平面向量的運(yùn)算第3課時(shí)向量的數(shù)量積講義-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算第3課時(shí)向量的數(shù)量積【課程標(biāo)準(zhǔn)】理解平面向量的數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積。通過(guò)幾何直觀，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意義。會(huì)用向量的數(shù)量積判定兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，以及解決夾角、模的問(wèn)題。【課時(shí)目標(biāo)】1.必備知識(shí)：（1）向量的夾角、數(shù)量積；（2）投影與投影向量；（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)；（4）向量數(shù)量積的運(yùn)算律。2.關(guān)鍵能力：（1）理解平面向量數(shù)量積的概念及物理意義；（2）理解平面向量投影的概念；（3）掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律；（4）能運(yùn)用數(shù)量積解決向量模、夾角和垂直的問(wèn)題。3.學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等。【知識(shí)歸納】1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝(0≤≤π)叫做向量a與b的夾角．(2)特例：①當(dāng)＝0時(shí)，向量a與b同向；②當(dāng)＝時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b；③當(dāng)＝時(shí)，向量a與b反向．2．向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．注意：(1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值來(lái)決定．(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積記作a·b，千萬(wàn)不能寫(xiě)成a×b的形式．3．投影向量如圖(1)，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|．特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.注意：對(duì)于性質(zhì)(2)，可以用來(lái)解決有關(guān)垂直的問(wèn)題，即若要證明某兩個(gè)非零向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0即可；若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．注意：(1)向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律；若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.【例題精講】例題1.(1)已知單位向量e1，e2的夾角為，a＝2e1－e2，則a在e1上的投影是________．(2)已知向量a與b滿(mǎn)足|a|＝10，|b|＝3，且向量a與b的夾角為120°.求：①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．例題2.(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.(2)已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.（3）已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，則|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．例題3.(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則a與b的夾角為_(kāi)_______；(2)已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為_(kāi)_____．例題4：(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()A．－32 B．32C．±32 D．1(2)已知a，b，c為單位向量，且滿(mǎn)足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為，則實(shí)數(shù)λ＝________．【課堂檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．若，，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．2．在平行四邊形中，，則A． B．6 C． D．83．若平面向量與的夾角為，，，則A． B． C．2 D．34．己知、、是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值為A． B． C． D．5二．填空題（共4小題）5．已知單位向量滿(mǎn)足．設(shè)，則向量的夾角的余弦值為．6．已知向量，1，，，0，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．已知非零向量與的夾角為，，若，則．8．已知向量，滿(mǎn)足，，與的夾角為，，則．三．解答題（共2小題）9．已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，（1）求．（2）求與的夾角．10．已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，．（1）求．（2）求與的夾角．【課堂小結(jié)】【課后作業(yè)】基礎(chǔ)篇一、單選題1.在四邊形ABCD中，若AC=AB+ADA．四邊形ABCD是矩形 B．四邊形ABCD是菱形 C．四邊形ABCD是正方形 D．四邊形ABCD是平行四邊形2.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量OP1,OP2,A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形3.已知平面向量a,b的夾角為π3，且a?A．1 B．2 C．2 D．64.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，AC則AB?A．12 B．32 C．?35.已知P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BP=2PC,|AP|=4，若點(diǎn)QA．－92 B．－12 C．－32 二、多選題6.設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量．則下列命題為假命題的是()A．若|a+bB．若a⊥b，則C．若|a+b|=|aD．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa三、填空題7.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，若AC=2，則AB?CA=8.已知平行四邊形ABCD中，|AB|=|AD|=AB?AD=2，點(diǎn)E9.已知向量a,b是兩個(gè)非零向量，且|a|=|b|=|a四、解答題10.已知|a(1)求a與b的夾角及|2a(2)當(dāng)ka?b與a11.已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，E為(1)設(shè)CA=a,CD=b，當(dāng)(2)當(dāng)AE=2EB時(shí)，求證：提高篇一、單選題1.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=1，且對(duì)任意t∈RA．π3 B．π2 C．2π2.設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a,b的夾角，已知當(dāng)實(shí)數(shù)t變化時(shí)|aA．若θ確定，則|a|唯一確定 B．若θ確定，則|C．若|a|確定，則θ唯一確定 D．若|b二、填空題3.如圖