初中數(shù)學(xué)開放型問題

談初中數(shù)學(xué)開放性問題1977年，日本國立研究所數(shù)學(xué)教育學(xué)者小組以島田茂為首的學(xué)者在《算術(shù)數(shù)學(xué)課的開放式問題―改善教學(xué)的新方案》報(bào)告文集中首先提出“數(shù)學(xué)開放題"（OpenendedProblems）這個(gè)名詞，在不斷的研究和探索中，開放題已進(jìn)入日本的數(shù)學(xué)課本，并已占一定的比例。開放題作為研究“問題解決”熱潮中的產(chǎn)物，在美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已被普遍地使用。80年代以來，數(shù)學(xué)開放題被介紹到中國，90年代出現(xiàn)在教材中并進(jìn)行教學(xué)中的試驗(yàn)；95年戴再平先生作了系統(tǒng)的研究（見《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》，戴再平，上海教育出版社，1996）。只是近幾年來，數(shù)學(xué)開放題才日益引起數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注，并逐漸形成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)。何為開放性問題，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界還沒有統(tǒng)一的定義。習(xí)慣上，人們按照命題者對(duì)解答者的要求將數(shù)學(xué)問題分為兩類：一類是已知和結(jié)論都有明確要求的題型；另一類是回答問題的起點(diǎn)和終點(diǎn)（結(jié)論）兩者中至少有一個(gè)沒有確定要求的題型，并稱前者是封閉題型，后者是開放題型（簡稱開放題Open--endproblemorOpenproblem）。另外，前蘇聯(lián)學(xué)者B.A奧加涅相的要素分析法定義是：數(shù)學(xué)習(xí)題是一個(gè)系統(tǒng){y,o,p,z},其中y表示習(xí)題的條件，o表示解題的依據(jù)，p表示解題的方法，z表示習(xí)題的結(jié)論，上述系統(tǒng)的四個(gè)要素中有三個(gè)是未知的習(xí)題稱為問題性題，有兩個(gè)是未知的習(xí)題稱為探索性題，問題性題與探索性題統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)開放題。一、數(shù)學(xué)開放題的特征根據(jù)戴再平的研究，數(shù)學(xué)開放題一般具有以下特征：所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題。沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是在求解過程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。常常通過實(shí)際問題提出，主體必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般更有概括性的結(jié)論。能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平。教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者。二、數(shù)學(xué)開放題的功能美國加利福尼亞州教育部于1989年指出了開放性問題的五個(gè)功能：為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的數(shù)學(xué)觀是來表達(dá)的機(jī)會(huì)，這和他們的數(shù)學(xué)發(fā)展是一致的;要求構(gòu)建他們自己的反映，而不是選擇一個(gè)簡單的答案；允許學(xué)生表達(dá)他們對(duì)問題的深層次的理解，這在多項(xiàng)選擇中是無法做到的;鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法來解決問題，反過來提示老師用不同的方法解釋數(shù)學(xué)概念；開放性問題的模式是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本成份。我國的數(shù)學(xué)教育工作者經(jīng)過教學(xué)試驗(yàn)和理論研究，認(rèn)為數(shù)學(xué)開放題有以下幾方面的作用：開放題能引起學(xué)生認(rèn)知的不平衡，為學(xué)生主動(dòng)選擇信息，超越所給定的信息留下了充分的余地，有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu);開放題由于具有結(jié)果開放、方法開放、思路開放等特點(diǎn)，能有效地反映高層次思維，為高層次思維創(chuàng)造條件，因而能更好地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)與能力;開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高平常數(shù)學(xué)成績較差學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生體驗(yàn)智力活動(dòng)的歡樂，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的靈感;開放題是挖掘、提煉數(shù)學(xué)思想方法，充分展示應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的良好載體，使每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能在自己的基礎(chǔ)上有一個(gè)最大的發(fā)展，體現(xiàn)受教育者公平

和人人有份的原則;開放性問題的研究和教學(xué)，有利于教師轉(zhuǎn)變教育觀念，激發(fā)教育熱情，擺脫一種淺層次的教學(xué)循環(huán)，體現(xiàn)教師自身的生命活力。三、數(shù)學(xué)開放題的分類.從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放題。.從開放題答案的開口情況出發(fā)，定量地可分成三類：弱開放題一一答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題；中開放題一一答案情況（包括可能情況）超過兩種，但為數(shù)目確定的有限種；強(qiáng)開放題一一只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數(shù)難以確定的開放題。.從試題內(nèi)容上看分為：數(shù)與式的開放題、方程開放題、函數(shù)開放題、幾何開放題、綜合性開放題等。.從解題目標(biāo)的操作模式上分為：規(guī)律探索型、問題探究型、數(shù)學(xué)建模型、操作設(shè)計(jì)型、情景研究型等。四、中考中的數(shù)學(xué)開放題教育部《關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試指導(dǎo)意見》明確指出，中考數(shù)學(xué)要出一定的開放性問題，以更好地保障解答者創(chuàng)造性地發(fā)揮水平。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在編學(xué)上也十分關(guān)注這個(gè)問題，在學(xué)習(xí)選擇上改革力度很大，書中有不少既符合學(xué)生特點(diǎn)又聯(lián)系實(shí)際的開放性問題。綜觀近幾年全國各地?cái)?shù)學(xué)中考試題，開放性問題不僅占有一定的位置，試題的分值較高，而且漸有加強(qiáng)的趨勢(shì)。現(xiàn)僅從解題目標(biāo)的操作模式上分別就2008年全國各地?cái)?shù)學(xué)中考試題舉例說明：1.規(guī)律探索型對(duì)材料信息的加工提煉和運(yùn)用，對(duì)規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個(gè)人的應(yīng)用數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的意識(shí)和能力。求解探索規(guī)律型試題要求學(xué)生有敏銳的觀察力，能從特殊的情況出發(fā)，經(jīng)過周密的思考，全面的分析，去推得一般的結(jié)論。規(guī)律類的中考試題，無論在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等方面都別具一格，令人耳目一新，其目的是繼續(xù)考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，主要有“數(shù)字類'、“計(jì)算類”、“圖形類”、“設(shè)計(jì)類”、“動(dòng)態(tài)類”等題型。例1.（2008年河北）有一個(gè)四等分轉(zhuǎn)盤，在它的上、右、下、左的位置分別掛著“眾”、“志”、“成”、“城”四個(gè)字牌，如圖5-1.若將位于上下位置的兩個(gè)字牌對(duì)調(diào)，同時(shí)將位于左右位置的兩個(gè)字牌對(duì)調(diào)，再將轉(zhuǎn)盤順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則完成一次變換.圖5-2,圖5-3分別表示第1次變換和第2次變換.按上述規(guī)則完成第9次變換后，“眾”字位于轉(zhuǎn)盤的位置是（）第1次變換例2.（2008年哈爾濱）觀察下列圖形:是（）第1次變換例2.（2008年哈爾濱）觀察下列圖形:第2次變換

_入_圖5-3★★ ★★★★ ★★★第L個(gè)田形 第2個(gè)闋游★★★★★★★★★第3★★★★★★★★★第3個(gè)用融★★★★★★★★★★★★第4個(gè)陰悲2.問題探究型問題是思維的起點(diǎn)，是探究學(xué)習(xí)的載體，而探究又是創(chuàng)新的源泉。問題探究型試題立意新穎、構(gòu)思巧妙、形式各樣，這類試題從素材的選擇、文字的表達(dá)，到題型設(shè)計(jì)、題意的開掘都很具特色，是近年來中考的熱點(diǎn)之一。這類試題一般沒有明確的條件或結(jié)論，沒有固定的形式和方法，要求我們認(rèn)真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動(dòng)，認(rèn)真研究才能得到問題的解答。例1.（2008年北京）請(qǐng)閱讀下列材料:問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)AB，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PG，PC.若^ABC=/BEF=60,探究PG與PC的位置關(guān)系及PPG的值.小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：PG（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及萬K的值；1^^（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.（3）若圖1中NABC=NBEF=2a（0°<a<90°）,將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任PG…意角度，原問題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出標(biāo)的值（用含a的式子表示）.rLx解：（1解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PGP一2）例2.（2008年福建莆田）已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論：PA2+PC2=PB2+PD2,請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時(shí)，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論.

答：對(duì)圖（2）的探究結(jié)論為.對(duì)圖（3）的探究結(jié)論為.證明：如圖（2）T圖③T圖③.數(shù)學(xué)建模型所謂數(shù)學(xué)建模就是把所要研究的實(shí)際問題，通過數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型的研究，使原問題獲得解決的過程。數(shù)學(xué)建模需要較多探索和創(chuàng)造性，初中數(shù)學(xué)常見的建模方法有：涉及圖形的位置性質(zhì)，建立幾何模型；涉及對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中物體的測量，建立解直角三角形模型；涉及現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的等量關(guān)系（不等量關(guān)系），建立方程（不等式）模型；涉及現(xiàn)實(shí)生活中的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計(jì)模型等。這類問題在解決時(shí)，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即將實(shí)際問題經(jīng)過抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，從而得出結(jié)論。例1.（2008年廣東東莞）在2008年春運(yùn)期間，我國南方出現(xiàn)大范圍冰雪災(zāi)害，導(dǎo)致某地電路斷電.該地供電局組織電工進(jìn)行搶修.供電局距離搶修工地15千米.搶修車裝載著所需材料先從供電局出發(fā)，15分鐘后，電工乘吉昔車從同一地點(diǎn)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)搶修工地.已知吉普車速度是搶修車速度的1.5倍，求這兩種車的速度。例2.（2008年湖北咸陽）“5?12”四川汶川大地震的災(zāi)情牽動(dòng)全國人民的心，某市A、B兩個(gè)蔬菜基地得知四川C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū).已知人蔬菜基地有蔬菜200噸，B蔬菜基地有蔬菜300噸，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)往C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn).從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為%噸.（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求兩個(gè)蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時(shí)％的值; CD總計(jì)A200噸B%噸300噸總計(jì)240噸260噸500噸（2）設(shè)A、B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，寫出w與％之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案；（3）經(jīng)過搶修，從B地到C處的路況得到進(jìn)一步改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元（m>0）,其余線路的運(yùn)費(fèi)不變，試討論總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案..操作實(shí)踐型《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式；強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。在上述理念的引領(lǐng)下，近年來，注重學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索的操作實(shí)踐型試題在各地市中考試卷中頻頻'登場”，并給日常教學(xué)注入了新的活力。解決實(shí)踐操作試題一般需要經(jīng)歷觀察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等實(shí)踐活動(dòng)，利用自己已有的生活經(jīng)驗(yàn)，感知與發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問題.例1.（2008年山東濱州）將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形。例2.（2008年陜西）陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測量工具：皮尺、標(biāo)桿、一副三角尺、小平面鏡。請(qǐng)你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測量方案。??（1）所需的測量工具是：;（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x,請(qǐng)用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x..情景研究型隨著課改的深入開展，實(shí)際情景問題應(yīng)運(yùn)而生，并迅速發(fā)展成為命題的亮點(diǎn)、熱點(diǎn)。實(shí)際情景問題是復(fù)雜多變的，它貼近生活，為學(xué)生所熟悉，且以一定的知識(shí)為依托。情景設(shè)置的取材廣泛，有日常生活中常見的問題，如購物、統(tǒng)計(jì)、幾何圖形的計(jì)算等，使問題富有時(shí)代氣息；也有社會(huì)熱點(diǎn)問題，如環(huán)保、納稅、經(jīng)濟(jì)、合理用料、2008年北京奧運(yùn)、南方凍雨冰災(zāi)、汶川地震等。例1.（2008年浙江金華）三軍受命，我解放軍各部隊(duì)奮力抗戰(zhàn)地救災(zāi)一線?，F(xiàn)有甲、乙兩支解放軍小分隊(duì)將救災(zāi)物資送往某重災(zāi)小鎮(zhèn)，甲隊(duì)先出發(fā)，從部隊(duì)基地到小鎮(zhèn)只有唯一通道，且路程為24km,如圖是他們行走的路線關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象，四位同學(xué)觀察此函數(shù)圖象得出有關(guān)信息，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4

現(xiàn)程OtW5E啊(ft)乙也到達(dá)小移用了4小時(shí).中均速度是6kmM現(xiàn)程OtW5E啊(ft)乙也到達(dá)小移用了4小時(shí).中均速度是6kmM乙林出發(fā)25小時(shí)后追上甲叩機(jī)比乙隊(duì)早出發(fā)2網(wǎng)域地們同時(shí)解例2.(2008年四川樂山)閱讀下列材料：我們知道1x1的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即Ix1=1x-01,也就是說，IxI表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為Ix「x2I表示在數(shù)軸上x1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；例1解方程IxI=2，容易看出，在數(shù)軸下與原點(diǎn)距離為2點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為±2,即該方程的解為x=±2例2解不等式Ix—2I>2，如圖(16)，在數(shù)軸上找出Ix—2I=2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一1、3,則Ix—2I>2的解為x<—1或X>3例3解方程Ix-1I+1x+2I=5。由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和一2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和一2的距離為3,滿足方程的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或一2的左邊，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖(17)可以看出x=2；同理，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在一2的左邊，可得x=—3,故原方程的解是x=2或x=-3<4 4 ? I產(chǎn)1X上-2 0 1 2參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程Ix+3I=4的解為(2)解不等式Ix—3I+1x+4I三9；(3)若Ix-3I-1x+4IWa對(duì)任意的x都成立，求a的取值范圍五、加強(qiáng)數(shù)學(xué)開放性問題研究與實(shí)踐的幾點(diǎn)思考.加強(qiáng)開放的意識(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有多樣性和選擇性的開放性理念，并提出了開放的模塊式課程結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)課程的內(nèi)部，為不同層次，不同需要的學(xué)生提供了多層次、多類型的課程，為學(xué)生選擇課程時(shí)提供了廣闊的空間。學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過渡到社會(huì)人、使社會(huì)人更好地服務(wù)于社會(huì)，由于社會(huì)時(shí)刻在發(fā)生著變化，因此，一個(gè)良好的社會(huì)人必需具備適應(yīng)社會(huì)變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動(dòng)的、封閉的意識(shí)，為了使數(shù)學(xué)適應(yīng)時(shí)代的需