初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓單元復(fù)習(xí)-參賽作品

例談圓中常見(jiàn)作輔助線(xiàn)的方法圓是初中幾何部分的重要內(nèi)容之一，與圓有關(guān)的大部分幾何題型都需要添加輔助線(xiàn)來(lái)解決。只要添上合適的輔助線(xiàn)，不僅會(huì)使問(wèn)題迎刃而解，而且還會(huì)有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力與創(chuàng)造性思維能力。通過(guò)對(duì)實(shí)踐教學(xué)中的歸納與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)添加輔助線(xiàn)的方法有很多，本文就圓中常見(jiàn)作輔助線(xiàn)的方法歸納如下：作弦心距——在與弦有關(guān)的計(jì)算或證明題時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是作弦心距例1如圖1，AB為⊙Ｏ的直徑，PQ切⊙Ｏ于T，AC⊥PQ于C，交⊙Ｏ于D，AD=2，TC=.求⊙Ｏ的半徑。圖1A圖1ABCDOPTQM∵PQ切⊙Ｏ于T，∴OT⊥PQ．又∵AC⊥PQ，OM⊥AC，∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，∴四邊形OTCM為矩形．∴OM=TC=，∴在Rt△AOM中，．即⊙Ｏ的半徑為2．例2如圖2，已知在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).·Ｃ·ＣＤＡＥＢＯ圖2證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，則AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE.∵AC=AE-CE，BD=BE-DE.∴AC=BD.連半徑——與半徑和弦有關(guān)的簡(jiǎn)單計(jì)算、已知圓中有切線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算和證明時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是連半徑C·HAB圖3DC·HAB圖3DO解：連接OA，∵⊥CO，∴OC平分AB∴AH=8cm.在Rt△AHO中，OH=6cm.∴CH=4cm，DH=16cm.答：直線(xiàn)向左平移4cm，或向右平移16cm時(shí)能于⊙O相切。A圖4·A圖4·BPOH求證：PB是⊙O的切線(xiàn).證明：連接OA、OB.∵PA是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切線(xiàn).三、既作弦心距又連半徑——與半徑和弦都有關(guān)的計(jì)算時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是既作弦心距又連半徑，利用勾股定理來(lái)解決ABOABO·圖5C解：連接OA，作OC⊥AB于C，則AC=BC=AB.在Rt△OAC中，OA=×52=26厘米，OC=26-16=10厘米，∴AC=24厘米.∴AB=2AC=48厘米.四、連弦構(gòu)造相似三角形或直角三角形——在圓中與弦或其他有關(guān)的計(jì)算或證明時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是連弦，利用同弧所對(duì)的圓周角相等連弦構(gòu)造相似三角形或利用直徑所對(duì)的圓周角為直角這個(gè)性質(zhì)連弦構(gòu)造出直角三角形，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到相似三角形或直角三角形中去計(jì)算或證明例6已知，如圖6，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連結(jié)DE，DE=.ABABCEDOMF圖6（2）求EM的長(zhǎng)；（3）求sin∠EOB的值.解：（1）連接AC，EB，則∠CAM=∠BEM.又∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB．∴，即AM·MB=EM·MC．∵DC為⊙O的直徑，∴∠DEC=90°，EC=∵OA=OB=4，M為OB的中點(diǎn)，∴AM=6，BM=2．設(shè)EM=，則CM=7－．代入（1）,得.解得=3，=4．但EM＞MC，∴EM=4.（3）由（2）知，OE=EM=4，作EF⊥OB于F，則OF=MF=OB=1．在Rt△EOF中，∴sin∠EOB=.例7如圖7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為，DE=3，求AE．（1）證明：連結(jié)OE，BE，BDBDCEAO圖7∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE=DB，∴∠DBE=∠DEB.又OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB.即∠ABD=∠OED.又∵∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線(xiàn).（2）解：∵，∴，∴.五、作直徑構(gòu)造直角三角形——在圓中牽涉到三角函數(shù)的運(yùn)算或與直徑的計(jì)算與證明時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是作直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決ABCABC·OD圖8解：作直徑AD，連結(jié)BD.∵∠ACB=60°，∴∠D=∠ACB=60°.又∵AD是直徑，∴∠ABD=90°，∴，∴.FCDAFCDAB·OE圖9G求證：OE=AD.證明：作直徑CF，連接DF、FB、DB.∵CF是直徑，∴∠CBF=90°，∴∠BCF+∠BFC=90°.∵∠BGD=90°，∴∠ABD+∠BDC=90°.又∵∠BDC=∠BFC，∴∠BCF=∠ABD，∴AD=BF.∵OE⊥BC于點(diǎn)E，∴CE=BE.又∵OC=OF，∴OE=BF，∴OE=AD.六、作公共弦或連心線(xiàn)——在解答有關(guān)兩圓相交的問(wèn)題時(shí)，常作輔助線(xiàn)的方法是作公共弦或連心線(xiàn)，利用連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦和連心線(xiàn)可溝通圓心距、公共弦、兩圓半徑之間的關(guān)系這特點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題··ABDEO1O2C圖10P例10已知，如圖10，⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A和B，··ABDEO1O2C圖10P求證：AD=BE.證明：連結(jié)AB交O2O1于P點(diǎn)，∵O1O2⊥AB且O1O2的平分AB，∴CA=CB，∴∠ACP=∠BCP，∴點(diǎn)O2到線(xiàn)段AD、CE的距離相等，∴AD=BE.例11如圖11，已知⊙O1與⊙O2是等圓，它們相交于A、B兩點(diǎn)，O2在⊙01上，AC是⊙O2的直徑，直線(xiàn)CB交⊙O1于D，E為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接DE.（1）請(qǐng)你連接AD，證明：AD是⊙O1的直徑；C··OC··O1O2ADB圖11E證明：（1）連接AD，∵AD是⊙O1直徑，∴AB⊥AC，∴∠ABD=90°，∴AD是⊙O1的直徑.（2）連接01O2，∵點(diǎn)O2在⊙01上，⊙O1與⊙O2是等圓，∴點(diǎn)01在⊙O2上，∴AO1=AO2=O1O2，∴∠O1AO2=60°.∵AB是公共弦，∴AB⊥O1O2，∴∠O1AB=30°.∵∠E=60°，∴∠ADE=180°-（∠E+∠O1AB）=180°-（60°+30°）=90°.由（1）知AD是⊙O1的直徑，∴DE是⊙O1的切線(xiàn).··PDAC··PDACBO1O2E圖12例12如圖12，已知⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，⊙O2的弦AB的延長(zhǎng)線(xiàn)切⊙O1于點(diǎn)C，AP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O1于點(diǎn)D.求證：∠BPC=∠CPD.證明：過(guò)點(diǎn)P作⊙O1與⊙O2的公切線(xiàn)PE交AC于E，則∠BPE=∠BAP.∵BC切⊙O1于點(diǎn)C，∴∠CPE=BCP.∵∠BPE+∠CPE=∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，∴∠BPC=∠CPD.總之