小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)學(xué)生

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)學(xué)生第一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)先前知識

元認(rèn)知、非認(rèn)知因素、兒童心理特征、學(xué)習(xí)環(huán)境、評價……

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識（主體）

數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)技能的習(xí)得、數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)與運算的學(xué)習(xí)、幾何學(xué)習(xí)、代數(shù)學(xué)習(xí)、統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論拓展問題

（章節(jié)后的研討問題）第二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：元認(rèn)知問題：

1.什么是元認(rèn)知？包含哪些成份？其核心成份是什么？各成份之間具有怎樣的關(guān)系？并舉例。

2.培養(yǎng)小學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控能力的策略有哪些？為什么？并舉例。

……第三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：非認(rèn)知因素為學(xué)正如上水船，方平穩(wěn)處，盡行不妨，及到灘脊急流之中，舟人來這上一篙，不可放緩。直須著力撐上，不一步不緊。放退一步，則此船不得上矣。

——朱熹：《朱子語類》

在科學(xué)上面沒有平坦的大路可走，只有那在崎嶇小路的登攀上不畏勞苦的人，才有希望達(dá)到光輝的頂點。

——馬克思：《資本論》法文版序言第四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：非認(rèn)知因素問題：

1.什么是非認(rèn)知因素？

2.非認(rèn)知因素對學(xué)習(xí)有什么作用？

3.描述一個關(guān)于非認(rèn)知因素的教育故事。

……第五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：兒童的心理特征問題：

1.兒童的認(rèn)知規(guī)律？并舉例

2.兒童如何對待別人的評價？并舉例

3.兒童的心理特點？并舉例

……第六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解什么是數(shù)學(xué)概念從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展看，數(shù)學(xué)概念一是反映直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，二是反映在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上再經(jīng)過多級抽象的結(jié)果。第七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

1.概念發(fā)展的抽象性

1）數(shù)學(xué)抽象的特點：只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的，所達(dá)到的抽象程度大大超出其他學(xué)科中的一般抽象；數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中，如果自然科學(xué)家為了證明自己的論斷常常求助于實驗，那么數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計算，……這樣看來，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的、思辨的，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的、思辨的（亞歷山大洛夫Alexanderlov，1988）第八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

1.概念發(fā)展的抽象性

2）數(shù)學(xué)概念并非一開始就是精確的，有一個抽象化和精致化的過程：（拉卡托斯lakatos，1976）產(chǎn)生一個模糊的想法；

嘗試對這個想法用語言進(jìn)行描述；通過形式的定義得到初步的概念；

嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗證相關(guān)定理、尋找等價或者相似的對象；對原先的定義進(jìn)行修正以排除不合理的推論；

調(diào)整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性第九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概念的基本特征

2.概念表征的多元性

表征：用某種形式將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的；根據(jù)信息加工理論，表征就是以一物代替另一物。第十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

2.概念表征的多元性

萊什等人認(rèn)為，學(xué)生必須具備下列條件才算了解了一個概念：

1）必須能將此概念放入各種不同的表征系統(tǒng)中；

2）在給定的表征系統(tǒng)中，必須能夠有彈性地處理這個概念；

3）必須很精確地將此概念從一個表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個表征系統(tǒng)。第十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

3.概念理解的層次性

概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程度都反映了數(shù)學(xué)概念理解的層次性。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)可分為五個階段（克勞斯梅爾Klansmeier，等人）

具體期：學(xué)生能理解一個先前經(jīng)驗過的例子；

確認(rèn)期：可以了解一個之前遭遇的例子，即使這個例子是由不同時空觀點或不同形式來觀察的；

分類期：能夠舉出正例和反例；

生產(chǎn)期：可以自行舉出關(guān)于此概念的例子；

形成期：可以說出此概念的定義。斯根普（skemp）：初級概念（直接由感知得到）

二級概念（初級概念再抽象）第十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

數(shù)學(xué)概念的基本特征

4.概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)概念的前三個特征直接導(dǎo)致了它的第四個特征，即數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系性。這里的聯(lián)系既包括概念與背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系。因此，數(shù)學(xué)概念都被嵌入到組織良好的概念體系中。這樣，個別概念的意義總有部分是來自與其他概念的相互關(guān)系，或出自系統(tǒng)的整體特征（Lesh,1979）。

第十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

兒童產(chǎn)生錯誤概念的原因及解決辦法

錯誤概念形成的原因可能是：（1）從直接的實際經(jīng)驗或日常生活經(jīng)驗和觀察得來；（2）由通常的用語或隱喻的使用得來；（3）由正式或非正式的教學(xué)而來；（4）同伴的影響而來；（5）來自教科書的內(nèi)容或教師的教學(xué)過程；（6）由字義的聯(lián)想、混淆、沖突或缺乏知識。（Sutton&West,1982）第十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

兒童產(chǎn)生錯誤概念的原因及解決辦法

從邏輯上看，錯誤概念的類型主要有以下三種（Markle&Tiemann,1970）：

兒童錯誤概念的解決辦法：

1.前兩種是由于對概念的內(nèi)涵把握得不夠準(zhǔn)確，從而縮小或擴(kuò)大了概念的外延，解決辦法：分別找到相應(yīng)的正、反、特例；

2.第三種則是由于對概念內(nèi)涵的理解出現(xiàn)了偏離，從而形成了交叉外延，解決辦法：必須同時指出交集以外的正反、特例。概念（1）類化不足（2）過度類化（3）概念偏離第十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解概念理解的評價途徑用于評價學(xué)生的概念理解的途徑比較多，其中包括測試（包括標(biāo)準(zhǔn)化測試）、問卷、訪談、出聲思維，等等。近年來，隨著動態(tài)評價方式的流行，概念圖逐漸成為評價學(xué)生概念理解的重要手段，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也不例外。（1）什么是概念圖（conceptmap）概念圖最早由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克（JosephD.Novak）教授等人于20世紀(jì)60年代提出，即用圖式的方法來表達(dá)人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱形知識顯性化、可視化，便于人們思考、交流、表達(dá)。概念圖又稱為概念構(gòu)圖或概念地圖。第十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解

概念理解的評價途徑

（3）概念圖的圖表結(jié)構(gòu)節(jié)點（結(jié)點）：方框中的概念聯(lián)結(jié)線：表示兩個概念之間的意義聯(lián)系聯(lián)結(jié)詞：置于連線上的兩個概念之間形成命題的聯(lián)系詞概念圖軟件Inspiration

第十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解概念理解的評價途徑

（4）概念圖計分方法簡介成份結(jié)構(gòu)評分法

1）關(guān)系：一個有效且有意義的聯(lián)結(jié)關(guān)系，給予一分；

2）階層：每一個有效的階層，給予五分；

3）交叉聯(lián)結(jié)：概念圖中某概念階層的一部分和另一階層的部分概念間呈現(xiàn)有意義的聯(lián)結(jié)。一個重要且有效的交叉聯(lián)結(jié)，給予十分，有效但不能指出相關(guān)概念（或命題）所組成的交叉聯(lián)結(jié)，則給予兩分；

4）舉例:根據(jù)自己理解，舉出特殊且具代表性的例子（非現(xiàn)成例子）。舉出一個例子，給予一分。

總分越高，表示學(xué)生概念學(xué)習(xí)越好。其他：相似度評價法（學(xué)生與專家的概念圖比較）綜合評定法（綜合運用基于成份和基于專家圖匹配的兩種方法）第十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)概念的理解思考題：數(shù)學(xué)概念表征的意義何在？根據(jù)你的了解，舉一個學(xué)生數(shù)學(xué)概念錯誤的例子，說明屬于什么類型，并找出解決辦法。根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特征和兒童數(shù)學(xué)概念的形成途徑，你認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有哪些有效策略？請舉例。你認(rèn)為用概念圖評價學(xué)生數(shù)學(xué)概念的掌握情況的優(yōu)勢和不足是什么？根據(jù)本專題內(nèi)容，畫出你的概念圖。

你還能提出什么問題？第十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得什么是技能和數(shù)學(xué)技能數(shù)學(xué)技能的基本特征

中小學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)技能的形成第二十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得什么是技能和數(shù)學(xué)技能

在認(rèn)知心理學(xué)中，技能一般被看作是按照固定步驟進(jìn)行，利用常規(guī)思路順利完成某種任務(wù)的一種動作或心智活動方式。數(shù)學(xué)技能是指，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中通過訓(xùn)練得以順利完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動方式或心智行動方式。也可以說，是通過數(shù)學(xué)練習(xí)在個體上固定下來的自動化活動方式。據(jù)其本身性質(zhì)和特點，數(shù)學(xué)技能可以分為操作技能（動作技能）和心智技能（智力技能）兩種類型。第二十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得數(shù)學(xué)技能的基本特征

1.數(shù)學(xué)操作技能的特征

操作性數(shù)學(xué)技能是指數(shù)學(xué)活動中由一系列實際動作以合理、完善的程序構(gòu)成的操作活動方式。三個基本特征：外顯性客觀性非簡約性第二十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得數(shù)學(xué)技能的基本特征

2.數(shù)學(xué)心智技能的特征

數(shù)學(xué)心智技能（認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能），是指借助內(nèi)部語言在頭腦中按一定的、合理的、完善的方式自動地進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的方式。有以下特點：直接對象是抽象的數(shù)學(xué)概念、命題與表象，而不是具有物質(zhì)形態(tài)的客觀對象；主體的變化具有很強(qiáng)的內(nèi)隱性；心智活動的簡縮性；

第二十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

1.國外數(shù)學(xué)課程中的技能美國：注重在課程文件中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的是加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與框架（比NCTM更重視），規(guī)定在12年的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須熟練技能：能正確算出加法、減法、乘法和除法的答案；能正確找出等值的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分比；能運用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分比；能測量；能計算出簡單圖形的周長和面積；能解釋日常生活中遇到的圖表；第二十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

1.國外數(shù)學(xué)課程中的技能美國：注重在課程文件中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的是加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與框架（比NCTM更重視），規(guī)定在12年的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須熟練技能：能從日常生活中的一組數(shù)據(jù)找出中位數(shù)和平均數(shù)；能運用科學(xué)記號表示非常大或非常小的數(shù)；能運用基本幾何性質(zhì)，包括畢達(dá)哥拉斯定律；能根據(jù)已知兩點，找出通過這兩個點的線性方程式；能解出線性方程式和線性方程式組的解；等等第二十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

2.中國數(shù)學(xué)“雙基”之一的數(shù)學(xué)基本技能數(shù)學(xué)運算技能：符號操作技能：圖形處理技能：數(shù)據(jù)分析技能：推理論證技能：數(shù)學(xué)交流技能：第二十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（1）數(shù)學(xué)思維的含義數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學(xué)思維是一個從外感到內(nèi)化的交互作用過程，是認(rèn)知主體將外部材料轉(zhuǎn)化為內(nèi)部材料的信息增殖過程，也是從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識、從感性材料轉(zhuǎn)化為理性材料以及理性材料不斷純化和多樣化的前進(jìn)過程。

第二十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維

（2）數(shù)學(xué)思維的特點

概括性、問題性（3）數(shù)學(xué)思維方式

思維方式：是內(nèi)化于人腦中的世界觀和方法論的理性認(rèn)識方式，是體現(xiàn)一定思維心智方法和思維內(nèi)容的思維模式。

數(shù)學(xué)思維方式：就是在數(shù)學(xué)思維過程中，主體進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動的相對定型、相對穩(wěn)定的思維樣式。它是數(shù)學(xué)思維心智方法與數(shù)學(xué)思維形式的統(tǒng)一，并且通過一定的數(shù)學(xué)思維內(nèi)容體現(xiàn)出來。第二十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）指調(diào)動各種信息（已知的或回憶的），按照常規(guī)習(xí)慣尋求解決問題、整理知識或總結(jié)方法的思維方式。（1）特點

思路集中，所有信息都朝向一個目標(biāo)深入發(fā)展，以生成新信息。在思維方向上具有定向性、層次性和聚合性；在思維內(nèi)容上具有求同性和專注性。通常較多采用分析、綜合、概括等思維心智操作方法。第二十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

1）定向思維（正向思維）：連續(xù)性、漸進(jìn)性和聯(lián)結(jié)性由定向思維所造成的思維的趨向性或?qū)Ｗ⑿缘臓顟B(tài)就稱為思維定勢。思維定勢有正遷移和負(fù)遷移作用。第三十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

2）縱向思維把思維目標(biāo)沿著逐步深入的方向分成若干前后聯(lián)系的小目標(biāo)（中途點或環(huán)節(jié)），通過小目標(biāo)的逐個解決達(dá)到解決大目標(biāo)的思維方式。思維的連續(xù)性、漸進(jìn)性和聯(lián)結(jié)性，但更強(qiáng)調(diào)思維環(huán)節(jié)之間的層次性和因果性。第三十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維發(fā)散思維（輻射思維）（1）特點思路廣闊、尋求變異，對已知信息通過轉(zhuǎn)換或改造進(jìn)行擴(kuò)散、派生以形成各種新信息。在思維內(nèi)容上，具有變通性和開放性；在思維方向上，具有逆向性、側(cè)向性（橫向性）和多向性。第三十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

1）集中思維與發(fā)散思維發(fā)散思維（輻射思維）

（2）分類逆向思維：是發(fā)散思維的重要形式。思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性。側(cè)向（橫向）思維：數(shù)形結(jié)合等多向思維：在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，多向思維過程主要有三種基本體現(xiàn)形式：一題多解、一法多用、一題多變。第三十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維

抽象邏輯思維（1）含義

以詞語過程進(jìn)行表達(dá)，以概念、判斷、推理為其基本形式，以比較與分類、抽象與概括、分析與綜合等邏輯方法為其基本心智操作方法的思維方式。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心。第三十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

1）概念：是事物本質(zhì)屬性的反映，邏輯思維最基本的思維形式數(shù)學(xué)概念形成的思維過程：（對多個數(shù)學(xué)對象進(jìn)行）感知辨認(rèn)——（在人腦中形成）個別表象——（通過）思維加工（從若干思維表象）分化（出它們的）各種屬性——（再通過）比較（得出）共同屬性——形成一般表象——（并在思維的）抽象概括下，確認(rèn)（此類事物）本質(zhì)屬性——（最后通過）詞語表達(dá)形成概念——（部分可）簡化為符號形式。第三十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

2）判斷：是邏輯思維在概念基礎(chǔ)上的發(fā)展，表現(xiàn)為對概念的性質(zhì)或關(guān)系有所肯定或否定，是認(rèn)識概念間聯(lián)系的思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷又稱為數(shù)學(xué)命題，是用語言、符號或式子表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的語句。如公里、公設(shè)、定理等就是真實的數(shù)學(xué)命題。第三十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

3）推理：從一個或幾個已知判斷推出另一個判斷的思維形式。是對判斷間邏輯關(guān)系的認(rèn)識。數(shù)學(xué)推理指由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的思維形式，是嚴(yán)格推理，即每前進(jìn)一步都有依據(jù)，由此探尋數(shù)學(xué)中的各種因果關(guān)系，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。最常用數(shù)學(xué)推理包括演繹推理和歸納推理。第三十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維（1）含義依靠對形象材料（指客觀事物的整體在人腦中形成的表象）的意識領(lǐng)會得到理解，以表象、直感和想象為其基本形式，以觀察與實驗、聯(lián)想、類比、猜想等為其基本心智操作方法的思維形式。形象思維是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)。第三十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

1)表象：人們對當(dāng)前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知過的事物形象的反映。個別表象一般表象數(shù)學(xué)表象第三十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

1)表象：表象的兩個重要特征：直觀性：指表象中重現(xiàn)的事物形象具有一定程度的生動逼真性，與客觀事物本身相近似，有“如見其形”之感。概括性：指表象所包含的內(nèi)容，是同類事物主要的表面特征綜合的結(jié)果。第四十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

A．形象識別直感：用數(shù)學(xué)表象這個類象的特征去比較具體數(shù)學(xué)對象的個象，根據(jù)形象特征整合的相似性來判別個象是否與類象同質(zhì)的思維形式.第四十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

B．模式補(bǔ)形直感：利用主體已經(jīng)在頭腦中建構(gòu)的數(shù)學(xué)表象模式，對具有部分特征相同的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行表象補(bǔ)形，實施整合的思維形式。這是由部分形象去判斷整體形象、或由殘缺形象補(bǔ)全整體形象的直感。幾何補(bǔ)形、代數(shù)補(bǔ)形第四十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數(shù)學(xué)直感是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。

C．形象相似直感：以形象識別直感和模式補(bǔ)形直感為基礎(chǔ)的復(fù)合直感。在數(shù)學(xué)問題解決中表現(xiàn)為問題的變更和轉(zhuǎn)化。例如，做輔助線，配方法、拆添項法、構(gòu)造法等第四十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數(shù)學(xué)形象思維的基本形式

3）想象：在頭腦中對已有表象經(jīng)過結(jié)合和改造，產(chǎn)生新表象的思維過程。想象的基本材料是表象，基本手段是直感。數(shù)學(xué)想象是似真推理（合情推理）的基本成分。想象的重要性還在于它是創(chuàng)造性思維的重要成分。

討論：請發(fā)表你對數(shù)學(xué)形象思維的認(rèn)識和看法。第四十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（1）含義：直覺思維是客觀存在的一種思維形式，是一種以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質(zhì)的思維。（2）主要特征：能在一瞬間迅速解決問題。簡約性、創(chuàng)造性、自信力第四十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（3）分類

1）直覺：運用有關(guān)知識組塊（知識的濃縮、形象的結(jié)晶）和形象直感對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑的思維形式。特征：經(jīng)驗性、迅速性、跳躍性（直覺思維的本質(zhì)特征）、或然性。數(shù)學(xué)直覺一方面是形象直感的擴(kuò)大，另一方面是邏輯推理過程的壓縮。直覺的跳躍性是邏輯性與非邏輯性的矛盾統(tǒng)一。

第四十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（3）分類

2）靈感（頓悟）：表現(xiàn)為人們對長期探索而未能解決的問題的一種突然性領(lǐng)悟，也就是對問題百思不得其解后的一種“茅塞頓開”。特征：突發(fā)性、偶然性、模糊性、非邏輯性。第四十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能目前已成為最活躍的數(shù)學(xué)教學(xué)與研究領(lǐng)域。并無統(tǒng)一定義，被引用最多的是瑞思尼克（Resnick,1987）的研究：思維是處理抽象事物以及發(fā)現(xiàn)事物基本原理的過程，不只停留在事實和知識或個別案例的具體水平上。在這個過程中包含了諸如分類、歸納、演繹和推理等心智操作。第四十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個方面對高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

深刻性：對數(shù)學(xué)概念理解透徹，有合理的概念圖；……能運用分析、比較、概括等心智操作；……在解決問題后能夠主動尋找具有普遍意義的方法、模式，并能夠遷移和推廣。第四十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個方面對高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

靈活性：起點靈活，能從與題目相關(guān)的各種角度和方向考慮問題，能運用多種方法解決問題，這些方法在質(zhì)上不同；思維轉(zhuǎn)向比較容易、迅速，……；思維過程善于轉(zhuǎn)化，很容易化生為熟，……。第五十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)技能

3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個方面對高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

獨創(chuàng)性：獨立思考，能從與眾不同的“新”角度觀察，能在“平?！毙畔⒅邪l(fā)現(xiàn)不尋常之所在；……不受常規(guī)限制和束縛，富于聯(lián)想，……思維活躍，經(jīng)常產(chǎn)生有別于常規(guī)、正統(tǒng)、創(chuàng)造性的想法。第五十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個方面對高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

批判性：不盲從，不附和，……，能堅持自己合理的看法，但在發(fā)現(xiàn)自己的錯誤時，愿意糾正并接受其中的教訓(xùn)；……能評估信息資源的可靠性，判斷從一個結(jié)論導(dǎo)出另一個結(jié)論的充分性，可以發(fā)現(xiàn)他人解題過程或結(jié)論中的錯誤；……能對解題過程全程監(jiān)控，進(jìn)行有意識的自我調(diào)節(jié)，修正過程和結(jié)論。第五十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

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3.數(shù)學(xué)思維（方式）

高層次數(shù)學(xué)思維技能可以從五個方面對高層次數(shù)學(xué)思維加以區(qū)分（周超，2003）

敏捷性：能較快且正確完成對題目的文字理解；能自覺運用簡便方法；……能迅速判別題目模式，從而縮短解題時間：……能迅速判斷，在時間緊迫情況下做出是否放棄解決此題的決策。五個方面相互聯(lián)系、滲透的統(tǒng)一體。深刻性是基礎(chǔ)，靈活性和獨創(chuàng)性在深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展；批判性以深刻為基礎(chǔ)，又直接制約獨創(chuàng)性；敏捷性則以其余四個因素為前提，只有正確領(lǐng)會知識、把握問題實質(zhì)，達(dá)到融會貫通，才能有真正的敏捷性。第五十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

1、操作性技能的形成過程

動作的定向階段：通過視覺形成為達(dá)到某一目的如何展開與調(diào)節(jié)操作活動的表象與概念，在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機(jī)制，通過對“做什么”和“怎么做”的了解而明確實施數(shù)學(xué)活動的程序與步驟。

動作分解階段：是操作技能進(jìn)入實際學(xué)習(xí)的最初階段，把某項數(shù)學(xué)技能的全套動作分解成若干單項動作，在老師的示范下依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動作的活動方式。第五十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

1、操作性技能的形成過程

動作的整合階段：把所掌握的各個局部動作按照一定的順序聯(lián)結(jié)起來，使形成一個連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來。

動作的熟練階段：是動作技能形成的最后階段，通過練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點。第五十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

2、認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能的形成過程

認(rèn)知定向：主要讓學(xué)生了解并記住與活動任務(wù)有關(guān)的知識，明確活動的過程和結(jié)果，在頭腦中形成活動本身及其結(jié)果的表象。主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動程序，并讓這種程序的動作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。

具體化模仿：把在頭腦里已初步建立的活動程序以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。通常教師采用語言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式。第五十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

數(shù)學(xué)技能的形成

2、認(rèn)知性數(shù)學(xué)技能的形成過程

言語化模仿：學(xué)生運用自己的口頭語言表述進(jìn)行模仿訓(xùn)練，后期，往往通過默想的方式進(jìn)行。這一活動水平的出現(xiàn)，標(biāo)志著學(xué)生的活動已開始向智力化活動水平轉(zhuǎn)化。

內(nèi)化：該階段，學(xué)生的智力活動過程有了高度的濃縮和簡化，整個過程達(dá)到完全自動化的水平。

數(shù)學(xué)技能自動化的幾個顯著特點：快速、不費力、自主刻板、無意識。第五十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得思考題你認(rèn)為目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，哪些數(shù)學(xué)思維方式并沒有得到足夠的重視？為什么？舉例說明。你認(rèn)為促進(jìn)數(shù)學(xué)技能形成的重要條件與措施是什么？你如何解讀“熟能生巧”？你認(rèn)為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？你認(rèn)為如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？以形象思維、發(fā)散思維為例進(jìn)行說明在信息時代，哪些數(shù)學(xué)技能更為重要？如何在小學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的技能？

你還能提出什么問題？第五十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得

如何解讀“熟能生巧”？你認(rèn)為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？李士锜教授發(fā)表于《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》三篇文章：

《熟能生巧嗎？》《熟能生笨嗎？——再談熟能生巧問題》《孰能生厭嗎？——三談熟能生巧問題》第五十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)目標(biāo)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個方面：

1.學(xué)生成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)問題解決者好的問題解決者應(yīng)具備的素養(yǎng)（顧泠沅，2003）（1）較為廣博的知識，形成很好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（2）較為豐富的解題經(jīng)驗，并能根據(jù)實際情況綜合、靈活、創(chuàng)造性地加以應(yīng)用（3）較好的自我調(diào)節(jié)能力，敢于堅持，大膽否定，富有信心第六十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)目標(biāo)（4）能自覺抵制和糾正不正確的觀念，并逐漸形成“分析和理解（結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)關(guān)系）”、“觀察和思考”的偏好（5）較好的“解題胃口”，并獲得真正的樂趣（6）傾向于從結(jié)構(gòu)出發(fā)探索事物的數(shù)學(xué)特征，從而進(jìn)行抽象和一般化；善于尋找多種解題途徑，進(jìn)而建立新的聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)新的元素、形成新的問題（7）傾向于猜想和探索，進(jìn)而檢驗猜想、推理論證，或者在反例的基礎(chǔ)上放棄猜想；能運用不同策略解決問題，并運用于心的情境，并逐漸形成特定的數(shù)學(xué)思維模型，包括模型化、抽象化、最優(yōu)化、邏輯分析、數(shù)據(jù)推理和符號運用。第六十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個方面：

2.幫助學(xué)生增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解

NCTM在美國2000年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“解決問題的能力不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，也是一種主要的學(xué)習(xí)形式。當(dāng)學(xué)生運用問題解決的途徑去研究數(shù)學(xué)內(nèi)容時，他們可以發(fā)展新的數(shù)學(xué)理解，強(qiáng)化運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識的能力?！?/p>

另外，Kilpatrick（1985）,James等人（1993）的研究也表明，問題解決有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。第六十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個方面：

3.學(xué)會數(shù)學(xué)式的思維

Schoenfeld認(rèn)為，要通過問題解決培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，首先必須選擇一個合適的有真正數(shù)學(xué)味道的問題，這種問題的一個特征是：在解答過程中可以產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題，由此得出一連串的數(shù)學(xué)問題。例：方程和等式之間是怎樣的關(guān)系？什么是方程？什么是等式？方程是不是等式？等式是不是方程？第六十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)目標(biāo)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基本任務(wù)之一，數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)擔(dān)負(fù)著數(shù)學(xué)課程的許多重要目標(biāo)，主要包括以下四個方面：

4.幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)信念

Schoenfeld1994年曾做過一個教學(xué)實驗：“數(shù)學(xué)權(quán)威在哪里？”學(xué)生數(shù)學(xué)信念的轉(zhuǎn)化進(jìn)程：老師是仲裁者→數(shù)學(xué)論斷是否正確并不是哪個人說了算，而是數(shù)學(xué)本身的原因→討論重點轉(zhuǎn)移到：什么是有說服力的數(shù)學(xué)論據(jù)（首先說服自己；然后說服你的朋友；然后說服你的敵人），明白正確的理解、判斷的涵義，學(xué)會數(shù)學(xué)交流→自己尋找證據(jù)，而不是依賴?yán)蠋煹闹俨玫诹捻?，共一百三十九頁?022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決

數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)模式目前，數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)有以下幾種流行模式：

1.樣例學(xué)習(xí)（例中學(xué)）

2.學(xué)徒式教學(xué)

3.基于問題的學(xué)習(xí)

4.專題學(xué)習(xí)

5.發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)

6.變式教學(xué)第六十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)學(xué)問題解決

思考題影響數(shù)學(xué)問題解決的主要因素有哪些？查閱資料更多了解數(shù)學(xué)問題解決的幾種教學(xué)模式。你認(rèn)為教學(xué)實踐中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)存在什么問題？如何解決？舉例說明？你認(rèn)為在數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中如何實現(xiàn)上述四個目標(biāo)？除了上述問題，你還能提出什么問題？第六十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展估算技能與算法思想的形成算數(shù)中的問題解決數(shù)與運算的教學(xué)第六十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成從心理學(xué)研究來看，主要集中在有理數(shù)、特別是自然數(shù)上，有關(guān)無理數(shù)和虛數(shù)的研究寥寥無幾.（Zazkis&Sirotic,2004）有理數(shù)概念是學(xué)生在小學(xué)階段遇到的最重要也是最復(fù)雜的概念之一。

第六十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

有理數(shù)概念的重要性主要體現(xiàn)在以下方面（Lesh&Lando,1990）：1）從實踐方面看，能有效處理這些概念將大大改進(jìn)兒童理解和把握現(xiàn)實世界中的情況和問題的能力；2）從心理學(xué)角度看，有理數(shù)概念為兒童提供了一個豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴(kuò)展那些今后智力發(fā)展所必需的智力結(jié)構(gòu)；3）從數(shù)學(xué)的角度看，有理數(shù)概念的掌握為以后初等代數(shù)運算提供了可靠的基礎(chǔ)。第六十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（1）自然數(shù)

有關(guān)自然數(shù)概念的研究主要來自皮亞杰的工作，他認(rèn)為學(xué)習(xí)自然數(shù)概念的基礎(chǔ)是數(shù)守恒（numberconservation）的概念。數(shù)守恒概念主要有以下三個特點：

1）相互性：(增加部分能抵消減少部分。矮寬和高窄杯）

2）同一性：(水倒入不同的容器）

3）逆反性:(杯中的水倒入不同容器，可再回到原來的杯中)第七十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（1）自然數(shù)兒童對數(shù)概念的認(rèn)識有三個發(fā)展階段：

1）4-5歲，對數(shù)概念無法理解，無法運用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實物，通常用實物的長度是否相同來判定兩組數(shù)目是否相等2）5-6歲是過渡時期，會運用一對一關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但當(dāng)這個關(guān)系被破壞，便認(rèn)為兩組實物非同數(shù)，即無法保留自己建構(gòu)的同等性，對一對一的關(guān)系沒有充分理解3）6歲半以后，對數(shù)概念真正理解，已經(jīng)能用各種方法建構(gòu)同等性。第七十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（2）位值位值是小學(xué)階段比較難學(xué)的概念之一，涉及一系列復(fù)雜的想法及關(guān)系。從20世紀(jì)70年代開始，位值概念就是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個研究熱點，其中一些重要的研究成果包括：

1）貝德納茲和詹妮弗（Bednarz&Janvier,1982）的研究：學(xué)生把“個、十、百”的位值含義更多地根據(jù)位值的順序來理解，而不是根據(jù)十倍的分組順序；學(xué)生把借位的含義解釋為“刪去一個數(shù)位，拿走一個，在下一數(shù)位上加一”，而不是重新分組的一個手段。第七十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（2）位值

2）整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系（或相似）對學(xué)習(xí)是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面的而未能適應(yīng)小數(shù)方面的（Hiebert,1992）例如，0.56大于0.7；0.56讀作“點五十六”等；“更多位”的小數(shù)更大為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教輔工具和軟件應(yīng)運而生：狄氏多層算數(shù)積木、

unifix軟件

“分群與位值軟件”

……第七十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（3）分?jǐn)?shù)

在分?jǐn)?shù)概念形成過程中，有幾個關(guān)鍵的因素（Piageteral.,1960）

1）對單位量的認(rèn)知：一盒雞蛋10個，能夠把1/5盒視為10個雞蛋五等份中的一份，就是2個雞蛋；

2）具有等分割的概念

3）理解部分與整體的關(guān)系第七十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（4）小數(shù)由于小數(shù)與分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間分別具有不少相同之處，小數(shù)的學(xué)習(xí)或多或少受到分?jǐn)?shù)或整數(shù)的影響。小數(shù)概念形成有兩條基本途徑：

1）通過分?jǐn)?shù)的“部分與整體”的關(guān)系。有限小數(shù)是分?jǐn)?shù)的特例；一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量；兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量；

……

第七十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（4）小數(shù)

2）利用整數(shù)的位值概念。任何非負(fù)整數(shù)皆可用展開式表示：a3a2a1a0

在此記錄系統(tǒng)下，個位是記錄幾個一的位置，其位值是1；以個位為基準(zhǔn)點，往左一位是十位，記錄幾個十，位值是10；再往左一位是百位，記錄幾個百，其位值是100，以此類推，無限延伸……

同樣，個位也能向右延伸，將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù)。個位是基準(zhǔn)點，，向右一位是除以10的結(jié)果，再往右擴(kuò)展一位是除以100的結(jié)果……

利用位值往右擴(kuò)展的結(jié)果，有了新符號（小數(shù)符號）及新位名的產(chǎn)生：十分位、百分位、千分位……第七十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

2、數(shù)概念的形成

（5）負(fù)數(shù)在使用負(fù)數(shù)和它的運算方面，中國在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，2000多年前，《九章算術(shù)》的“方程”章中就引入了負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)加減法的運算法則。印度是628年左右提出負(fù)數(shù)。而歐洲晚得多，也困難得多，有關(guān)“負(fù)數(shù)是不是數(shù)”的辯論延續(xù)了幾百年后才逐漸取得比較一致的看法：負(fù)數(shù)和零、正數(shù)一樣，也是數(shù)。在負(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，中國學(xué)生似乎并沒有遇到像西方學(xué)生那樣多的困難。目前，對于在小學(xué)階段引入負(fù)數(shù)概念，是否會給學(xué)生帶來困難并對后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，仍然缺乏深入研究。第七十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)概念與數(shù)意識的形成與發(fā)展

3、數(shù)意識的形成與發(fā)展

數(shù)意識（numbersense）的認(rèn)識和解釋并不統(tǒng)一，一些代表性說法

NCTM2000：1）了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)；

2）了解運算的意義亦即運算之間的關(guān)聯(lián)性；

3）流利地計算并做合理的估算。（對運算的要求有了明顯提高）中國新課程：1）理解數(shù)的意義，能用多種方法表示數(shù)；

2）能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；

3）能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；

4）能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ?/p>

5）能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋。第七十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算（computationalestimation）在西方各國早就是中小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，中國則是首次在課程標(biāo)準(zhǔn)中出現(xiàn)。（與數(shù)學(xué)運用有關(guān)；與數(shù)意識密切相關(guān)）

一個好的估算者至少擁有三種策略（Sowder,1992）

1)重組（reformulation）：改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以方便心算；

2）轉(zhuǎn)換（translation）：把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成更易處理的形式；

3）調(diào)整（compensation）：計算中及計算后，可調(diào)整估計值至較接近的近似值。

第七十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算技能形成的影響因素

1）思維的靈活性，對位值、基本的數(shù)常識、運算的性質(zhì)和數(shù)字的比較有很好的理解。

2）心算（mentalcomputation）能力與估算能力密切相關(guān)。心算不是指在腦中做快速計算，而是要求學(xué)生仔細(xì)查看題目中的數(shù)字，考慮數(shù)字的意義，并能了解運算中某一部分的改變會有什么影響。因此，心算需要反省，需要理解數(shù)字，進(jìn)而擴(kuò)扎對數(shù)字的更深入理解。心算是培養(yǎng)數(shù)意識和估算技能的方法。

3）估算能力和計算能力之間并沒有很高的相關(guān)性，研究發(fā)現(xiàn)，計算能力強(qiáng)的學(xué)生其估算能力并不一定高。第八十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

算法（algorithm）一詞出現(xiàn)于12世紀(jì)。意指以有限的步驟解決數(shù)學(xué)問題的程序。算法的一般要求可以歸納為五性：

可行性：指算法中每一步都能實現(xiàn)。例如，不能出現(xiàn)負(fù)數(shù)開方、0作除數(shù)等

確定性：指每執(zhí)行一步后，對于下一步有明確的指示，不允許模糊或多義，保證其“機(jī)械性”，可交由計算機(jī)執(zhí)行。（“如果x>0,就將x加上一個正數(shù)”，錯誤，必須指出這個正數(shù)是什么）

有窮性：指算法能在有限的步驟內(nèi)結(jié)束

有效性：指每個算法對滿足條件的問題能得到正確的結(jié)果

普遍性：指能解決一類問題而不是一個問題隨著計算機(jī)的普及，算法思想顯得越來越重要。第八十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

雖然我國數(shù)學(xué)新課程首次把算法作為正式的教學(xué)內(nèi)容，并且安排在高中，但實際上，算法思想在小學(xué)階段就已經(jīng)開始滲透。例如，找規(guī)律、運算律和運算性質(zhì)等。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法至少有以下理由（Clarke,2005）:1)可以有效解決一類問題；2）是壓縮的、一般化的解題程序；3）是程序化的，不明原理仍可掌握；4）可教的；5）教師易于處理和評價。也有研究者指出過早學(xué)習(xí)算法的不利影響：

1）算法程序常常與人們的思維習(xí)慣不一致；2）會誘使學(xué)生放棄自己的想法，不利于“原創(chuàng)思想”的培養(yǎng)；3）不利于數(shù)意識的形成；4）會使學(xué)生盲目接受運算的結(jié)果；5）在實際生活中，書面算法很少使用。第八十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題解決研究，特別是有關(guān)算術(shù)問題的研究，是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)中成果最為豐富的一個領(lǐng)域。

1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略算術(shù)中的問題主要包括自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的四則運算及其應(yīng)用題，這里主要討論算術(shù)應(yīng)用題。（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型托馬斯·P·卡彭特（ThomasP．Carpenter）把加減法文字題分成四類：變化、合并、比較和相等。第八十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型變化類型舉例結(jié)合：康妮有5顆彈子，吉姆又給了她8顆，康妮有多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現(xiàn)在13顆，原來康妮有多少顆？康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？分離：康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現(xiàn)在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現(xiàn)在她有8顆，原來康妮有多少顆？第八十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型合并類型舉例康妮有5顆紅色彈子和8顆藍(lán)色的彈子，她共有少顆彈子？康妮有13顆彈子，5顆紅色的，剩余是藍(lán)的，康妮有多少顆藍(lán)色彈子？

第八十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型比較類型舉例

康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮比吉姆多幾顆？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆比康妮少幾顆？吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多8顆，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，他比康妮少8顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，吉姆比康妮少5顆，吉姆有多少顆？第八十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應(yīng)用題（加減法文字題）類型相等類型舉例康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆要贏多少顆才能與康妮的彈子數(shù)相等？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮失掉多少顆才能與吉姆的彈子數(shù)量相等？吉姆有5顆彈子，如果他贏得8顆，那么他就會和康妮的彈子一樣多，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，如果康妮失掉8顆，她將會和吉姆擁有的彈子一樣多，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，如果吉姆贏得5顆，他將和康妮的彈子一樣多，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，如果她失掉5顆，她會和吉姆擁有的彈子一樣多，吉姆有多少顆？第八十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（2）乘法應(yīng)用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將乘法應(yīng)用題分為三類：

1）大小改變：原始量x改變大小的比率=改變后的量，如利率問題

2）交叉運用：兩個基本單位量相互交叉運算，得到一個復(fù)合單位的量，如面積和組合問題

3）比例因子：比例因子x數(shù)量=另一個量，其中比例因子如3個/人，60km/h等

第八十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（3）除法應(yīng)用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將除法應(yīng)用題分為五類：

1）求同單位量之間的比率：兩個意義相同及單位相同的數(shù)量比較所得無單位的數(shù)值，如倍數(shù)、百分率等

2）求異單位量之間的比率：兩個不同單位量相互比較，得到一個單位量，如單價、人口密度、速率等

3）除數(shù)為異單位之間比率的除法：為乘法比例因子的逆運算，如分物，實踐單位轉(zhuǎn)換等

4）除數(shù)為大小改變因子的除法：乘法大小改變的逆運算，即已知一數(shù)量的倍數(shù)或一部分，而求原數(shù)量

5）反求因子：為乘法交叉運算的逆運算。

第八十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決1、算術(shù)問題的基本類型及其解題策略（4）相關(guān)解題策略的研究

目前，主要對乘除法應(yīng)用題的解題策略進(jìn)行了研究，比如，乘法應(yīng)用題解題策略的表現(xiàn)層次：直接表征法、過渡型計數(shù)法、加法和背誦乘法事實除法應(yīng)用題解題策略表現(xiàn)層次：直接表征、數(shù)值上的加數(shù)處理、減法、加減與乘法、分配律。有待進(jìn)一步研究。第九十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

1）未知數(shù)的位置（變化類型）康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現(xiàn)在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現(xiàn)在13顆，原來康妮有多少顆？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現(xiàn)在她有8顆，原來康妮有多少顆？

未知數(shù)的位置越在前面，難度越高。第九十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

2）語言的表述（比較類型）

吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多5顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？

具有一致性語言的情形易于非一致性語言的情形參照量未知的情形要難于比較量未知的情形

第九十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

3）數(shù)字的形式（乘除法應(yīng)用題）研究表明，對于乘法應(yīng)用題，問題類型對學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵，特別當(dāng)乘數(shù)是小數(shù)的情況，往往會覺得更困難；對于除法應(yīng)用題，等分除和包含除題型亦會受到數(shù)字形式的影響，特別當(dāng)被除數(shù)小于除數(shù)時對學(xué)生的影響較大。乘法總是變大，除法總是變小第九十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

4）問題的結(jié)構(gòu)（除法應(yīng)用題）

研究表明，學(xué)生在解決除法問題時，往往會形成“等分模式”的思維定勢；學(xué)生的直覺模式是等分除（即將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量

）；學(xué)生較易接受等分除的概念，但也因此產(chǎn)生許多錯誤概念，甚至妨礙包含除（即告訴每一份的數(shù)量，求能將整體平均分成幾份

）概念的理解。第九十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

5）單位的變化在數(shù)量單位的變化中，除了名稱的變化外，還包括維度的變化，這也是造成乘除法問題比加減法問題困難的原因。因為后者只涉及一位空間，但前者可能涉及二維或三維的度量空間，甚至涉及度量空間之間的關(guān)系。（林碧珍，1991）兒童甚至于成人一般均避免使用乘除法方法，而比較喜歡以加減運算來解決問題。（Hart,1981）第九十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算算術(shù)中的問題解決2、算術(shù)問題的難度分析了解算術(shù)問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認(rèn)知角度有效地指導(dǎo)兒童跨越障礙。

6）問題的表征在算術(shù)問題中造成問題表征困難的主要原因是缺乏相應(yīng)的符號，如未知數(shù)符號的使用?！耙粋€數(shù)的5倍加4等于24，求這個數(shù)”，若將這個數(shù)用未知數(shù)符號x表示，則問題就轉(zhuǎn)化為簡單的計算；而若用算術(shù)思維方法，則需要一個逆向思維的過程。第九十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)與運算的教學(xué)

研究表明，有些內(nèi)容從來都是被認(rèn)為難教難學(xué)，其中包括分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比例和百分?jǐn)?shù)（Barnett,Goldenstein&Jackson,1994）。因此，有關(guān)這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)也就成為小學(xué)階段學(xué)習(xí)理論研究的熱點，成果也比較豐富。第九十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)與運算的教學(xué)

1、數(shù)與運算教學(xué)的認(rèn)知分析（1）認(rèn)知層次分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)五個連續(xù)層次（Kieren,1992）

1）把分?jǐn)?shù)作為整體的一部分；

2）對一個事先分成若干份的整體，通過數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分?jǐn)?shù)；

3）把一個整體平均分成若干份，對整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進(jìn)行計數(shù)；

4）通過數(shù)“份數(shù)”對兩個異分母的分?jǐn)?shù)求和；

5）根據(jù)分?jǐn)?shù)的加法原理，對兩個異分母的分?jǐn)?shù)求和。

Kieren認(rèn)為，分?jǐn)?shù)教學(xué)應(yīng)該按照上述五個層次進(jìn)行，不同層次之間不能隨意“串位”，否則容易造成理解上的混亂。第九十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論通識知識：數(shù)與運算數(shù)與運算的教學(xué)

1、數(shù)與運算教學(xué)的認(rèn)知分析（1）認(rèn)知層次小數(shù)的6個認(rèn)知層次（Hartetal,1981）：

1）千位數(shù)以內(nèi)的位值概念；

2）一位小數(shù)；

3）二、三位小數(shù)；

4）與左邊的位值關(guān)系，如5.13X10的結(jié)果與5.13的差異；