第五章大數(shù)定理和中心極限

第五章大數(shù)定律及中心極限定理概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)變量規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有對(duì)大量的隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來，研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理的研究，極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章只討論大數(shù)定理和中心極限定理。第一部分

大數(shù)定律一、契比雪夫不等式三、基本定理二、典型例題四、小結(jié)一、契比雪夫不等式證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.

切比雪夫不等式.,,)()及(成立不等式則對(duì)于任意正數(shù)方差具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量定理εXDXEX得契比雪夫不等式的含義契比雪夫不等式用于估計(jì)X落入?yún)^(qū)間(E(X)-,E(X)+)的概率.當(dāng)方差D(X)很小時(shí),X落入?yún)^(qū)間(E(X)-,E(X)+)是大概率事件;X落入?yún)^(qū)間(E(X)-,E(X)+)之外是小概率事件..,,)()及(成立不等式則對(duì)于任意正數(shù)方差具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量定理εXDXEX例5-1

設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定=2,2.5,實(shí)際計(jì)算P{|X-E(X)|},并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.解:X的分布律為所以故二、典型例題例5-1

設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定=2,2.5,實(shí)際計(jì)算P{|X-E(X)|},并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2,則P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2}=1/3

可見契比雪夫不等式成立例5-1

設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定=2,2.5,實(shí)際計(jì)算P{|X-E(X)|},并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2.5,則P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2.5}=1/3

可見契比雪夫不等式成立例已知隨機(jī)變量X的期望E(X)=100,方差D(X)=10,估計(jì)X落在80到120內(nèi)的概率.解定理5-2（貝努利大數(shù)定理）三、基本定理關(guān)于貝努利定理的說明:

故而當(dāng)n很大時(shí),事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…是相互獨(dú)立的,若對(duì)任意的n>1,

X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的,且所有的變量Xi又具有相同的分布,則稱X1,X2,…,Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。定理5-3（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的契比雪夫大數(shù)定律）契比雪夫定理的特殊情況表達(dá)式的意義證明由契比雪夫不等式可得則關(guān)于定理5-3的說明:（這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增加時(shí),幾乎變成一個(gè)常數(shù).定理5-3的另一種敘述:.

,

1

),,2,1()(,)(,

,

,,

,

1221mmsm???====?=PnkkkknXXnXkXDXEXXX即依概率收斂于則均值和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量LLL四、小結(jié)兩個(gè)大數(shù)定理契比雪夫不等式貝努利大數(shù)定理契比雪夫定理的特殊情況頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ),而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.第二部分中心極限定理一、問題的引入二、基本定理三、小結(jié)正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有很重要的地位，在自然界與工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到大量的隨機(jī)變量都是服從正態(tài)分布的.在某些條件下，即使原來不服從正態(tài)分布的一些隨機(jī)變量，它們的和的分布當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無限增加時(shí)也趨于正態(tài)分布。在概率論中，把有關(guān)論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的一類定理稱為中心極限定理。一、問題的引入二、基本定理定理5-4（獨(dú)立同分布的中心極限定理）定理5-4表明:.,數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函的分布函數(shù)收斂于隨機(jī)變量序列當(dāng)nYn￥?注：1、注：2、例5-3

對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊的命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求這100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)Xi(i=1,2,…,100)為第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)，由于100次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)為則由題意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互獨(dú)立，

E(Xi)=2,D(Xi)=1.52則由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則例5-4

某種電器元件的壽命服從均值100（單位：小時(shí)）的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時(shí)的概率.解設(shè)Xi(i=1,2,…,16)為第i只電器元件的壽命，由于16只電器元件的壽命總和為則由題意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互獨(dú)立，

E(Xi)=100,D(Xi)=1002則由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則證明根據(jù)前面伯努利大數(shù)定律定理5.5(德莫佛－拉普拉斯中心極限定理)ZnZnZn根據(jù)定理5-4得定理表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布,當(dāng)n充分大時(shí),可以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.Zn結(jié)論：在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p.則當(dāng)n充分大，近似服從于正態(tài)分布解例5-5根據(jù)定理5-5，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布練習(xí)某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.練習(xí)

某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求