初中數(shù)學人教版八年級上冊第十三章軸對稱單元復習（全國一等獎）

第十二章軸對稱12．1軸對稱(1)教學目標①通過豐富的實例認識軸對稱圖形，并能找出軸對稱圖形的對稱軸．②了解軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱這兩個概念之間的聯(lián)系和區(qū)別．③經(jīng)歷豐富材料的學習過程，發(fā)展對圖形的觀察、分析、判斷、歸納等能力．④體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系、發(fā)展審美觀．教學重點與難點重點：軸對稱的有關概念；難點：軸對稱圖形與兩個圖形關于某條直線對稱這兩個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別．教學準備教師：收集有關軸對稱的素材(包括圖形、實物、圖片等)．學生：準備復寫紙；收集有關窗花的素材，并要求進行剪紙----雙喜字或其他窗花．教學設計作品展示，交流體會1．作品展示：讓部分學生展示課前的剪紙作品(可以將作品粘貼到黑板上)；2．小組活動：(1)在窗花的制作過程中，你是如何進行剪紙的?為什么要這樣?(2)這些窗花(圖案)有什么共同的特點?注：通過對收集材料、剪紙操作，增加學生對軸對稱圖形的感性認識，為軸對稱概念的引出作準備．活動的目的一是為了交流，更主要的是說出(發(fā)現(xiàn))“對稱”．概念形成(一)軸對稱圖形1．在學生充分交流的基礎上，教師提出“軸對稱圖形”的概念，并讓學生嘗試給它下定義，通過逐步地修正形成“軸對稱圖形”的定義，同時給出“對稱軸”．注：在學生經(jīng)歷了一系列的過程后讓學生嘗試歸納，這本身也是一種能力的培養(yǎng)和對軸對稱的理解．教學中應該有意識地加以滲透．2．結合教科書第118頁圖進一步分析軸對稱圖形的特點，以及對稱軸的位置．3．學生舉例：試舉幾個在現(xiàn)實生活中你所見到的軸對稱例子．4．概念應用：(1)教科書第119頁練習；(2)補充：判斷下面的圖形是不是軸對稱圖形?并簡要說明理由．注：對于一個概念的建立，讓學生經(jīng)歷“實物——概括——應用”的過程，符合學生的認識規(guī)律．(二)兩個圖形關于某條直線對稱對于第二個概念的建立，分兩個步驟進行：先觀察圖形，再進行畫圖．其目的是突出兩個圖形和這兩個圖形之間的關系，在這個基礎上再給出定義，比較合理．1．觀察教科書第119頁中的圖，思考：圖中的每對圖形有什么共同的特點?2．操作：取一張薄紙，先對折，然后中間夾一張復寫紙，再在紙上任意畫一個圖案，取出復寫紙后你發(fā)現(xiàn)兩層紙上的圖案有什么關系?3．兩個圖形成軸對稱的定義．如下圖，圖形F與圖形F'就是關于直線l對稱，點A與點A'是對稱的．4．舉例：你能舉出一些生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎?5．練習：教科書第120頁．辨析概念分組討論：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱這兩個概念之間的聯(lián)系和區(qū)別．討論后可列表比較如下：軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱區(qū)別一個圖形兩個圖形聯(lián)系1．沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分都能夠互相重合(即直線兩旁的兩部分全等)2．都有對稱軸(至少一條)3．如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個圖形，那么這個圖形就是軸對稱圖形注：通過討論、比較，便于進一步理解概念，弄清它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，以突破本課的教學難點．采用小組討論的目的意在引導學生參與，改變學習方式，發(fā)揮更佳的學習效果．實踐和應用1．下列圖片是生活中的一些建筑物，它們是軸對稱圖形嗎?2．下列圖形是部分汽車的標志，哪些是軸對稱圖形?奔馳寶馬大眾奧迪3．下圖中的兩個圖形是否成軸對稱?如果是，請找出它的對稱軸．4．請在下圖這一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線的空白處設計一個恰當?shù)膱D形。注：這是從數(shù)字1到7組成的軸對稱圖形，問題有一定的難度，需要學生有較強地觀察、辨別能力．歸納小結通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲?主要圍繞下列幾個問題:1．概念：軸對稱圖形，兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸，對稱點．2．找軸對稱圖形的對稱軸．布置作業(yè)1．必做題；(1)教科書第125頁第1、2題，第126頁第6題．(2)收集3～5幅軸對稱的圖形．2．選做題設計1～2個軸對稱的圖案．作業(yè)的設計從知識性和趣味性兩個方面去考慮．3．備選題：備選題主要是為教師提供一些教學的素材．(1)下列圖形是不是軸對稱圖形?如果是，請找出它的對稱軸．(2)按如下方法操作，剪一個軸對稱圖形：軸對稱(2)教學目標①探索并理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)．②探索并理解線段垂直平分線的兩個性質(zhì)．③通過觀察、實驗、猜測、驗證與交流等數(shù)學活動，初步形成數(shù)學學習的方法．④在數(shù)學學習的活動中，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)．教學重點與難點重點：圖形軸對稱的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．難點：由線段垂直平分線的兩個性質(zhì)得出的“點的集合”的描述．教學準備探究活動所需的木棒、橡皮筋(如教科書第121頁的圖，第122頁的圖．教學設計提出問題1．下面的圖形是軸對稱圖形嗎?如果是，請說出它的對稱軸．注：由于本課知識的教學是建立在上一節(jié)內(nèi)容的基礎之上，所以安排了兩個復習的問題，為問題3的提出做好準備．2．如果兩個圖形成軸對稱，那么這兩個圖形有什么關系?(如下圖，△ABC和△A'B'C'關于直線MN對稱)3．如圖，△ABC和△A'B'C'關于直線MN對稱，點A'、B'、C'分別是點A、B、C的對稱點，線段AA'、BB'、CC'與直線MN有什么關系?圖3注：圖3實驗探究1．折一折．要解決問題3，我們可以從最簡單的一個點開始：先將一張紙對折，用圓規(guī)在紙上穿一個孔，然后再把紙展開，記兩個孔的位置為點A和點A'，折痕為直線MN(如圖3)．顯然，此時點A和點A'關于直線MN對稱．連結點A，A'，交直線MN于點P．注：這里采用讓學生動手折一折，目的是讓學生在折紙中體驗對稱性．先選取一個點進行實驗，一是解決一個點，就解決了其他的點，二是從簡單入手分析問題本身是我們處理和解決問題的一種手段．2．說一說．觀察圖形，線段AA'與直線MN有怎樣的位置關系?你能說明理由嗎?(讓學生能說出如下關系：AP=PA'，∠MPA=∠MPA'=90°)類似地，點B與點B'，點C與點C'是否也有同樣的關系?你能用語言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?(對稱軸所在的直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段)注：在這個基礎上，教師給出垂直平分線的概念，然后把上述規(guī)律概括成圖形軸對稱的性質(zhì)(教科書第121頁)3．想一想．上述性質(zhì)是對兩個成軸對稱的圖形來說的，如果是一個軸對稱圖形，那么它的對應點的連線與對稱軸之間是否也與同樣的關系呢?(結合教科書第121頁的圖讓學生說明)從而得出：類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點連線的垂直平分線．注：從折一折到說一說、想一想，其意圖是把這個教學過程設計成讓學生主動地參與進來，轉變以往的學習方式．圖4圖4探究一：教科書第121頁的“探究”．學生先思考教科書上的問題，然后讓學生以線段代替木條進行畫圖探究．任意畫一條線段AB，再畫出它的垂直平分線MN，在MN上任意取點P1，P2，P3(如圖4)，分別量一量點P1，P2，P3到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)?你能說明理由嗎?請與同伴交流．處理方式：要求學生在獨立嘗試、獨立思考的基礎上進行合作交流，然后小組匯報．學生可以量一量、折一折，也可以運用第十三章的知識證明三角形全等．在學生充分討論的基礎上歸納出：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．注：合作與交流是目前課堂教學中比較缺乏的一種教學方式，在教學中應創(chuàng)造條件引導學生積極參與，同時教師應組織好，引導好．把垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的知識結合起來，既能復習以往的知識，又能使新知識得到應用，便于加深對新知識的理解和掌握．想一想：如圖5，我們在教科書第99頁的練習1中,應用三角形全等的知識說明了CB=CB，你能運用今天所學的知識給出解釋嗎?問題：反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上?圖圖5圖圖6探究二：如圖6，PA=PB，取線段AB的中點O，連結PO，PO與AB有怎樣的位置關系?注：由于教科書第122頁上的探究活動實際上是這樣的一個數(shù)學問題：“如圖6，已知OA=OB，PA，PB滿足什么條件時，OP⊥AB?”這與上述命題的逆命題不完全一致，所以本設計改用直接的數(shù)學問題．學生可以運用三角形全等的知識判定△PAO≌△PBO，從而有∠POA＝∠POB＝90°，于是PO⊥AB，即PO是線段AB的垂直平分線．從而得出：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．歸納結論：見教科書第122頁的最后一段話．(注意：應該從正逆兩個角度，結合具體的圖形進行歸納)教科書第122頁的最后一段話比較抽象，以教師講解為主，可以結合角平分線的性質(zhì)．處理方式：在教師的引導下，由學生講述解題方法，教師給出解題過程．3．練習：教科書第123頁．小結提高讓學生從以下幾方面去思考：1．本節(jié)課你學到了什么?(1)從知識上：一個概念(線段的垂直平分線)，四條性質(zhì)(軸對稱圖形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì))；(2)從方法上：合作探究是數(shù)學學習的一種重要方法，數(shù)學與實際問題的聯(lián)系．2．軸對稱圖形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)之間的聯(lián)系；在解決問題的過程中所看到的新舊知識之間的聯(lián)系(如全等三角形)．作業(yè)布置1．必做題：教科書第125頁第3題，第126頁第5、9題．2．選做題：教科書第126頁第11題，第127頁第12題．3．備選題：(1)圖8是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么?圖7圖圖7圖8(2)如圖9，△ABC中，AC=16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm，求BC的長．圖9圖9圖10(3)有A、B、C三個村莊(如圖10)，現(xiàn)準備建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置．軸對稱(3)教學目標①了解線段垂直平分線的畫法．②會畫兩個成軸對稱的圖形(或一個軸對稱圖形)的對稱軸．③通過畫圖和欣賞，陶冶學生的審美情操．教學重點與難點重點：畫圖形的對稱軸．難點：對對稱軸畫法的理解．教學設計提出問題問題1：如果我們感覺兩個平面圖形是成軸對稱的，你準備用什么方法去驗證?問題2：兩個成軸對稱的圖形，不經(jīng)過折疊，你用什么方法畫出它的對稱軸?問題1是讓學生能說出折疊法驗證，這一方面是復習軸對稱的知識，另一方面也是加深對軸對稱的理解．提出問題2是引起學生的思考，以引出新課．學習新知我們已經(jīng)知道，如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．因此我們只要找到這兩個圖形的一對對應點，然后畫出以這兩個對應點為端點的線段的垂直平分線就可以了．如何畫一條線段的垂直平分線呢?例1(補充)已知線段AB(如圖1)，用直尺和圓規(guī)作線段AB的垂直平分線．圖1教科書第123頁上的例題是以線段的垂直平分線為基礎的，所以這里就先給出線段的垂直平分線的作法，而這也恰恰是課標要求的基本尺規(guī)作圖之一．可按如下的步驟進行：(1)教師啟發(fā)：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，只要找到與A，B兩點的距離相等的兩個點即可．圖2圖2(3)解后反思：①在上述作法中，為什么有CA=CB，DA=DB?②如圖2，直線CD與AB的交點就是線段AB的中點，因此用這種方法可以作出線段的中點；③你還有其他的方法畫一條線段的垂直平分線嗎?注：反思是一種重要的思維品質(zhì)，也是我們傳統(tǒng)的教學所缺乏的．這里安排反思，一是有利于對作法的理解，一是有利于對學生思維發(fā)散性的培養(yǎng)．在完成補充例題的基礎上把例題改成練習，不失為一種處理的好方法．解決問題：練習：教科書第123頁中的例題．例2(補充)如圖3，△ABC和△A'B'C'是兩個成軸對稱的圖形，請畫出它的對稱軸．圖3圖4處理方法：啟發(fā)學生把這個問題轉化為已解決的問題．只要畫出點A，A'的對稱軸即可．注：補充這個例題是為了應用例1的方法，同時也是回答了開始提出的問題，更可以說是給出一種畫軸對稱圖形的對稱軸的通法．問題：上述提到的都是兩個成軸對稱的圖形，如果是一個軸對稱圖形，你怎樣畫出它的對稱軸?如圖5所示的正五角星有幾條對稱軸?圖5實踐和應用1．練習：教科書第124頁．2．正比例函數(shù)y=2x的圖象與y=-2x的圖象是不是軸對稱圖形?如果是，它的對稱軸在哪里?如果不是，請說明理由．已知正比例函數(shù)y=x的圖象如圖6所示，你能根據(jù)對稱性作出正比例函數(shù)y=-x的圖象嗎?注：將函數(shù)圖象與圖形的軸對稱結合起來，一方面是對前面知識的應用,另一方面也是加深學生對軸對稱圖形性質(zhì)的理解．圖6師生小結主要圍繞以下幾點進行歸納：1．線段垂直平分線的作法；2．畫成軸對稱的圖形的對稱軸的幾種常見方法：(1)將圖形對折；(2)用尺規(guī)作圖；(3)用刻度尺先取一對對稱點連線的中點，然后畫垂線．3．有許多圖形的對稱軸不止一條．注：通過小結，突出本節(jié)課的內(nèi)容和方法，同時也是對所學知識的提煉和延伸．作業(yè)布置1．必做題：教科書第125頁第4題，第126頁第7、8題；2．選做題：教科書第126頁第10題；3．備選題：(1)在等腰三角形、等腰梯形、線段、數(shù)軸、平面直角坐標系、平行四邊形等圖形中，軸對稱圖形的個數(shù)是()A．6個B．5個C．4個D．3個(2)下列圖形是軸對稱圖形嗎?如果是，請畫出它的對稱軸．3．圖7是不是軸對稱圖形?如果是，請畫出它的對稱軸．12．2作軸對稱圖形12.2.1作軸對稱圖形教學目標①通過動手操作體驗軸對稱變換．②能作出一個圖形經(jīng)一次或二次軸對稱變換后的圖形．③能利用軸對稱變換設計一些簡單的圖案．④通過圖案設計等活動，培養(yǎng)學生的動手操作能力、審美及數(shù)學興趣，發(fā)展學生的空間觀念．教學重點與難點重點：作一個圖形經(jīng)軸對稱變換后的圖形．難點：通過動手操作總結軸對稱變換的特征．教學準備剪刀、畫有一個簡易風箏的半透明的紙．教學設計創(chuàng)設情境,引入新課多媒體介紹剪紙文化藝術：剪紙是中國最為流行的民間藝術之一，根據(jù)考古其歷史可追溯到公元六世紀，甚至更早．在過去，人們經(jīng)常用紙做成形態(tài)各異的物像和人像，與死者一起下葬或葬禮上燃燒，還被用作祭祀祖先和神仙所用供品的裝飾物．現(xiàn)在，剪紙更多地是用于裝飾，也可為禮品作點綴之用，甚至剪紙本身也可作為禮物贈送他人．剪紙不是用機器而是由手工做成的，常用的方法有兩種：剪刀剪和刀剪．學生欣賞展示的剪紙圖片，教師提出問題：如此漂亮的剪紙是如何剪出的呢?相信同學們學了本節(jié)課后你也能剪出如此漂亮的剪紙!引入新課，板書課題：軸對稱變換．注：讓學生了解剪紙藝術，認識我國悠久燦爛的民族文化，了解我國優(yōu)秀的民間手工藝術．培養(yǎng)學生的審美，激發(fā)學習興趣．動手操作,感受變換請學生拿出畫有一個簡易風箏(如圖形狀)的半透明的紙，把這張紙對折后描圖．學生畫好后打開對折的紙．注：采用風箏圖便于學生畫圖，在動手操作中體驗軸對稱變換，發(fā)現(xiàn)軸對稱變換的特征，在實踐中體驗學習的快樂，也使軸對稱特征的得出顯得更直觀，更具體．也為下面畫軸對稱變換后的圖形提供感性認識．請學生仔細觀察回答下列問題：(1)畫出的圖形與原來的圖形有什么關系?(學生回答后，師生補充得出：畫出的圖形與原圖形關于折痕軸對稱，折痕所在直線是對稱軸)(2)兩個圖形成軸對稱有什么特征?(學生回答后，讓學生找出幾個對應點，并連結對應點進行驗證．)注：我們可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形，重復這個過程，可以得到美麗的圖案．(多媒體演示如下圖經(jīng)多次重復后的圖形)，讓學生感受運用所學知識設計出這些美麗的圖案其實并不難!如果改變對稱軸的方向和位置，結果又如何呢?讓學生在剛才的紙上任意折疊，描圖，打開紙．你發(fā)現(xiàn)了什么?學生交流后，總結歸納出：由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣；新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線l的對稱點；連結任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．注：讓學生感受改變對稱軸的方向和位置，不改變軸對稱變換的特征．同時通過交流，培養(yǎng)學生的語言表達能力，歸納能力．提升思維,運用變換老師引出軸對稱變換的概念，并指出：成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到．一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎，經(jīng)軸對稱變換擴展而成的．老師提出問題：剛才的風箏圖，要畫經(jīng)過軸對稱變換后的圖形，除了剛才所用的描圖的方法外，還有哪些方法?學生試著說一說后，出示例1：如圖，已知ΔABC可以和直線l，作出與△ABC關于直線l對稱的圖形．通過前面的印圖案、說特征等活動，使學生時經(jīng)軸對稱變換后的兩個圖形具有一定的感性認識，在具有一定認識的基礎上以及根據(jù)軸對稱圖形的特征能發(fā)現(xiàn)畫圖方法．培養(yǎng)學生的發(fā)散思維．如果將△ABC的位置移至如圖2、3、4時，你還能作出關于直線l對稱的圖形嗎?畫出后如何驗證是否正確?圖1圖2圖3圖4注：通過練習，使學生學會運用軸對稱變換畫圖，培養(yǎng)學生思維的流暢性，體驗變換思想．畫圖后讓學生歸納畫圖要點，學生回答后，教師總結：一個平面圖形都是由一些線組成，而點動成線，所以，要畫一個圖形經(jīng)軸對稱后的圖形，只要找到一些特殊點，作出這些特殊點的對稱點即可．注：通過歸納要點，找到規(guī)律，形成方法．練習1：把下列圖形補成關于直線l對稱的圖形．．練習2：如圖，左邊的樹經(jīng)過幾次軸對稱變換，可以變成右邊的樹?你能設計一種變換方案嗎?請學生探索，可以小組合作完成．學生回答時經(jīng)過幾次變換不重要，只要講得有道理即可．注：問題的設計促使學生去分析圖形，分析軸對稱，拓展思維．運用變換,設計圖案利用軸對稱變換，可以設計出精美的圖案．有時，將平移和軸對稱結合起來，可以設計出更美麗的圖案，許多鑲邊和背景的圖案就是這樣設計的．(多媒體放映圖片)注：感受通過軸對稱變換可以設計出一些美麗的圖案，激發(fā)學生設計的欲望．問題：展開你的想像，從一個圖形或幾個圖形出發(fā)，利用軸對稱變換，設計出一些圖案，并與同學交流．本節(jié)課開始時放映的一些剪紙，你能利用所學知識想辦法剪出來嗎?課后去剪一剪．注：運用軸對稱知識設計圖案，體現(xiàn)學以致用思想，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維．歸納小結1．由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣．2．經(jīng)軸對稱變換后的圖形與原圖形上的對應點連線被對稱軸垂直平分．3．畫一個圖形經(jīng)軸對稱變換后的圖形，關鍵是找到圖形上的一些點，作出這些點的對稱點．注：通過小結歸納，鞏固軸對稱圖形的性質(zhì)和畫圖方法．布置作業(yè)1．必做題：教科書第135頁習題12．2第1題，第136頁第5題．2．選做題：(1)教科書第137頁第8題．(2)請你利用所學知識剪一個“雙喜”字．3．備選題：(1)分別以直線l為對稱軸，將數(shù)字作軸對稱變換，作出變換后所得的圖形．(2)已知直線l和圖形X(如圖)，將圖形X以直線l為對稱軸作軸對稱變換后得到的圖形是()A．B．C．D．(3)利用軸對稱變換畫出花瓶圖的另一半．12.2.1教學目標①能作出一個圖形經(jīng)軸對稱變換后的圖形．②能利用軸對稱變換解決日常生活中的實際問題．③通過找合適點的探究活動，培養(yǎng)學生的探究能力、數(shù)學歸納能力，分析問題、解決問題的能力，在活動中培養(yǎng)學生的合作交流能力．教學重點與難點重點：利用軸對稱變換解決日常生活中的實際問題．難點：使輸氣管道線最短的泵站位置的確定及說理．教學設計承上啟下，引入新課問題：(1)把下列圖形補成關于直線l對稱的圖形．注：溫故舊知，為學習新知作準備．(2)畫好后請仔細觀察第二個圖形，從圖中你能盡可能多地找出一些關系嗎?利用軸對稱變換以及變換后所得的一些特征，我們可以解決許多實際問題．引出輸氣管問題．注：盡可能地從圖中發(fā)現(xiàn)一些關系，找這些關系為后面突破本節(jié)課的難點，也就是為什么C點是輸氣管道線最短的泵站位置的說理作準備．動手探究,尋找規(guī)律問題：如右圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣(A、B兩鎮(zhèn)在燃氣管道l兩旁)，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?注：本節(jié)課中的例題起點較高，設計這個問題一是為了降低起點，而且也為后面這個實際問題的解決作準備，因為后面這個實際問題的解決實際上是通過軸對稱變換，把同側問題轉化為兩側問題來解決．學生回答說理后提出問題2：如果A、B兩鎮(zhèn)在燃氣管道l的同旁，泵站應修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?(如下圖)注：由A、B在直線l的同側過渡到兩側，順應學生的思維發(fā)展特征．讓學生獨立思考片刻后，請學生小組合作，任意取點探究，并完成表格．APiBPiAPi+BPii=1i=2i=3i=4注：引導學生主動從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動．設計表格的目的一是為了增強學生在活動中的數(shù)學體驗，使學生在動手操作過程中學會理性思考，也便于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律．小組合作學習后，匯報結果，找出所建泵站位置．小結：在直線l同側到兩點距離之和最短的點的位置是：作其中一點關于直線l的對稱點，此對稱點與另一點的連線與直線l的交點，即為到兩點距離之和最短的點的位置．問題：為什么在P點的位置修建泵站，就能使所用的輸氣管線最短呢?啟發(fā)：也就是說在其他點修建泵站C，則總有AC+BC>AP+BP．任意取點驗證使學生體驗不管C在何處，都有AC+BC>AP+BP的結論.注：說理的過程使學生養(yǎng)成嚴謹?shù)乃茧r習慣，使之知其然且知其所以然．請學生在直線上任意取點驗證、說理后，幾何畫板演示．教師總結：這個問題實際上是通過軸對稱變換，把A、B在直線l同側的問題轉化為在直線l兩側的問題，即利用“兩點之間線段最短”加以解決．注：總結方法，體驗轉化思想，達到做一題、會一類的效果．拓展應用，鞏固提高八年級(1)班同學做游戲，在活動區(qū)域邊放了一些球(如下圖)，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到目的地?鞏固新知，面向全體．解決后提出問題：如果另一側放著一些小木棍，小明還要跑到另一側去取小木棍，則又應按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球、小木棍，才能最快跑到目的地?你能說說為什么嗎?注：提升學生的思維，使學生真正感悟利用軸對稱解決實際問題的方法，也為了體現(xiàn)不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展．總結歸納．共同提高通過這節(jié)課的學習說說你的收獲：使我感觸最深的是……我感到困難的是……我學會了……我還感到疑惑的是……我發(fā)現(xiàn)生活中……我想我將……注：培養(yǎng)學生自我反饋、自主發(fā)展的意識，使學生在知識、方法技能、情感和態(tài)度等諸多方面得到發(fā)展．布置作業(yè)1．必做題：教科書第136頁第7題．2．選做題：教科書第137頁第9題．3．備選題：(1)如右圖，直線l表示草原上的一條河．一少年以A處出發(fā)，讓他的馬去河邊飲水，然后返回位于B處的家中．問這位少年按怎樣的路線使總路程最短?請作出這條路線．(2)如果我們把臺球桌做成等邊三角形的形狀(如右圖)，那么從AC中點D處發(fā)出的球，能否依次經(jīng)BC，AB兩條邊反射后回到D處?如果認為不能，請說明理由；如果認為能，請作出球運動的路線．12.2.2教學目標①能在直角坐標系中畫出點關于坐標軸對稱的點．②能表示點關于坐標軸對稱的點的坐標，表示關于平行于坐標軸的直線對稱的點的坐標．③在找關于坐標軸對稱的點的坐標之間規(guī)律并檢驗其正確性的過程中，培養(yǎng)學生的語言表達能力，觀察能力、歸納能力，養(yǎng)成良好的科學研究方法．④在找點、繪圖的過程中使學生體驗數(shù)形結合思想、體驗學習的樂趣．教學重點與難點重點：用坐標表示點關于坐標軸對稱的點的坐標．難點：找對稱點的坐標之間的關系、規(guī)律．教學準備畫有網(wǎng)格的平面直角坐標系圖的練習紙．教學設計創(chuàng)設情境,引入新課引言：同學們，我們的首都北京是大家都向往的地方，你們?nèi)ミ^北京嗎?讓我們一起去北京逛一逛，好嗎?(多媒體放映北京城，抽象出形象地圖)引出問題：老北京的地圖中，其中西直門和東直門是關于中軸線對稱的，如果以天安門為原點，分別以長安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，對應于如圖所示的東直門的坐標，你能找到西直門的位置，說出西直門的坐標嗎?學生指出西直門的位置，試著說出西直門的坐標．用坐標表示軸對稱，可以很方便地確定一個地方的位置，實際上在我們?nèi)粘Ｉ钪袘梅浅V泛，如工程建設的繪圖等．這節(jié)課我們就來學習用點表示軸對稱．引入課題：用坐標表示軸對稱．注：以學生熟悉、向往的北京城地圖引出新課，可以激發(fā)學生的學習興趣，同時，使學生感受數(shù)學無處不在，數(shù)學就在身邊．合作探究,探索新知(1)在直角坐標系中畫出下列已知點．A(2,-3)；B(-1，2)；C(-6，-5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，-3)．(2)畫出這些點分別關于x軸、y軸對稱的點．并填寫表格．(3)請你仔細觀察點的坐標，你能發(fā)現(xiàn)關于坐標軸對稱的點的坐標有什么規(guī)律嗎?(4)請你想辦法檢驗你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性說說你是如何檢驗的．已知點A(2，-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(3,5)E(4,0)F(0,-3)關于x軸的對稱點關于y軸的對稱點注：問題的設計目的在于讓學生經(jīng)歷動手操作、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、檢驗正確性的過程．并通過畫圖、觀察點的坐標，使學生體驗數(shù)形結合思想，即通過畫圖、觀察線段之間的關系得到對稱點的坐標．已知給出的點分別位于四個象限以及x軸、y軸，具有一定的代表性，便于學生運用一般——特殊----一般的思想去發(fā)現(xiàn)規(guī)律．小組合作，總結規(guī)律：點(x，y)關于z軸對稱的點的坐標為(x，-y)，即橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)，即橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等．利用剛才發(fā)現(xiàn)的點關于x軸、y軸對稱的點的坐標規(guī)律，我們可以很容易地在平面直角坐標系中作出與一個圖形關于x軸、y軸對稱的圖形．注：從動手操作、解決問題到總結規(guī)律，是一個思維提升的過程，是從感性上升到理性的過程．培養(yǎng)學生養(yǎng)成善于思考、善于總結、善于歸納學習方法的好習慣．分享成果，鞏固新知看誰腦子轉得快!(1、2搶答)：1．說出下列各點關于X軸、y軸對稱的點的坐標：(-2，6)，(1，-2)，(-1，3)，(-4，-2)，(1，0)2．如下圖，△ABC關于X軸對稱，點A的坐標為(1，-2)，說出點B的坐標．注：通過一定的練習使學生特別是學有困難的學生都能達到基本的學習目標，即：能在直角坐標系中畫出點關于坐標軸對稱的點，能表示點關于坐標軸對稱的點的坐標．(3、4書面練習)3．如下圖，四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-5，1)、B(-2，1)、C(-2，5)、D(-5，4)，分別作出與四邊形關于x軸和y軸對稱的圖形．變式探究,提升思維1．分別作出△PQR關于直線x=1(記為m)和直線y=-1(記為n)對稱的圖形．2．你能發(fā)現(xiàn)它們的對應點的坐標之間分別有什么關系嗎?3．如果作關于直線x=3(記為m)和直線y=-4(記為n)對稱的圖形，你能發(fā)現(xiàn)對應點的坐標之間的關系嗎?注：規(guī)律的發(fā)現(xiàn)要重視學生的分析、說理，希望學生能通過尋找線段之間的關系來求點的坐標．前面的學習是使學生畫出點關于坐標軸對稱的點,能表示點關于坐標軸對稱的點的坐標．這個問題的設計把對稱軸是坐標軸變成了直線x=3和y=-4，希望學生也能用同樣的方法加以解決，即再次體驗數(shù)形結合思想，并拓展到直線x=m和y=n，使學生學會通過尋找線段之間的關系來求點的坐標，而不是機械地通過記憶規(guī)律來解決．規(guī)律：點(x，y)關于直線x=m對稱點的坐標是(2m-x，y)，即若兩點(x1，y1)、(x2，y2)關于直線x=m對稱，則m=，y1=y2．點(x，y)關于直線y=n對稱點的坐標是(x,2n-y)，即若兩點(x1，y1)、(x2，y2)關于直線y=n對稱，則x1=x2，n=注：通過總結規(guī)律使學生達到做一題、會一類的學習效果，也使學生形成善于總結、歸納的良好學習習慣．鞏固練習：如下圖.1．請你畫出下圖關于y軸對稱的圖形，猜猜是什么圖案?并說出一些對應點的坐標．2．再畫出此圖案關于直線x=-2對稱的圖形．說出各點的坐標．注：畫出圖案后是一只漂亮的蝴蝶，可以激發(fā)學生的學習興趣，畫圖、說出點的坐標是為了培養(yǎng)學生思維的流暢性．總結歸納1．點關于某條直線對稱的點的坐標可以通過尋找線段之間的關系來求。2．點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為(x,-y)，即橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y)，即橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等．注：歸納本堂課解題方法，總結知識要點．布置作業(yè):1．必做題：教科書135頁練習題第3題，習題第2、4、6題．2．選做題：教科書136頁綜合運用第7題．3．備選題：(1)點(1，0)，(2，-3)，(-1，2)關于x軸對稱的點的坐標是__，__，__．點(0，-3)，(-2，3)，(1，-2)關于y軸對稱的點的坐標是__，____.(2)已知長方形ABCD關于y軸對稱，平行于y軸的邊AB長是6，點A的坐標是(-2，-1)，請你寫出B、C、D三點的坐標．(3)如右圖，已知點的坐標A(2，2)，B(1，1)，C(3，，D(3，2)．請寫出A、B兩點關于CD對稱的點E、F的坐標，并在圖中畫出這兩點．(4)在坐標系中描出點A(-1，3)，B(5，-4)，c(-3，-1)，D(-1，1)，E(-3，5)，F(xiàn)(5，8)，連接AB，BC，AC，DE，EF，DF，請你判斷所得的圖形是軸對稱圖形嗎?如果不是，請說明理由，如果是，請說出對稱軸．等腰三角形12.3.1教學目標①經(jīng)歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形，了解等腰三角形是軸對稱圖形．②能夠探索、歸納、驗證等腰三角形的性質(zhì)，并學會應用等腰三角形的性質(zhì)．③培養(yǎng)分類討論、方程的思想和添加輔助線解決問題的能力．教學重點與難點重點：等腰三角形的性質(zhì)的探索和應用．難點：等腰三角形的性質(zhì)的驗證．教學準備長方形的紙片、剪刀．教學設計剪一剪師生拿出課前準備好的長方形的紙片，按教科書第120頁的要求剪出△ABC．動手剪紙，獲得圖形的直觀感受，并為下面的折紙操作做好鋪墊．設問1：△ABC有什么特點?學生思考后發(fā)現(xiàn)，上述過程中，剪刀剪過的兩邊是相等的，即△ABC中AB＝AC．像這樣有兩邊相等的三角形叫等腰三角形．并結合△ABC介紹等腰三角形的“腰”“底邊”“頂角”“底角”等概念．注：結合親自剪出的等腰三角形學習相關概念，加深印象．折一折設問2：△ABC是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸是什么?讓學生認識到動手操作也是一種驗證方式．注：學生思考、回顧剪紙過程，把等腰三角形ABC沿折痕對折，容易回答△ABC是軸對稱圖形，折痕AD所在的直線是它的對稱軸．猜一猜設問3：你還發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，繼而猜想等腰三角形ABC有哪些性質(zhì)?學生討論、匯報：①∠B＝∠C→兩個底角相等②BD=CD→AD為底邊BC上的中線③∠BAD＝∠CAD→AD為頂角∠BAC的平分線④∠ADB＝∠ADC＝90°→AD為底邊BC上的高注：訓練學生文字語言與符號語言之間的互換．用語言敘述為：性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．(可簡記為“三線合一”性質(zhì))注：培養(yǎng)學生歸納、概括能力．證一證設問4：你能用所學的知識驗證等腰三角形的性質(zhì)嗎?1．證明等腰三角形底角的性質(zhì)．教師要求學生根據(jù)猜想的結論畫出相應的圖形，寫出已知和求證．已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC．求證：∠B＝∠C．師生共同分析證明思路并證明．注：讓學生經(jīng)歷命題證明的過程．培養(yǎng)分析、推理論證能力．強調(diào)以下兩點：(1)利用三角形全等來證明兩角相等．為證∠B＝∠C，需證明以∠B，∠C為元素的兩個三角形全等，需要添加輔助線構造符合證明要求的兩個三角形．(2)添加輔助線的方法可以多樣．例如，常見的作頂角∠BAC的平分線，或作底邊BC上的中線或作底邊BC上的高等．讓學生選擇一種輔助線完成證明過程．注：體驗輔助線在幾何論證中的作用．2．證明等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)．注：鼓勵學生用多種方法證明．用一用練習1(1)已知等腰三角形的一個底角是70°，則其余兩角為_______________.(2)已知等腰三角形一個角是70°，則其余兩角為_______________.(3)已知等腰三角形一個角是110°，則其余兩角為_______________.注：及時鞏固等腰三角形的性質(zhì)并體驗分類討論的思想在解題的應用．練習2(如圖1)(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴_______________，_______________.(2)∵AB=AC,BD=DC，∴_______________，_______________.(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______________，_______________.注：以填空的形式出現(xiàn)，讓學生再次理解等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的內(nèi)涵．出示課本122頁例1如圖2，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．改編為：(1)圖中共有幾個等腰三角形?分別寫出它們的頂角與底角．(2)你能求出各角的度數(shù)嗎?注：改編課本例題，使問題更富層次性與探索性．師生共同分析：(1)已知中沒有給出角度，需利用三角形內(nèi)角和為180°的條件來求具體度數(shù)，但由于未知數(shù)過多，需根據(jù)已知各邊的關系尋找出△ABC的各角關系，由圖中的三個等腰三角形的底角及外角性質(zhì)，可設∠A=x°，列方程解決．(2)教師應強調(diào)此題圖形特殊，只有頂角為36°的等腰三角形才能滿足．注：使學生認識到從復雜圖形中分解出等腰三角形是利用性質(zhì)解決問題的關鍵．培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力和方程的思想．議一議等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎?由等腰三角形是軸對稱圖形，還可以得到等腰三角形中問題較復雜，引導學生合作探究，更深入地認識等腰三角形哪些線段相等?作業(yè)1．必做題：教科書第123頁練習1、2、3．2．選做題：教科書第150頁習題12．3第8題．分層次布置作業(yè)，滿足不同學生的發(fā)展需求．3．備選題(1)已知等腰三角形的頂角是n°，則底角為_________.(2)已知等腰三角形的頂角比一個底角多15°，則底角為_______.(3)已知：如圖，房屋頂角∠BAC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC．求頂架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度數(shù)．12.3.1教學目標①會闡述、推證等腰三角形的判定定理．②學會比較等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的聯(lián)系與區(qū)別．③經(jīng)歷綜合應用等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的過程，體驗數(shù)學的應用價值．教學重點與難點重點：等腰三角形的判定定理的探索和應用．難點：等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別．教學準備師生準備作圖工具．教案設計：創(chuàng)設情境，提出問題出示課本123頁思考題．學生思考、回答后教師設問：在一般三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系?注：以實際問題展開數(shù)學思考，突出數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系．學生猜想它們所對的邊相等．即：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形所對的兩條邊也相等．注：引導學生類比等腰三角形性質(zhì)定理進行猜測、敘述．如何驗證?學生根據(jù)命題畫出圖形，并寫出已知、求證．已知：如圖在△ABC中，∠B=∠C．求證：AB=AC學生尋求證明途徑．注：引發(fā)學生思考，尋求驗證途徑．探索分析,解決問題1．分析思路：引導學生類比等腰三角形性質(zhì)的證明，添加輔助線，構造以AB，AC為邊的兩三角形，并證明它們?nèi)龋ⅲ鹤寣W生體驗分析的重要性，逐步培養(yǎng)在幾何證題中的分析能力．學生深入討論分析后發(fā)現(xiàn)：此時輔助線可作AD⊥BC于D；或AD平分∠BAC交BC于D；但不能作BC邊上的中線．2．得出等腰三角形的判定定理．命題可以有以下幾種敘述方法：①如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等簡寫成“等角對等邊”．(突出已知角與所對邊的對應關系．)②如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形．(突出判定等腰三角形的功能．)注：多種敘述方法，使學生更好地理解等腰三角形的判定定理．教師提示：注意糾正語言上不嚴謹?shù)腻e誤，不要說成：“如果一個三角形有兩個底角相等，那么它是等腰三角形．”提高語言表述的嚴謹與科學．應用舉例,變式練習出示教科書124頁例2．求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．注：及時鞏固，反饋調(diào)控．讓學生再次經(jīng)歷命題的證明過程．引導學生根據(jù)命題畫圖，利用平分線的性質(zhì)及“等角對等邊”來證明。小組合作：試改變上題的條件與結論，編出類似的問題．注：開放性的變式訓練，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性．課堂練習,拓展引申出示教科書第124頁例3．師生共同分析，問題解決之后，繼而引導學生思考：已知底邊與底邊上的高，你能用尺規(guī)作圖方法作出這個三角形嗎?學生動手探索，師生共同講評．注：通過這道題練習，一方面使學生鞏固等腰三角形的知識，另一方面掌握等腰三角形的尺規(guī)作法．課堂小結,知識梳理1．通過這兩節(jié)課的學習，你學會了幾種判斷等腰三角形的方法?2．你會比較等腰三角形性質(zhì)定理與判定定理的聯(lián)系與區(qū)別嗎?注：通過比較，加深對兩者的認識．布置作業(yè),自我評價1．必做題：教科書第125頁練習1、2、3．2．選做題：教科書第150頁習題第9、10題．3．備選題：①先求證以下三個結論，然后歸納你發(fā)現(xiàn)的結論．(1)已知：OD平分∠AOB，EO=ED．求證：ED∥OB．(2)已知：OD平分∠AOB，ED∥OB．求證：EO=ED．(3)已知：ED∥OB，EO=ED．求證：OD平分∠AOB．備選題參考答案：①利用等腰三角形性質(zhì)定理與判定定理以及角平分線的性質(zhì)來證明．發(fā)現(xiàn)的結論為：OD平分∠AOB，EO=ED，ED∥OB．三者中已知任意兩個就可推出第三個．(學生只要表述正確都應給以鼓勵)②如圖，△ABC中∠ABC與∠ACB的平分線交于點D．過點D作EF∥BC交AB于點E、交AC于點F．求證：EF＝BE+CF．③兩個三角形，它們的內(nèi)角分別為：(1)20°，40°，120°；(2)20°，60°，100。．怎樣把每個三角形分成兩個等腰三角形?畫出圖形試試看．12.3.2教學目標①了解等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形是軸對稱圖形．②會闡述、推證等邊三角形的性質(zhì)和判定方法．③經(jīng)歷應用等邊三角形性質(zhì)的過程培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．教學重點與難點重點：等邊三角形的性質(zhì)和判定方法．難點：等邊三角形性質(zhì)的應用．教學設計創(chuàng)設情境，提出問題在等腰三角形中，有一種特殊的等腰三角形——三條邊都相等的三角形，我們把這樣的三角形叫做等邊三角形．觀察與討論：如圖，把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結論?類似地，你又能得到哪些等邊三角形的判定方法?注：明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，引發(fā)學生探尋其更多的性質(zhì)．探索分析,解決問題學生先獨立思考，在合作交流，歸納結論如下：1．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．2．等邊三角形每一個角相等，都等于60°．3．三個角都相等的三角形是等邊三角形．4．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．其中1、2是等邊三角形的性質(zhì)；3、4的等邊三角形的判斷方法．注：合作討論,培養(yǎng)歸納、表達能力．課堂練習,反饋調(diào)控1．△ABC是等邊三角形，以下三種方法分別得到的△ADE都是等邊三角形嗎，為什么?①在邊AB、AC上分別截取AD=AE．②作∠ADE=60°，D、E分別在邊AB、AC上．③過邊AB上D點作DE∥BC，交邊AC于E點．注：通過這道題練習，使學生應用等邊三角形的多種判別方法．2．已知：如右圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，并且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小．注：綜合應用等邊三角形與等腰三角形在角方面的性質(zhì)．分析：由已知顯然可知三角形APQ是等邊三角形，每個角都是60°．又知△APB與△AQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質(zhì)即可推得∠PAB=30°．學生口述、教師板演解題過程．注：規(guī)范解題步驟，培養(yǎng)學生有條理地表達．再問：你能說出每一步的依據(jù)嗎?學生思考、討論、回答．注：培養(yǎng)學生言必有據(jù)的良好習慣．綜合應用，鞏固提高出示教科書第126頁例4．學生閱讀題目，畫出數(shù)學圖形，分析解題思路．注：突出數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．課堂小結，知識梳理通過這節(jié)課的學習，你學到關于等邊三角形的哪些知識，它與等腰三角形有何聯(lián)系與區(qū)別?學生思考、討論、整理．注：再次體會等邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系與區(qū)別．布置作業(yè)，自我評價1．必做題：教科書第127頁練習1、2．2．選做題：(1)教科書第150頁習題第11題.(2)已知等邊△ABC，求平面內(nèi)一點P，滿足A，B，C，P四點中的任意三點連線都構成等腰三角形．這樣的點有多少個?3．備選題：(1)已知：如圖等邊△ABC，D、E、F分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：