等腰三角形的性質(zhì)資料

第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第1課時

等腰三角形的性質(zhì)1知識點全等三角形的性質(zhì)和判定問

題全等三角形的定義是什么？知1－導1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等、對應角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或

“SSS”）.（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角

邊角”或“ASA”）.（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形

全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）.（4）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊

角邊”或“SAS”）知1－講知1－講利用全等三角形的判定方法，當∠D＝∠B時，兩個三角形符合“邊角邊”，△ADF≌△CBE．導引：B例1（2015?貴州省貴陽）如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個條件是（）A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE知1－練1(2016?金華)如圖，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是(

)A．AC＝BD

B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D

D．BC＝AD知1－練2(2016?南京)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△ABO≌△ADO.下列結(jié)論：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正確結(jié)論的序號是________．2知識點等腰三角形的邊、角性質(zhì)知2－導1．等腰三角形的相關(guān)概念回顧：知2－導2．議一議(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？(2)請你選擇等腰三角形的一條性質(zhì)進行證明，并與

同伴交流.歸納知2－導定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡述為：等邊對等角.知2－講例2已知：如圖1-1，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.分析：我們曾經(jīng)利用折疊的方法說明了這兩個底角相等(如圖1-2).實際

上，折痕將等腰三角形分成了兩

個全等三角形.這啟發(fā)我們，可以

作一條輔助線，把原三角形分成

兩個全等的三角形，從而證明這

兩個底角相等.圖1-2知2－講證明：如圖1-3,取BC的中點D，連接

AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的對應角相等）.知2－講1．性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等(簡寫成“等邊對等

角”)．要點精析：(1)適用條件：必須在同一個三角形中．(2)應用格式：在△ABC中，因為AB＝AC，所以∠B＝

∠C.(3)作用：它是證明角相等常用的方法，它的應用可省

去三角形全等的證明，因而更簡便．知2－講例3

(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一個角為70°，求頂角的度數(shù)；(3)若等腰三角形的一個角為90°，求頂角的度數(shù)．導引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運用三

角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)

求解；若給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩

種情況求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.知2－講(2)由題意可知，70°的角可以為頂角或底角，當?shù)捉?/p>

為70°時，頂角為180°－70°×2＝40°.因此頂角

為40°或70°.(3)若頂角為90°，底角為

若底角為90°，則三個內(nèi)角的和大于180°，不符合三角形

內(nèi)角和定理．因此頂角為90°.總

結(jié)知2－講1．在等腰三角形中求角時，要看給出的角是否確定為頂角或底角．若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理．2．若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角．知2－講例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且BD＝CE，DE交BC于點F.求證：DF＝EF.導引：要證DF＝EF，可轉(zhuǎn)化為證它們所在的三角形全等，而根據(jù)現(xiàn)有條件易知DF，EF所在的三角形不全等，因此可以考慮作輔助線，進行圖形之間的轉(zhuǎn)換，使條件集中．知2－講證明：如圖，過點E作EM∥AB交BC的延長線于點M，

則∠M＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵∠ACB＝∠ECM，∴∠B＝∠ECM.∴∠ECM＝∠M.∴CE＝ME.又∵BD＝CE，∴ME＝BD.又∵∠BFD＝∠MFE，∴△BDF≌△MEF(AAS)．∴DF＝EF.(2016?濱州)如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為(

)A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°知2－練知2－練(2016?棗莊)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC的延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線交于點D，則∠D的度數(shù)為(

)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°知3－導3知識點等腰三角形的“三線合一”想一想在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論?1．推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底

邊上的高線互相重合(簡寫成“三線合一”)．要點精析：(1)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實際是一組

定理，應用過程中，在三角形是等腰三角形前提下，

“頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線”只

要知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”．(2)作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系的重要

方法，應用廣泛．知3－講(3)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或

底邊上的高線、底邊上的中線)所在的直線是它的對

稱軸．(4)應用格式：如圖，在△ABC中，①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．知3－講（來自《點撥》）知3－講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點G，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例5(1)解：知3－講(2)求證：EF＝ED.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.總

結(jié)知3－講(1)利用等腰三角形的“三線合一”證明角相等、線段相等和垂直關(guān)系是一種既重要又簡便的方法；因為題目的證明或計算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一”的應用也是單一的，一般得出一個結(jié)論，因此應用要靈活．(2)在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用“三線合一”是等腰三角形中常用的方法．知3－講如圖，已知AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足為M.求證：CM＝MD.如圖，連接AC，AD.在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.

導引：證明：例6由已知AM⊥CD和結(jié)論CM＝MD，聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”，由此連接AC，AD構(gòu)造等腰三角形．總

結(jié)知3－講對于單一等腰三角形作“三線合一”的基本圖形，作底邊上的高、中線