初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓2圓的有關(guān)性質(zhì) 省一等獎(jiǎng)

-1與圓有關(guān)的概念人教九上一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．認(rèn)識(shí)圓，掌握?qǐng)A的特征；2．理解同圓中直徑與半徑的關(guān)系；3．學(xué)會(huì)用圓規(guī)正確畫圓.二、知識(shí)回顧1．說出生活中與圓有關(guān)的物體.車輪、碗底、柱子、方向盤、硬幣等.思考：車輪為什么做成圓形？車輪設(shè)計(jì)成圓的，可以讓車輪軸（圓心）到地面的距離不變，不至于顛簸.2．小花、小強(qiáng)、小彬三人相邀擲飛鏢比賽.他們把靶子釘在一面土墻上，規(guī)則是誰(shuí)擲出落點(diǎn)離紅心越近，誰(shuí)就勝.如下圖中A、B、C三點(diǎn)分別是他們?nèi)四骋惠啍S鏢的落點(diǎn)，你認(rèn)為這一輪中誰(shuí)的成績(jī)好？三、新知講解1．圓的有關(guān)概念=1\*GB3①圓的定義有兩種表達(dá)形式：如圖，在平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，記作“”，讀作“圓O”．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓心為O，半徑為r的圓可以看成是是平面內(nèi)所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.=2\*GB3②連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.=3\*GB3③通過圓心的弦叫做直徑.=4\*GB3④圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.=5\*GB3⑤圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.=6\*GB3⑥大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.=7\*GB3⑦小于半圓的弧叫做劣弧.=8\*GB3⑧能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.2．圓的內(nèi)部、外部圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．根據(jù)圓的基本概念判斷說法正誤【例1】（2015春?張掖校級(jí)月考）有下列四個(gè)說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4總結(jié)：與圓有關(guān)的概念我們要注意以下幾點(diǎn)：1.確定圓的條件是圓心與半徑.2.直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.弦不一定是直徑，只有過圓心的弦才是直徑.3.半圓是弧，但弧不一定是半圓.練1．（2014秋?梁子湖區(qū)期末）車輪要做成圓形，實(shí)際上就是根據(jù)圓的特征（）A．圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等B．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦C．同弧所對(duì)的圓周角相等D．圓是中心對(duì)稱圖形2．求證正方形四個(gè)頂點(diǎn)共圓【例2】正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上．總結(jié)：證明四點(diǎn)共圓，關(guān)鍵是說明這四點(diǎn)到圓心的距離相等.常見的四點(diǎn)共圓的情況如下：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.練2．已知矩形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以_____為圓心，以______為半徑的圓上．3．利用同圓半徑相等求解【例3】（2014秋?中山月考）如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠BCD=40°，則∠A=_______．總結(jié)：根據(jù)同圓半徑相等可得出等腰三角形，根據(jù)等腰三角形兩底角相等，或結(jié)合三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可求得角的度數(shù).練3．（2011秋?江寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度數(shù)．五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2014?長(zhǎng)寧區(qū)一模）下列說法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧2．（2014秋?泰州校級(jí)期中）下列說法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．三角形的外心是這個(gè)三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧3．把圓的半徑縮小到原來(lái)的，那么圓的面積縮小到原來(lái)的（）A．B．C．D．4．半徑為5的圓的一條弦長(zhǎng)不可能是（）A．3B．5C．10D．125．（2015?茂名模擬）如圖，已知OA，OB均為⊙O上一點(diǎn)，若∠AOB=80°，則∠ACB=（）A．80°B．70°C．60°D．40°6．（2010秋?張家港市校級(jí)月考）過圓上一點(diǎn)可以作出圓的最長(zhǎng)弦的條數(shù)為（）A．1條B．2條C．3條D．無(wú)數(shù)條二、填空題7．（2014秋?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為4cm，∠AOB=60°，則弦AB的長(zhǎng)為______cm．8．（2014秋?丹陽(yáng)市校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、O、D和點(diǎn)B、O、C分別在一條直線上，圖中共有________條弦，它們分別是______________________.9．（2010秋?邗江區(qū)期末）已知⊙O的半徑為5，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第二象限的該圓上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．（寫出一個(gè)即可）10．圓的半徑為3，則弦AB長(zhǎng)度的取值范圍是_______．三、解答題11．（2012春?翁源縣校級(jí)月考）如圖，AB、AC為⊙O的弦，連接CO、BO并延長(zhǎng)分別交弦AB、AC于點(diǎn)E、F，∠B=∠C．求證：CE=BF．12．（2014?集美區(qū)一模）如圖，在⊙O中，，∠A=40°，求∠B的度數(shù)．13．（2012秋?邗江區(qū)期中）如圖，半圓O的直徑AB=8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點(diǎn)，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長(zhǎng)．14．如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓上的一點(diǎn)，∠DOB=75°，DC交BA的延長(zhǎng)線于E，交半圓于C，且CE=AO，求∠E的度數(shù)．

典例探究答案：【例1】【解析】根據(jù)弦的定義、弧的定義、以及確定圓的條件即可解決．解：①圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；②直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，是真命題，故此說法正確；③弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是?。劝雸A大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說法正確．其中錯(cuò)誤說法的是①③兩個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弦與直徑的區(qū)別，弧與半圓的區(qū)別，及確定圓的條件，不要將弦與直徑、弧與半圓混淆．練1．【解析】根據(jù)車輪的特點(diǎn)和功能進(jìn)行解答．解：車輪做成圓形是為了在行進(jìn)過程中保持和地面的高度不變，是利用了圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)圓的基本認(rèn)識(shí)，即墨經(jīng)所說：圓，一中同長(zhǎng)也，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，難度較?。纠?】【解析】要說明幾個(gè)點(diǎn)共圓的問題，只需證明這幾個(gè)點(diǎn)到同一個(gè)點(diǎn)的距離相等，此題可以充分運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明．證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD.∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，要掌握證明幾點(diǎn)共圓的方法：即證明這些點(diǎn)到同一個(gè)點(diǎn)的距離相等．練2．【解析】因矩形的對(duì)角線是圓的直徑．所以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心，半徑為5．解：在矩形ABCD中，根據(jù)勾股定理求得：AC=BD==10，則OA=OC=OB=OD=5．如圖，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴AC是直徑，即矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線交點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓上．故答案是：對(duì)角線交點(diǎn)；5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．根據(jù)圓周角定理推知AC為直徑是解題的關(guān)鍵．【例3】【解析】由半徑相等得CB=CD，則∠B=∠CDB，在根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠B=（180°﹣∠BCD）=70°，然后利用互余計(jì)算∠A的度數(shù)．解：∵CB=CD，∴∠B=∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°，∴∠B=（180°﹣∠BCD）=（180°﹣40°）=70°，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=20°．故答案為20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同圓半徑相等．練3．【解析】設(shè)∠B=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由BD=OD得∠DOB=∠B=x，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ADO=2x，則∠A=∠ADO=2x，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得2x+x=114°，解得x=38°，最后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠AOD的度數(shù)．解：設(shè)∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．課后小測(cè)答案：一、選擇題1．【解析】利用圓的有關(guān)定義進(jìn)行判斷后利用排除法即可得到正確的答案；解：A、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，不符合題意；B、長(zhǎng)度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說法是錯(cuò)誤的，符合題意；C、圓中最長(zhǎng)的弦是直徑，正確，不符合題意；D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，了解圓中有關(guān)的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．【解析】根據(jù)等圓的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)直徑的定義對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．解：A、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，所以A選項(xiàng)的說法正確；B、三角形的外心是這個(gè)三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤；C、圓中最長(zhǎng)的弦是直徑，所以C選項(xiàng)的說法正確；D、一條直徑弦圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，所以D選項(xiàng)的說法正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了矩形的性質(zhì)．3．【解析】因?yàn)閳A的面積公式是：s=πr2，所以圓的面積和此圓半徑的平方有關(guān)系，設(shè)出原圓的半徑，再表示出現(xiàn)在圓的半徑代入公式求解即可．解：設(shè)原來(lái)的圓的半徑為r，則面積s1=πr2，∴縮小到原來(lái)的后，s2=π（r）2=πr2，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的面積公式，在公式中：圓的面積和半徑的平方成正比．4．【解析】根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦為直徑求解．解：因?yàn)閳A中最長(zhǎng)的弦為直徑，所以弦長(zhǎng)L≤10．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】圓的弦長(zhǎng)的取值范圍0＜L≤10．5．【解析】由同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系可得，∠AOB=2∠ACB，則結(jié)果即可得出．解：由題意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，重點(diǎn)是圓周角定理的應(yīng)用．6．【解析】由于直徑是圓的最長(zhǎng)弦，經(jīng)過圓心的弦是直徑，兩點(diǎn)確定一條直線，所以過圓上一點(diǎn)可以作出圓的最長(zhǎng)弦的條數(shù)為一條．解：圓的最長(zhǎng)的弦是直徑，直徑經(jīng)過圓心，過圓上一點(diǎn)和圓心可以確定一條直線，所以過圓上一點(diǎn)可以作出圓的最長(zhǎng)弦的條數(shù)為一條．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直徑和弦的關(guān)系，直徑是弦，弦不一定是直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦．二、填空題7．【解析】利用半徑相等可判斷△OAB為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得AB=4cm．解：∵OA=OB，而∠AOB=60°，∴△OAB為等邊三角形，∴AB=OA=4cm．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．8．【解析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．解：圖中的弦有AE，DC，AD共三條，故答案為：三，AE，DC，AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．9．【解析】設(shè)P的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的一組解即可．解：設(shè)P的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)題意和勾股定理得出x2+y2=52，x=3，y=4滿足上式，∵P在第二象限，∴P（﹣3，4）．故答案為：（﹣3，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．10．【解析】直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，則AB可能是直徑，從而不難得到其取值范圍．解：圓的半徑為3，則弦中最長(zhǎng)的弦即直徑的長(zhǎng)度是6，因而弦AB長(zhǎng)度的取值范圍是0＜AB≤6．【點(diǎn)評(píng)】圓中的最長(zhǎng)的弦是直徑是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題11．【解析】證明△BOE≌△COF，即可得到OE=OF，從而根據(jù)等式的性質(zhì)得到CE=BF．解：∵在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OC∴CE=BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的基本概念，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是關(guān)鍵．12．【解析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等