第二章單粒子軌道理論

第二章單粒子軌道理論一引言二帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)三帶電粒子在變化磁場中的運(yùn)動(dòng)四帶電粒子在變化電場中的運(yùn)動(dòng)五絕熱不變量六帶電粒子在環(huán)形磁場中的運(yùn)動(dòng)一引言等離子體物理的基本描述方法

單粒子軌道理論 磁流體動(dòng)力論(DynamicTheory)

等離子體動(dòng)理學(xué)(KineticTheory)

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)等離子體的特征：大量帶電粒子的集合體

庫侖場－帶電粒子之間的相互作用

外力場－粒子與外場的相互作用等離子體行為的雙重性

流體／單個(gè)粒子的集合什么是單粒子軌道理論？

是一種簡單近似的理論； 忽略等離子體粒子之間的相互作用，認(rèn)為集體效應(yīng)不重要的理論； 從單個(gè)帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)； 用單個(gè)帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)軌道描述等離子體。適用條件稀薄等離子體，粒子密度很低，粒子間的相互作用可以忽略，認(rèn)為等離子體是無碰撞的；電荷及電流的分布在動(dòng)力學(xué)中不起主要作用；感應(yīng)場與外加場比起來是小量；

等離子體熱壓與磁壓之比很小。優(yōu)點(diǎn)簡單直觀，物理圖象清晰。意義是一種有用的基本描述方法；是研究復(fù)雜問題的出發(fā)點(diǎn)；在強(qiáng)磁場情況下具有實(shí)際意義?；疚锢砟Ｐ?/p>

對于電荷為q

、速度為

v

的帶電粒子，在電場強(qiáng)度為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

的電磁場中運(yùn)動(dòng)，在非相對論情況下，其運(yùn)動(dòng)方程是其中,F

為非電磁力。這里假定電場和磁場是預(yù)先確定的只討論比較簡單的情況二、帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)1

均勻恒定磁場

此時(shí)，B

=常數(shù)，E

=0，F(xiàn)

=0，粒子運(yùn)動(dòng)方程變成

（1）取z在B的方向(B=Bez)，得到（2）（3.1）

（3.2）

顯然，方程（2）給出平行磁場的粒子速度是常數(shù)，于是由動(dòng)能守恒知道粒子的垂直速度大小也保持不變。所以在均勻恒定磁場中，粒子平行于磁場和垂直于磁場的運(yùn)動(dòng)是相對獨(dú)立的。方程（3）描寫的是一個(gè)簡單諧振子的運(yùn)動(dòng)，其具有回旋頻率（cyclotronfrequency），定義如下：方程（3）的解為其中是垂直磁場方向上的運(yùn)動(dòng)速度。再對（4）式求時(shí)間積分，可以得到粒子軌道的方程式a,x0,y0和z0都由初始條件決定。式中定義為回旋半徑。當(dāng)一個(gè)帶電粒子在一個(gè)均勻恒定磁場（Bez）中運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)粒子軌道在垂直磁場的平面上的投影是以(x0,y0)為圓心以rc為半徑的圓，也就是說粒子在垂直磁場平面內(nèi)作回旋運(yùn)動(dòng)，其回旋頻率為W，同時(shí)，粒子還以速度v||沿磁力線作勻速直線運(yùn)動(dòng)。總之，帶電粒子在均勻恒定磁場中作螺旋運(yùn)動(dòng)。這條螺線的半徑是粒子回旋半徑，螺距為。粒子回旋中心的軌道叫做引導(dǎo)中心。

圖1帶電粒子在均勻恒定磁場中的運(yùn)動(dòng)關(guān)于粒子回旋頻率和回旋半徑：

粒子不同，回旋運(yùn)動(dòng)的方向不同，回旋頻率的大小也不同。回旋頻率與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比，與粒子質(zhì)量成反比，所以在一定磁場中電子的回旋頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于離子的回旋頻率?；匦霃降拇笮∨c粒子質(zhì)量和垂直速度成正比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小成反比。關(guān)于等離子體的抗磁性：處于磁場中的帶電粒子繞磁力線作圓周運(yùn)動(dòng)，于是它們形成了一個(gè)“小電流圈”，正負(fù)電荷旋轉(zhuǎn)方向相反，但形成的電流方向是相同的，迎著磁場看，作回旋運(yùn)動(dòng)的帶電粒子形成的電流是沿順時(shí)針流動(dòng)的，這個(gè)環(huán)方向電流會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)磁場，感應(yīng)磁場的方向正好與外磁場相反，它起著“抵消”或“反抗”外磁場的作用，我們把這種等離子體的特性稱之為等離子體的抗磁性?；匦l率回旋半徑（拉摩半徑）引導(dǎo)中心（導(dǎo)向中心）磁距等離子體抗磁性二、帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)2在均勻恒定磁場中的電漂移

現(xiàn)在我們考慮除有均勻恒定的磁場B外，還存在一個(gè)均勻恒定的小電場E，此時(shí)帶電粒子運(yùn)動(dòng)方程為

方程（7）式只比方程（1）式多了一個(gè)電場作用項(xiàng)，我們把電場分解為沿磁場和垂直磁場的分量，，顯然，方程（7）式的z分量形式為從上式我們發(fā)現(xiàn)由于E||使粒子沿磁力線作勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，沿磁力線運(yùn)動(dòng)的速度可以達(dá)到相當(dāng)大，以致于非相對論近似不成立；由于正負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動(dòng)，引起較大尺度的電荷分離，產(chǎn)生很大的電場；由于粒子速度大，會(huì)產(chǎn)生較大的宏觀電流，這個(gè)電流又要產(chǎn)生感應(yīng)磁場，于是就會(huì)改變原來的磁場形態(tài)?？傊@些情況都導(dǎo)致單粒子軌道理論不再適用。所以，我們這里必須假設(shè)E||=0，這樣粒子沿磁力線只能作勻速直線運(yùn)動(dòng)。方程（7）的垂直分量形式為通過物理直觀分析（見圖2）可見，電場的存在使粒子有一個(gè)漂移速度，漂移的方向與磁場方向垂直。設(shè)，于是方程（10）寫成為對（11）式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到圖2電漂移很容易得到方程（12）的解另外，將（13）式與（4）式比較，顯然電場E產(chǎn)生了一個(gè)既垂直于磁場又垂直于電場的漂移速度，可以寫成矢量形式：帶電粒子在均勻恒定電磁場中的漂移速度公式由（14）式給出。這個(gè)電漂移速度的特征為：vE漂移方向垂直于磁場，也垂直于電場；vE的大小與粒子電荷的正負(fù)號無關(guān)，與粒子質(zhì)量也無關(guān)；電子、離子都以相同的速度朝同方向漂移，不會(huì)引起電荷分離，因此沒有漂移電流出現(xiàn)。二、帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)3在均勻恒定磁場中的重力漂移在我們討論其它力場作用的情況時(shí)，只需要將（7）式中的電場微擾力作用項(xiàng)用一般的作用力F替代就可以了，即所以（14）式中E的換成F/q，就可以得到一般力場F引起的粒子漂移速度公式如果方程（15）中的F是重力，F(xiàn)=mg,則存在一個(gè)重力漂移

重力漂移的物理原因也是因?yàn)樵谥亓鲋辛Ｗ拥玫胶蛽p失能量時(shí)所引起的回旋半徑變化而導(dǎo)致的。

重力漂移速度的特征為：

vg的方向垂直于磁場，也垂直于重力加速度；

vg與粒子電荷符號有關(guān)，電子、離子朝相反方向漂移，會(huì)產(chǎn)生電荷分離；

vg的大小與粒子質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，漂移速度越大；

vg的大小通?？梢院雎?，但當(dāng)磁力線彎曲時(shí)，存在一個(gè)因離心力作用引起的有效重力，這個(gè)有效重力與質(zhì)量無關(guān)，是不能忽略的，它是等離子體不穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。重力漂移會(huì)引起漂移電流。電子和離子在重力作用下以相反的方向漂移，所以在等離子體中會(huì)有一個(gè)凈電流密度。漂移運(yùn)動(dòng)的特性：漂移是洛倫茲力和微擾力的平衡決定。電場力引起的漂移與電荷無關(guān)；而非電性力與電荷無關(guān)，可是對應(yīng)的漂移速度卻與電荷有關(guān)。三、帶電粒子在變化磁場中的運(yùn)動(dòng)1漂移近似一般情況電磁場是空間非均勻的，并且隨時(shí)間變化，于是帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程是非線性的，很難得到解析解，需要數(shù)值積分求解，但在某些近似條件下，可以不經(jīng)過數(shù)值積分而得到近似解，下面我們介紹一種近似處理方法。如果等離子體中

電磁場的空間、時(shí)間變化很平緩；電磁場的空間、時(shí)間變化平緩就是指在一個(gè)回旋半徑或回旋周期內(nèi)電磁場變化很小。

電場很弱；電場引起粒子速度的改變?yōu)?，如果在一個(gè)回旋周期內(nèi)，則可以認(rèn)為電場很弱。

粒子的橫向速度很大在一個(gè)回旋周期內(nèi)粒子軌跡偏離拉摩圓不大，或者粒子橫向速度遠(yuǎn)大于回旋中心橫越磁力線的速度，則磁力線可維持螺旋狀。

滿足上述三個(gè)條件的粒子回旋運(yùn)動(dòng)，對等離子體性質(zhì)及軌道的影響很小，就是說在粒子繞磁場一周的距離和時(shí)間尺度內(nèi)幾乎感受不到電磁場的變化，場近似為恒定和均勻的，這樣就可以用粒子導(dǎo)向中心運(yùn)動(dòng)來代替粒子的精確運(yùn)動(dòng)，使問題大為簡化，這種方法稱為漂移近似，也稱為導(dǎo)向中心近似。三、帶電粒子在變化磁場中的運(yùn)動(dòng)2梯度漂移是矢量導(dǎo)數(shù)，是9個(gè)函數(shù)構(gòu)成的一個(gè)二階張量，描述了磁場的空間非均勻性。定義散度項(xiàng)：橫向梯度項(xiàng)：曲率項(xiàng)：剪切項(xiàng)：帶電粒子在一般非均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，下面我們只討論兩種簡單的情況：磁場梯度漂移和曲率漂移。在等離子體中垂直磁場方向如果有梯度，就會(huì)引起帶電粒子在垂直于磁場和磁場梯度的方向的漂移，叫磁場梯度漂移。設(shè)：B沿z方向，在y軸方向存在梯度，于是從運(yùn)動(dòng)方程（1）式出發(fā)對方程（20）求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到我們采用漂移近似，磁場滿足緩變條件粒子旋轉(zhuǎn)一周的過程中磁場幾乎不變，所以W可以在引導(dǎo)中心附近展開

（22）將上式帶入（21）式，得到：

(23.1)(23.2)與（3）式比較，方程（23）右端的項(xiàng)均為小量，可以用均勻磁場的值代替，于是（23）式的解為下面的（24）式：（24.1）式右邊最后一項(xiàng)垂直于磁場B(y)ez,也垂直于磁場梯度方向，即為垂直于磁場梯度方向的漂移速度：

（25）其中為動(dòng)能，上式寫成矢量形式（