第五章大數(shù)定律

第五章大數(shù)定律與中心極限定理切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.如圖所示二、Chebysherv不等式的應(yīng)用概率的估算

例解：設(shè)該地區(qū)次小麥品種的畝產(chǎn)量為X.理論證明的工具例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.例2在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=

P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫(xiě)為在切比雪夫不等式中取n，則

=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依題意，取

即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律依概率收斂定義及性質(zhì)小結(jié)依概率收斂定義：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意整數(shù)ε，有：則稱序列依概率收斂于a記做：請(qǐng)注意:背景：

大數(shù)定律研究在什么條件下隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值收斂于其均值的算術(shù)平均值。特例：頻率的穩(wěn)定性。大數(shù)定律（難點(diǎn)）大數(shù)定律設(shè){Xk}是隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，若對(duì)于任意ε>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律.大數(shù)定律Chebysherv

定理1(Chebysherv大數(shù)定律)切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界。則當(dāng)n充分大時(shí)，偏差很小的概率接近于1與其數(shù)學(xué)期望即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述解獨(dú)立性依題意可知,檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？例1說(shuō)明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗(yàn)是否具有有限方差？說(shuō)明離散型隨機(jī)變量有有限方差,故滿足切比雪夫定理的條件.一、大數(shù)定律定理2（切比雪夫定律的特殊情況）切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，有做前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均說(shuō)明

設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε>0，有定理2（伯努利大數(shù)定律）或

伯努利下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)于任意正數(shù)ε

，有定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽

1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性.要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性塊，例如n塊地.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).大數(shù)定理的應(yīng)用Khintchin大數(shù)定理應(yīng)用Bernoulli大數(shù)定理應(yīng)用尋找隨機(jī)事件概率提供了一條實(shí)際可行的途徑尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑例2

在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…問(wèn)對(duì)序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對(duì)任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.解由辛欽定理知例3小結(jié)大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性第二節(jié)中心極限定理中心極限定理例題小結(jié)

定義：設(shè){Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,有則稱隨機(jī)變量序列{Xk}服從中心極限定理.一、中心極限定理定理5.5（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）定理5.5的等價(jià)形式1){Xn}獨(dú)立同分布，D(Xn

)<∞。則當(dāng)n較大時(shí)，定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布。注例:將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布.求：提示：由中心極限定理可知：標(biāo)準(zhǔn)化之后服從N(0,1)例:將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？由中心極限定理，Yn服從N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)化Yn例：根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命總和大于1920小時(shí)的概率解：設(shè)第i只元件的壽命為Xi，i=1,2,…,16由已知條件，諸Xi獨(dú)立，E(Xi)=100,D(Xi)=1000016只元件的壽命總和為依題意，所求為例：根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命總和大于1920小時(shí)的概率.由中心極限定理，近似N(0,1)=1-0.7881=0.2119定理5.7(棣莫佛－拉普拉斯DeLaplace定理）

設(shè)隨機(jī)變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說(shuō)，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量的分布近似正態(tài)分布

N(np,np(1-p)).即例

已知一大批種子的良種率是1/6，現(xiàn)從中任意選出600粒，求這600粒種子中，良種所占的比例值與1/6之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.02的概率。

解從一大批種子中任選600粒，內(nèi)含良種的粒數(shù)為隨機(jī)變量X，有X～B(600,1/6)。所求概率可表為如不用中心極限定理，則應(yīng)如下求解：中心極限定理的應(yīng)用獨(dú)立同分布的中心極限定理應(yīng)用DeMoivre-Laplace中心極限定理應(yīng)用二、例題例1于是解例2.

(供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率0.6,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺(tái)車床工作，（由于每臺(tái)車床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得從中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是說(shuō),應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故例3解例1根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.三、課堂練習(xí)例2在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…(1)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.（2）解：在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,即其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826例

某保險(xiǎn)公司對(duì)一種電視機(jī)進(jìn)行保險(xiǎn)，現(xiàn)有3000個(gè)用戶，各購(gòu)得此種電視機(jī)一臺(tái)，在保險(xiǎn)期內(nèi)，這種電視機(jī)的損壞率為0.001，參加保險(xiǎn)的客戶每戶交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，電視機(jī)損壞時(shí)