相似三角形與全等三角形-（2020-2022）中考數學專題真題分項匯編（四川）（解析）

專題14相似三角形與全等三角形一、單選題1．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據三角形全等的判定做出選擇即可．【詳解】A、，不能判斷，選項不符合題意；B、，利用SAS定理可以判斷，選項符合題意；C、，不能判斷，選項不符合題意；D、，不能判斷，選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定，根據SSS、SAS、ASA、AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關鍵．2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據角平分線的性質得到CD=DF=3，故B正確；根據平行線的性質及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯誤．【詳解】解：在中，的平分線交于點D，，∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A錯誤；故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質定理，平行線的性質，等邊對等角證明角相等，全等三角形的判定及性質，熟記各知識點并綜合應用是解題的關鍵．3．（2021·四川成都·中考真題）如圖，四邊形是菱形，點E，F分別在邊上，添加以下條件不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【詳解】解:∵四邊形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故選項A可以；B.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(ASA)；故選項B可以；C.添加不可以，條件是邊邊角故不能判定；故選項C不可以；D.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故選項D可以；故選擇C．【點睛】本題考查添加條件判定三角形全等，菱形性質，掌握三角形全等判定定理，菱形性質是解題關鍵．4．（2021·四川阿壩·中考真題）如圖，等腰△中，點D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定≌的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據全等三角形的判定方法逐項判斷即得答案．【詳解】解：A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據SAS判定≌，故本選項不符合題意；B、若添加，不能判定≌，故本選項符合題意；C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據AAS判定≌，故本選項不符合題意；D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，則可根據ASA判定≌，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質，屬于基本題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．5．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求解再證明可得【詳解】解：＝，DE∥BC，故選D【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，證明是解本題的關鍵．6．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，D、E、F分別是三邊上的點，其中，BC邊上的高為6，且DE//BC，則面積的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】【分析】過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設，根據，證明，根據相似三角形對應高的比等于相似比得到，列出面積的函數表達式，根據配方法求最值即可．【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設，，，，，，∴,，當時，S有最大值，最大值為6，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數求最值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．7．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（

）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】C【解析】【分析】根據平行得到，根據相似的性質得出，再結合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結論．【詳解】解：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DEBC，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質、兩個三角形相似的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．8．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點G．若．．則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根據平移的性質可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性質及已知條件即可求得△CEG的面積．【詳解】由平移的性質可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故選：B．【點睛】本題考查了平移的性質及相似三角形的判定與性質，相似三角形的性質是本題的關鍵．9．（2020·四川內江·中考真題）如圖，在中，D、E分別是AB和AC的中點，，則（）A．30 B．25 C．22．5 D．20【答案】D【解析】【分析】首先判斷出△ADE∽△ABC，然后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．【詳解】解：根據題意，點D和點E分別是AB和AC的中點，則DE∥BC且DE=BC，故可以判斷出△ADE∽△ABC,根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知：=1：4，則：=3：4，題中已知，故可得=5，=20故本題選擇D【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是得出DE是中位線，從而判斷△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解本題．10．（2020·四川成都·中考真題）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【解析】【分析】根據平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．11．（2021·四川內江·中考真題）在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時刻，有人測得一高為的竹竿的影長為，某一高樓的影長為，那么這幢高樓的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設此高樓的高度為x米，再根據同一時刻物高與影長成正比列出關于x的比例式，求出x的值即可．【詳解】解：設這幢高樓的高度為米，依題意得：，解得：．故這棟高樓的高度為36米．故選：．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵．12．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①；②；③若，則；④在內存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】【分析】證明，即可判斷①，根據①可得，由可得四點共圓，進而可得，即可判斷②，過點作于,交的延長線于點，證明，根據相似三角形的性質可得，即可判斷③，將繞點逆時針旋轉60度，得到，則是等邊三角形，根據當共線時，取得最小值，可得四邊形是正方形，勾股定理求得，根據即可判斷④．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正確；四點共圓，故②正確；如圖，過點作于,交的延長線于點，,，,設，則，，則AH∥CE，則；故③正確如圖，將繞點逆時針旋轉60度，得到，則是等邊三角形，，當共線時，取得最小值，此時，此時，，，，，，，平分，，四點共圓，

，又,，，則四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，，則，，，，

，，則，，，，故④不正確，故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，費馬點，圓內接四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．13．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在中，，，，且，若，點是線段上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據相似三角形的性質得到，得到，，過B作于H，根據等腰三角形的性質得到，根據勾股定理得到，當時，PQ的值最小，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：，，，解得：（負值舍去），，，，，，，，過B作于H，，，，，當時，PQ的值最小，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．二、填空題14．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，點D是△ABC外一點，連接BD、AD，AD與BC交于點O．下列三個等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC=BD．請從這三個等式中，任選兩個作為已知條件，剩下的一個作為結論，組成一個真命題，將你選擇的等式或等式的序號填在下面對應的橫線上，然后對該真命題進行證明．已知：，求證：【答案】BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；證明見詳解【解析】【分析】構造SAS，利用全等三角形的判定與性質即可求解．【詳解】已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD，求證：AC=BD．證明：在△ABC和△BAD中，∵，∴，∴，即命題得證．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的判定是解答本題的關鍵．15．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．【答案】【解析】【分析】易證△AEF∽△ABC，得即即可求解．【詳解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即∵，，，∴，∴EF=，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．16．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為_______．【答案】【解析】【分析】如圖（見解析），先根據平行線的判定與性質可得，從而可得，再根據相似三角形的判定證出，根據相似三角形的性質可得的長，然后根據正切的定義即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，經檢驗，是所列分式方程的解，則，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關鍵．17．（2022·四川成都·中考真題）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．【答案】【解析】【分析】根據位似圖形的性質，得到，根據得到相似比為，再結合三角形的周長比等于相似比即可得到結論．【詳解】解：和是以點為位似中心的位似圖形，，，，，根據與的周長比等于相似比可得，故答案為：．【點睛】本題考查相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解決問題的關鍵．18．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點，，則的值為________．【答案】．【解析】【分析】證明△ABD∽△CBA，根據相似三角形的性質即可解答．【詳解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質，證明△ABD∽△CBA是解決問題的關鍵．19．（2021·四川樂山·中考真題）如圖，已知點，點為直線上的一動點，點，，于點，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當的值最大時，的值為________．【答案】【解析】【分析】設直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，根據平行線的性質得到∠ABH＝α，由三角函數的定義得到，根據相似三角形的性質得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根據二次函數的性質即可得到結論．【詳解】解：如圖，設直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當BA最小時sinα有最大值；即BH最小時，sinα有最大值，即BG最大時，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當n時，BG最大值故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角函數的定義，平行線的性質，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關鍵．三、解答題20．（2022·四川宜賓·中考真題）已知：如圖，點A、D、C、F在同一直線上，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據，可得，根據證明，進而可得，根據線段的和差關系即可求解．【詳解】證明：∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．21．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，B是線段AC的中點，，求證：．【答案】證明過程見詳解【解析】【分析】運行平行線的性質可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結論即可得證．【詳解】證明∵B是AC中點，∴AB=BC，∵，∴∠A=∠EBC，∵，∴∠DBA=∠C，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE(ASA)．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的關鍵．22．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOB≌△COD．【答案】證明見解析【解析】【分析】先證明∠DOC=∠BOA，再由邊角邊即可證明△AOB≌△COD．【詳解】解：由圖可知：，，∵，∴，在和中：，∴．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，屬于基礎題，熟練掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關鍵．23．（2021·四川南充·中考真題）如圖，，AD是內部一條射線，若，于點E，于點F．求證：．【答案】見詳解【解析】【分析】根據AAS證明△BAE≌△ACF，即可得．【詳解】證明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．24．（2021·四川樂山·中考真題）如圖，已知，，與相交于點，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據全等三角形的性質，通過證明，得，結合等腰三角形的性質，即可得到答案．【詳解】∵，∴（AAS），∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質，從而完成求解．25．（2021·四川瀘州·中考真題）如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE【答案】證明見詳解．【解析】【分析】根據“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據全等三角形的對應邊相等即可得到結論.【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．26．（2020·四川南充·中考真題）如圖，點C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求證：AB=CD．【答案】詳見解析【解析】【分析】根據ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，從而有，可以驗證和全等，從而得到AB=CD．【詳解】證明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，利用角邊角判定三角形全等，其中找到兩兩互余的角之間的關系是解題的關鍵．27．（2020·四川瀘州·中考真題）如圖，AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：BC＝BD．【答案】證明見解析．【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根據AC＝AD，AB＝AB可判斷出△ABC≌△ABD，從而得到BC＝BD．【詳解】證明：∵AB平分∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD．∵AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD（SAS）．∴BC＝BD．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．28．（2020·四川內江·中考真題）如圖，點，，，在同一直線上，點，在異側，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）70°【解析】【分析】（1）根據角角邊求證即可；（2）根據已知可得，根據等邊對等角可得結果．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質，熟知全等三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．29．（2020·四川宜賓·中考真題）如圖，在三角形ABC中，點D是BC上的中點，連接AD并延長到點E，使，連接CE．（1）求證：（2）若的面積為5，求的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根據中點定義、對頂角相等以及已知條件運用SAS即可證明；（2）先根據三角形中點的性質和全等三角形的性質得到、，再結合以及解答即可．【詳解】證明：（1）∵D是BC的中點，∴BD=CD在△ABD和△CED中，所以；(2)∵在△ABC中，D是BC的中點∴∵．答：三角形ACE的面積為10．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質等知識，其中掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．30．（2022·四川達州·中考真題）某校一數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當點E，F重合時，請直接寫出，，之間的數量關系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當點E，F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【解析】【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質，可得，根據題意可得，根據等原三角形的性質可得平分，即可得，根據旋轉的性質可知；（2）證明，可得，根據等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案為：(3)同（2）可得，過點，作，交于點，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，(4)過點作，交于點，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．31．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，為等腰直角三角形，延長至點B使，其對角線，交于點E．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過是等腰直角三角形可知，再由，即可證明；（2）設，則，，再根據即可得到用含的表達式表示的DF，進而即可求得的值．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴E為BD中點∵∴∴又∵為等腰直角三角形∴，∴∴∵∴在與中∴；（2）解：設∵為等腰直角三角形∴，，∵∴∴又∵∴∴∵，∴∵E是DB中點∴∴∴∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性質與判定，還涉及了等腰直角三角形的性質，勾股定理，三線合一，矩形的性質等相關內容，熟練掌握相關幾何證明方法是解決本題的關鍵．32．（2021·四川阿壩·中考真題）如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，點D落在線段AB上，連接BE．（1）求證：DC平分；（2）試判斷BE與AB的位置關系，并說明理由：（3）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）BE⊥AB，理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；（2）根據旋轉的性質得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；（3）設BD=BE=a，根據勾股定理計算出AB=DE=，表達出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．【詳解】解：（1）由旋轉可知：AC=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠ADC，∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；（2）BE⊥AB，理由：由旋轉可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，又∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠ABE=90°，∴BE⊥AB；（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，∴設BD=BE=a，則，又∵AB=DE，∴AB=，則AD=，由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，∴△ACD∽△BCE，∴，∴tan∠ABC=．【點睛】本題考查了旋轉的綜合應用以及相似三角形的性質與判定、銳角三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質，并熟記銳角三角函數的定義．33．（2020·四川眉山·中考真題）如圖，和都是等邊三角形，點、、三點在同一直線上，連接，，交于點．（1）若，求證：；（2）若，．①求的值；②求的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②【解析】【分析】（1）先根據兩邊對應成比例且夾角對應相等得出，再根據ASA得出即可．（2）①過點作于點，根據直角三角形角所對直角邊是斜邊的一半可得，從而得出，由BE=6得出，，根據勾股定理得出，然后根據即可．②在Rt中，根據勾股定理得出BD的長，再根據得出即可得出DF的長．【詳解】（1）證明：，又，，．和均為等邊三角形，，，，，，．（2）①，，，，，，．，，，過點作于點，為等邊三角形，，．在Rt中，，．②在Rt中，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，以及銳角三角函數，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．34．（2021·四川樂山·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結．（1）如圖1，若，點關于直線的對稱點為點，結，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連結．①在圖2中補全圖形；②探究與的數量關系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數量關系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【解析】【分析】（1）先根據題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）①按要求補全圖即可②先根據已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點關于直線的對稱點為點∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補全圖如圖2所示；②與的數量關系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點順時針旋轉，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質、全等三角形的證明及性質、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉換是解題的關鍵，相似三角形的證明是重點35．（2020·四川涼山·中考真題）如圖，點P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）不變；60°；（3）不變；120°．【解析】【分析】（1）根據點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)，可得BQ=AP，結合等邊三角形的性質證全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形內角和定理即可求得∠AMP的度數，再根據對頂角相等可得的度數；（3）先證出，可得∠Q=∠P，再由對頂角相等，進而得出∠QMC=∠CBP=120°．【詳解】解：（1）證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)，∴BQ=AP，在△ABQ與△CAB中，∴．（2）角度不變，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度數不變，度數為60°．（3）角度不變，120°，理由如下：當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度數不變，度數為120°．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理，靈活運用等邊三角形的性質證全等是解題的關鍵．36．（2020·四川達州·中考真題）（1）【閱讀與證明】如圖1，在正的外角內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．①完成證明：點E是點C關于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）【類比與探究】把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數量關系___________．（3）【歸納與拓展】如圖3，點A在射線上，，，在內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．則線段、、之間的數量關系為__________．【答案】（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【解析】【分析】（1）①根據等量代換和直角三角形的性質即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據（1）（2）的結論，即可總結出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點C關于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點E是點C關于的對稱點，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點C關于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當∠BAC=60°時BF=AF+2FG=；由（2）得：當∠BAC=90°時BF=AF+2FG=；以此類推，當當∠BAC=60°時，．【點睛】本題考查了軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及三角函數的應用，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵．37．（2022·四川達州·中考真題）某校一數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當點E，F重合時，請直接寫出，，之間的數量關系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當點E，F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【解析】【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質，可得，根據題意可得，根據等原三角形的性質可得平分，即可得，根據旋轉的性質可知；（2）證明，可得，根據等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案