zhǎng)度是否相同來(lái)判定兩組數(shù)目是否相等2）5-6歲是過(guò)渡時(shí)期，會(huì)運(yùn)用一對(duì)一關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但當(dāng)這個(gè)關(guān)系被破壞，便認(rèn)為兩組實(shí)物非同數(shù)，即無(wú)法保留自己建構(gòu)的同等性，對(duì)一對(duì)一的關(guān)系沒(méi)有充分理解3）6歲半以后，對(duì)數(shù)概念真正理解，已經(jīng)能用各種方法建構(gòu)同等性。第七十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（2）位值位值是小學(xué)階段比較難學(xué)的概念之一，涉及一系列復(fù)雜的想法及關(guān)系。從20世紀(jì)70年代開(kāi)始，位值概念就是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)，其中一些重要的研究成果包括：

1）貝德納茲和詹妮弗（Bednarz&Janvier,1982）的研究：學(xué)生把“個(gè)、十、百”的位值含義更多地根據(jù)位值的順序來(lái)理解，而不是根據(jù)十倍的分組順序；學(xué)生把借位的含義解釋為“刪去一個(gè)數(shù)位，拿走一個(gè)，在下一數(shù)位上加一”，而不是重新分組的一個(gè)手段。第七十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（2）位值

2）整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系（或相似）對(duì)學(xué)習(xí)是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面的而未能適應(yīng)小數(shù)方面的（Hiebert,1992）例如，0.56大于0.7；0.56讀作“點(diǎn)五十六”等；“更多位”的小數(shù)更大為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教輔工具和軟件應(yīng)運(yùn)而生：狄氏多層算數(shù)積木、

unifix軟件

“分群與位值軟件”

……第七十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（3）分?jǐn)?shù)

在分?jǐn)?shù)概念形成過(guò)程中，有幾個(gè)關(guān)鍵的因素（Piageteral.,1960）

1）對(duì)單位量的認(rèn)知：一盒雞蛋10個(gè)，能夠把1/5盒視為10個(gè)雞蛋五等份中的一份，就是2個(gè)雞蛋；

2）具有等分割的概念

3）理解部分與整體的關(guān)系第七十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（4）小數(shù)由于小數(shù)與分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間分別具有不少相同之處，小數(shù)的學(xué)習(xí)或多或少受到分?jǐn)?shù)或整數(shù)的影響。小數(shù)概念形成有兩條基本途徑：

1）通過(guò)分?jǐn)?shù)的“部分與整體”的關(guān)系。有限小數(shù)是分?jǐn)?shù)的特例；一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量；兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量；

……

第七十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（4）小數(shù)

2）利用整數(shù)的位值概念。任何非負(fù)整數(shù)皆可用展開(kāi)式表示：a3a2a1a0

在此記錄系統(tǒng)下，個(gè)位是記錄幾個(gè)一的位置，其位值是1；以個(gè)位為基準(zhǔn)點(diǎn)，往左一位是十位，記錄幾個(gè)十，位值是10；再往左一位是百位，記錄幾個(gè)百，其位值是100，以此類推，無(wú)限延伸……

同樣，個(gè)位也能向右延伸，將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù)。個(gè)位是基準(zhǔn)點(diǎn)，，向右一位是除以10的結(jié)果，再往右擴(kuò)展一位是除以100的結(jié)果……

利用位值往右擴(kuò)展的結(jié)果，有了新符號(hào)（小數(shù)符號(hào)）及新位名的產(chǎn)生：十分位、百分位、千分位……第七十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（5）負(fù)數(shù)在使用負(fù)數(shù)和它的運(yùn)算方面，中國(guó)在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，2000多年前，《九章算術(shù)》的“方程”章中就引入了負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則。印度是628年左右提出負(fù)數(shù)。而歐洲晚得多，也困難得多，有關(guān)“負(fù)數(shù)是不是數(shù)”的辯論延續(xù)了幾百年后才逐漸取得比較一致的看法：負(fù)數(shù)和零、正數(shù)一樣，也是數(shù)。在負(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，中國(guó)學(xué)生似乎并沒(méi)有遇到像西方學(xué)生那樣多的困難。目前，對(duì)于在小學(xué)階段引入負(fù)數(shù)概念，是否會(huì)給學(xué)生帶來(lái)困難并對(duì)后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，仍然缺乏深入研究。第七十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)概念與數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

3、數(shù)意識(shí)的形成與發(fā)展

數(shù)意識(shí)（numbersense）的認(rèn)識(shí)和解釋并不統(tǒng)一，一些代表性說(shuō)法

NCTM2000：1）了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)；

2）了解運(yùn)算的意義亦即運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)性；

3）流利地計(jì)算并做合理的估算。（對(duì)運(yùn)算的要求有了明顯提高）中國(guó)新課程：1）理解數(shù)的意義，能用多種方法表示數(shù)；

2）能在具體情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；

3）能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；

4）能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ?/p>

5）能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋。第七十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算（computationalestimation）在西方各國(guó)早就是中小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，中國(guó)則是首次在課程標(biāo)準(zhǔn)中出現(xiàn)。（與數(shù)學(xué)運(yùn)用有關(guān)；與數(shù)意識(shí)密切相關(guān)）

一個(gè)好的估算者至少擁有三種策略（Sowder,1992）

1)重組（reformulation）：改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以方便心算；

2）轉(zhuǎn)換（translation）：把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成更易處理的形式；

3）調(diào)整（compensation）：計(jì)算中及計(jì)算后，可調(diào)整估計(jì)值至較接近的近似值。

第七十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算技能形成的影響因素

1）思維的靈活性，對(duì)位值、基本的數(shù)常識(shí)、運(yùn)算的性質(zhì)和數(shù)字的比較有很好的理解。

2）心算（mentalcomputation）能力與估算能力密切相關(guān)。心算不是指在腦中做快速計(jì)算，而是要求學(xué)生仔細(xì)查看題目中的數(shù)字，考慮數(shù)字的意義，并能了解運(yùn)算中某一部分的改變會(huì)有什么影響。因此，心算需要反省，需要理解數(shù)字，進(jìn)而擴(kuò)扎對(duì)數(shù)字的更深入理解。心算是培養(yǎng)數(shù)意識(shí)和估算技能的方法。

3）估算能力和計(jì)算能力之間并沒(méi)有很高的相關(guān)性，研究發(fā)現(xiàn)，計(jì)算能力強(qiáng)的學(xué)生其估算能力并不一定高。第八十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

算法（algorithm）一詞出現(xiàn)于12世紀(jì)。意指以有限的步驟解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的程序。算法的一般要求可以歸納為五性：

可行性：指算法中每一步都能實(shí)現(xiàn)。例如，不能出現(xiàn)負(fù)數(shù)開(kāi)方、0作除數(shù)等

確定性：指每執(zhí)行一步后，對(duì)于下一步有明確的指示，不允許模糊或多義，保證其“機(jī)械性”，可交由計(jì)算機(jī)執(zhí)行。（“如果x>0,就將x加上一個(gè)正數(shù)”，錯(cuò)誤，必須指出這個(gè)正數(shù)是什么）

有窮性：指算法能在有限的步驟內(nèi)結(jié)束

有效性：指每個(gè)算法對(duì)滿足條件的問(wèn)題能得到正確的結(jié)果

普遍性：指能解決一類問(wèn)題而不是一個(gè)問(wèn)題隨著計(jì)算機(jī)的普及，算法思想顯得越來(lái)越重要。第八十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

雖然我國(guó)數(shù)學(xué)新課程首次把算法作為正式的教學(xué)內(nèi)容，并且安排在高中，但實(shí)際上，算法思想在小學(xué)階段就已經(jīng)開(kāi)始滲透。例如，找規(guī)律、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)等。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法至少有以下理由（Clarke,2005）:1)可以有效解決一類問(wèn)題；2）是壓縮的、一般化的解題程序；3）是程序化的，不明原理仍可掌握；4）可教的；5）教師易于處理和評(píng)價(jià)。也有研究者指出過(guò)早學(xué)習(xí)算法的不利影響：

1）算法程序常常與人們的思維習(xí)慣不一致；2）會(huì)誘使學(xué)生放棄自己的想法，不利于“原創(chuàng)思想”的培養(yǎng)；3）不利于數(shù)意識(shí)的形成；4）會(huì)使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果；5）在實(shí)際生活中，書(shū)面算法很少使用。第八十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究，特別是有關(guān)算術(shù)問(wèn)題的研究，是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)中成果最為豐富的一個(gè)領(lǐng)域。

1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略算術(shù)中的問(wèn)題主要包括自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算及其應(yīng)用題，這里主要討論算術(shù)應(yīng)用題。（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型托馬斯·P·卡彭特（ThomasP．Carpenter）把加減法文字題分成四類：變化、合并、比較和相等。第八十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型變化類型舉例結(jié)合：康妮有5顆彈子，吉姆又給了她8顆，康妮有多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現(xiàn)在13顆，原來(lái)康妮有多少顆？康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？分離：康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現(xiàn)在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現(xiàn)在她有8顆，原來(lái)康妮有多少顆？第八十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型合并類型舉例康妮有5顆紅色彈子和8顆藍(lán)色的彈子，她共有少顆彈子？康妮有13顆彈子，5顆紅色的，剩余是藍(lán)的，康妮有多少顆藍(lán)色彈子？

第八十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型比較類型舉例

康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮比吉姆多幾顆？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆比康妮少幾顆？吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多8顆，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，他比康妮少8顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，吉姆比康妮少5顆，吉姆有多少顆？第八十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型相等類型舉例康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆要贏多少顆才能與康妮的彈子數(shù)相等？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮失掉多少顆才能與吉姆的彈子數(shù)量相等？吉姆有5顆彈子，如果他贏得8顆，那么他就會(huì)和康妮的彈子一樣多，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，如果康妮失掉8顆，她將會(huì)和吉姆擁有的彈子一樣多，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，如果吉姆贏得5顆，他將和康妮的彈子一樣多，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，如果她失掉5顆，她會(huì)和吉姆擁有的彈子一樣多，吉姆有多少顆？第八十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（2）乘法應(yīng)用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將乘法應(yīng)用題分為三類：

1）大小改變：原始量x改變大小的比率=改變后的量，如利率問(wèn)題

2）交叉運(yùn)用：兩個(gè)基本單位量相互交叉運(yùn)算，得到一個(gè)復(fù)合單位的量，如面積和組合問(wèn)題

3）比例因子：比例因子x數(shù)量=另一個(gè)量，其中比例因子如3個(gè)/人，60km/h等

第八十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（3）除法應(yīng)用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將除法應(yīng)用題分為五類：

1）求同單位量之間的比率：兩個(gè)意義相同及單位相同的數(shù)量比較所得無(wú)單位的數(shù)值，如倍數(shù)、百分率等

2）求異單位量之間的比率：兩個(gè)不同單位量相互比較，得到一個(gè)單位量，如單價(jià)、人口密度、速率等

3）除數(shù)為異單位之間比率的除法：為乘法比例因子的逆運(yùn)算，如分物，實(shí)踐單位轉(zhuǎn)換等

4）除數(shù)為大小改變因子的除法：乘法大小改變的逆運(yùn)算，即已知一數(shù)量的倍數(shù)或一部分，而求原數(shù)量

5）反求因子：為乘法交叉運(yùn)算的逆運(yùn)算。

第八十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決1、算術(shù)問(wèn)題的基本類型及其解題策略（4）相關(guān)解題策略的研究

目前，主要對(duì)乘除法應(yīng)用題的解題策略進(jìn)行了研究，比如，乘法應(yīng)用題解題策略的表現(xiàn)層次：直接表征法、過(guò)渡型計(jì)數(shù)法、加法和背誦乘法事實(shí)除法應(yīng)用題解題策略表現(xiàn)層次：直接表征、數(shù)值上的加數(shù)處理、減法、加減與乘法、分配律。有待進(jìn)一步研究。第九十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

1）未知數(shù)的位置（變化類型）康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現(xiàn)在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現(xiàn)在13顆，原來(lái)康妮有多少顆？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現(xiàn)在她有8顆，原來(lái)康妮有多少顆？

未知數(shù)的位置越在前面，難度越高。第九十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

2）語(yǔ)言的表述（比較類型）

吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多5顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？

具有一致性語(yǔ)言的情形易于非一致性語(yǔ)言的情形參照量未知的情形要難于比較量未知的情形

第九十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

3）數(shù)字的形式（乘除法應(yīng)用題）研究表明，對(duì)于乘法應(yīng)用題，問(wèn)題類型對(duì)學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵，特別當(dāng)乘數(shù)是小數(shù)的情況，往往會(huì)覺(jué)得更困難；對(duì)于除法應(yīng)用題，等分除和包含除題型亦會(huì)受到數(shù)字形式的影響，特別當(dāng)被除數(shù)小于除數(shù)時(shí)對(duì)學(xué)生的影響較大。乘法總是變大，除法總是變小第九十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

4）問(wèn)題的結(jié)構(gòu)（除法應(yīng)用題）

研究表明，學(xué)生在解決除法問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)形成“等分模式”的思維定勢(shì)；學(xué)生的直覺(jué)模式是等分除（即將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量

）；學(xué)生較易接受等分除的概念，但也因此產(chǎn)生許多錯(cuò)誤概念，甚至妨礙包含除（即告訴每一份的數(shù)量，求能將整體平均分成幾份

）概念的理解。第九十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

5）單位的變化在數(shù)量單位的變化中，除了名稱的變化外，還包括維度的變化，這也是造成乘除法問(wèn)題比加減法問(wèn)題困難的原因。因?yàn)楹笳咧簧婕耙晃豢臻g，但前者可能涉及二維或三維的度量空間，甚至涉及度量空間之間的關(guān)系。（林碧珍，1991）兒童甚至于成人一般均避免使用乘除法方法，而比較喜歡以加減運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。（Hart,1981）第九十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算算術(shù)中的問(wèn)題解決2、算術(shù)問(wèn)題的難度分析了解算術(shù)問(wèn)題的難度因素和難度點(diǎn)，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

6）問(wèn)題的表征在算術(shù)問(wèn)題中造成問(wèn)題表征困難的主要原因是缺乏相應(yīng)的符號(hào)，如未知數(shù)符號(hào)的使用。“一個(gè)數(shù)的5倍加4等于24，求這個(gè)數(shù)”，若將這個(gè)數(shù)用未知數(shù)符號(hào)x表示，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算；而若用算術(shù)思維方法，則需要一個(gè)逆向思維的過(guò)程。第九十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)

研究表明，有些內(nèi)容從來(lái)都是被認(rèn)為難教難學(xué)，其中包括分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比例和百分?jǐn)?shù)（Barnett,Goldenstein&Jackson,1994）。因此，有關(guān)這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)也就成為小學(xué)階段學(xué)習(xí)理論研究的熱點(diǎn)，成果也比較豐富。第九十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)

1、數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)知分析（1）認(rèn)知層次分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)五個(gè)連續(xù)層次（Kieren,1992）

1）把分?jǐn)?shù)作為整體的一部分；

2）對(duì)一個(gè)事先分成若干份的整體，通過(guò)數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分?jǐn)?shù)；

3）把一個(gè)整體平均分成若干份，對(duì)整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進(jìn)行計(jì)數(shù)；

4）通過(guò)數(shù)“份數(shù)”對(duì)兩個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)求和；

5）根據(jù)分?jǐn)?shù)的加法原理，對(duì)兩個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)求和。

Kieren認(rèn)為，分?jǐn)?shù)教學(xué)應(yīng)該按照上述五個(gè)層次進(jìn)行，不同層次之間不能隨意“串位”，否則容易造成理解上的混亂。第九十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識(shí)知識(shí)：數(shù)與運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)

1、數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)知分析（1）認(rèn)知層次小數(shù)的6個(gè)認(rèn)知層次（Hartetal,1981）：

1）千位數(shù)以內(nèi)的位值概念；

2）一位小數(shù)；

3）二、三位小數(shù)；

4）與左邊的位值關(guān)系，如5.13X10的結(jié)果與5.13的差異；