第七章應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)分析

第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析材料力學(xué)1第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析§7—1應(yīng)力狀態(tài)概述§7－2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7－3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§7－4梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線§7－5三向應(yīng)力狀態(tài)研究§7－6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析§7－7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系§7－8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能小結(jié)第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析2§7—1應(yīng)力狀態(tài)概述一、基本概念：鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？FF鑄鐵拉伸F鑄鐵壓縮鑄鐵第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析3組合變形桿將怎樣破壞？ＭF1、應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)任意一點處取一單元體，單元體上的應(yīng)力。σmax？

τmax？2、一點處應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)通過一點各個方向的應(yīng)力的總稱。3、研究的目的：找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。4、研究方法：取單元體。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析4FF單元體的概念：構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體上應(yīng)力的性質(zhì)：每個面上的應(yīng)力均布，每對相平行面上的應(yīng)力大小、性質(zhì)完全相同。Aσατα5、主平面：切應(yīng)力等于零的面。6、主應(yīng)力：主平面上的應(yīng)力（正應(yīng)力）。7、主單元體：由主平面組成的單元體。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值由大到小。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析5301050單位：MPaσ1=50MPa；σ2=10MPa；σ3=-30MPa。3010σ1=10MPa；σ2=0MPa；σ3=-30MPa。8、畫原始單元體：例：畫出下列圖中的a、b、c點的已知單元體。aaFF第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析6xyzＭbCbbσxxyzbCFL第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析7b

xssxxyzＭbcＭ0二、應(yīng)力狀態(tài)的分類：1、單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不等于零，另兩個主應(yīng)力都等于零的應(yīng)力狀態(tài)。2、二向應(yīng)力狀態(tài)：有兩個主應(yīng)力不等于零，另一個主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)。3、三向應(yīng)力狀態(tài)：三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析8平面應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)的總稱?？臻g應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體上只存在切應(yīng)力無正應(yīng)力。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析9§7－2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法一、任意斜面上的應(yīng)力計算s

xt

xys

y第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)：一對平行側(cè)面上無應(yīng)力，其余面上的應(yīng)力平行于這對平面。10s

xt

xys

y圖1nt設(shè)：斜截面面積為ｄA，由分離體平衡得：第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析11考慮切應(yīng)力互等和三角變換，得：——任意α斜面應(yīng)力的計算公式第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析12符號規(guī)定：、“”正負號同“”；

、“ta”正負號同“t”

；

、“a”為斜面的外法線與Χ軸正向的夾角，由Χ軸逆時針轉(zhuǎn)到斜面為正，順時針為負。二、σ、τ的極值及所在平面（主應(yīng)力，主平面）注意：用公式計算時代入相應(yīng)的正負號規(guī)律：1、σ的極值及所在平面（主應(yīng)力，主平面）第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析13——主平面的位置——主應(yīng)力的大小α0α0最大正應(yīng)力（σmax）與X軸的夾角規(guī)定用“α0”表示。簡易判斷規(guī)律：由τ的方向判斷。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析142、τ的極值及所在平面——最大切應(yīng)力所在的位置——xy面內(nèi)的最大切應(yīng)力——整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力與X軸的夾角規(guī)定為“α1”第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析15t

xyt

yx例：如圖所示單元體，求主應(yīng)力及主平面。解：1、主應(yīng)力2、主平面σ1σ34503020單位：MPaσ1、σ2、σ3

？第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析16例：如圖所示單元體，求α斜面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面。（單位：MPa）300405060解：1、α斜面的應(yīng)力第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析172、主應(yīng)力、主平面σ1=80.7（MPa）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa）。405060σ1σ3α0σ1；σ2；σ3？90405060（單位：MPa）第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析18§7－2-（2）平面應(yīng)力狀態(tài)分析——應(yīng)力圓法（圖解法）對上述方程消參（2），得：——應(yīng)力圓方程（莫爾圓）一、基本原理：圓心：半徑：第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析19二、應(yīng)力圓的繪制：1、取直角坐標系σοτ。2、取比例尺（嚴格按比例做圖）。3、找點4、連交σ軸于C點，以C為圓心，CD為半徑畫圓——應(yīng)力圓。stoD/B1B2D第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析20三、證明：既圓心：既半徑：stoDD/B1B2A1A2第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析21四、計算：1、以D為基點，轉(zhuǎn)2α的圓心角至E點，轉(zhuǎn)向同單元體上的方向。stoDD/B1B2A1A2E2α2α02、主應(yīng)力3、主平面以D為基點，轉(zhuǎn)到A1點，其圓心角為2α0，逆時針時α0為“＋”；順時針時α0為“－”。（α0——主平面的位置)。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析22stoDD/B1B2A1A24、切應(yīng)力的極值及所在位置G1G22α1以D為基點，轉(zhuǎn)到G1點，其圓心角為2α1。由應(yīng)力圓可證明——最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力所在平面相差450第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析23stoDD/B1B2A1A22α0E2αF證明：（2α角的關(guān)系）證畢第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析241、應(yīng)力圓上的點與單元體上的面相對應(yīng)，點的坐標即為單元體面上的應(yīng)力值。2、應(yīng)力圓上兩點對應(yīng)的圓心角為“2α”，單元體上兩面的夾角“α”，且兩者轉(zhuǎn)向相同。五、注意第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析25408060例：求α=300斜面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面（單位：MPa）。2α0600E（σ300；τ300）FA1A2τσODD/C2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析26例：求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)CAB2β

02、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析60°β

0

1

230°27解析法：（分析思路）xyo60°第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析

28§7－4梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線Fqx12345yo

x

y3

x

x

y2

x1taosataosataosa123

1

3

1

3第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析29

x5

x

x

y4taosa4taosa5

1

3

1

3主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)：主應(yīng)力方向線的包洛線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。

1

3實線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析30xy主應(yīng)力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

1

3第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析31§7－5三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力stoX—Y平面內(nèi)任一斜面的應(yīng)力與σ1—σ2圓周上的點對應(yīng)。Y—Z平面內(nèi)任一斜面的應(yīng)力與σ1—σ3圓周上的點對應(yīng)。Z—X平面內(nèi)任一斜面的應(yīng)力與σ2—σ3圓周上的點對應(yīng)。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析32：彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖a圖b：整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力為：231sst-=maxtmax結(jié)論——第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析33例：求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：、由單元體知：z—y面為主面之一、建立應(yīng)力坐標系如圖，畫y—z應(yīng)力圓及三向應(yīng)力圓得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析34解析法——1、由單元體知：x面為主面之一。2、求y—z面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力。xyz305040CBA單位：（MPa）3、主應(yīng)力4、最大切應(yīng)力231sst-=max第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析3520030050otmax第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析36O2005030050第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析37O30050第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析38§7－6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一、應(yīng)變計算公式規(guī)定：線段伸長正應(yīng)變?yōu)檎?；直角增大切?yīng)變?yōu)檎l件：彈性、小變形。已知：εx、εy、γxy。求：εα、γα。（設(shè)OB=dS）分析：1、在εx作用下——BCOADB1θ1A1εxdxxyodxdy第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析39BCOADB2θ2C2εydy2、在εy作用下——3、在γxy作用下——第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析B3C3Dθ3γxyBCOA404、疊加XYBB0θCDD0θ1αγα=θ1-θ第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析41第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析42二、主應(yīng)變數(shù)值及其方位第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析43三、應(yīng)變分析圖解法——應(yīng)變圓具體作法同應(yīng)力圓四、應(yīng)變分析的應(yīng)用：一點處貼一應(yīng)變花第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析44§7－7各向同性材料的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義胡克定律）一、單向應(yīng)力狀態(tài)：

二、二向應(yīng)力狀態(tài)：1

2

1

2

=+第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析45三、三向應(yīng)力狀態(tài)：1

2

31

2

=+3+——（廣義胡克定律）第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析46四、注意：1、與相對應(yīng)，方向一致（代數(shù)值大小排列）。

2、“σ”連同符號代入，“ε”得“＋”值時為拉應(yīng)變；“ε”得“－”值時為壓應(yīng)變。3、“σ”、“τ”同時存在時，“τ”對“ε”無影響，“σ”對“γ”無影響。“σ123”可由“σxyz”替換。4、使用條件：彈性、小變形、各向同性材料。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析47主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?xyzxxyzyβ-α=±900s

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yαβ第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析48五、體積應(yīng)變a3123a1a2體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:——體積胡克定律第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析49§7－9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能一、概念：1、應(yīng)變能：變形固體在外力作用下由變形而儲存的能量。彈性應(yīng)變能：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的彈性變形而儲存的能量。2、應(yīng)變能的計算：利用能量守恒原理能量守恒原理：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形而儲存的能量，在數(shù)值上等于外力所作的外力功。

Vε=W3、應(yīng)變能密度：單位體積的應(yīng)變能。v=Vε/V第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析50二、彈性應(yīng)變能、應(yīng)變能密度的計算公式：1、單向拉壓應(yīng)力狀態(tài)：2、扭轉(zhuǎn)純剪切應(yīng)力狀態(tài)：3、三向應(yīng)力狀態(tài)：

2

3

1第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析51

2

3

1圖a

av

av

av圖b

2

3

1-

av-

av-

av圖c圖b體積改變，形狀不變；圖c形狀改變，體積不變。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析52231-av-av-av圖c——稱為形狀改變比能、畸形能或歪形能

av

av

av圖b第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析53例：已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

3=-16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。yx，所以該點處的平面應(yīng)力狀態(tài)第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析54第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析55例：已知二向應(yīng)力狀態(tài)σ1≠0，σ2≠0，σ3=0，ε1，ε2。問：ε3=-μ（ε1+ε2）？解：由廣義胡克定律知F例：如圖所示，立方體邊長為10cm，F(xiàn)=6kN，E=70GPa，μ=0.33，假設(shè)鋼槽不發(fā)生變形。求：立方體的主應(yīng)力。解：1、分析立方體的應(yīng)力狀況y

x

z第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析56y

x

z2、立方體的主應(yīng)力3、討論：立方體各邊的改變量第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析57例：如圖所示拉桿，橫截面為圓形D=2cm，E=2.1*106MPa，μ=0.28，ε600=4.1*10-4。求：F。600XAFσyA解：1、取單元體2、應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系3、外力的確定F=3980（kN）第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析58例：如圖所示空心圓軸，外經(jīng)D=120mm，內(nèi)經(jīng)d=80mm，E=2.0*105MPa，μ=0.28，ε450=2.0*10-4。求：m。解：1、取單元體2、應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系3、外力的確定τX450σ450450mm=8504（Nm）第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析59例：圖示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變t=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25。試求:1．導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力.lmstspＤ第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析60ＤpD2４解：1、容器的軸向應(yīng)力和縱向應(yīng)力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖所示（1）、軸向應(yīng)力mm)Dp(ms第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析61pDl用縱截面將容器截開，受力如圖所示（2）、環(huán)向應(yīng)力t

(2

l)ttpL第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析622312、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）pＤmsts第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析63xyＡ13用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。、純剪單元體的比能為：、純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：用廣義虎克定律證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析、純剪單元體、純剪單元體主應(yīng)力廣義虎克定律表示為：64小結(jié)一、基本概念：1、應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)任意一點處取一單元體，單元體上的應(yīng)力。2、一點處應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)通過一點各個方向的應(yīng)力的總稱。3、研究的目的：找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。4、研究方法：取單元體。5、主平面：切應(yīng)力等于零的面。6、主應(yīng)力：主平面上的應(yīng)力（正應(yīng)力）。7、主單元體：由主平面組成的單元體。第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析65二、應(yīng)力狀態(tài)的分類：1、單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不等于零，另兩個主應(yīng)力都等于零的應(yīng)力狀態(tài)。2、二向應(yīng)力狀態(tài)：有兩個主應(yīng)力不等于零，另一個主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)。3、三向應(yīng)力狀態(tài)：三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。（一）、解析法三、平面應(yīng)力狀態(tài)的計算：1、任意斜面上的應(yīng)力計算重點第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析662、主應(yīng)力，主平面3、τ的極值及所在平面第七章應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析671、基本原理：圓心：