2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點直線平面之間的位置關(guān)系3.4平面與平面垂直的性質(zhì)5作業(yè)含解析新人教版必修220220226154

PAGEPAGE6直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)A組基礎(chǔ)鞏固1.eq\a\vs4\al(2013·廣東卷)設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：本題主要考查線面、面面的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法．畫出一個長方體ABCD－A1B1C1D1.對于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1與平面ABCD相交，故A不正確；對于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD與平面ADD1A1相交，故C不正確；對于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD?平面ABCD，故D不正確，故選B.答案：B2.eq\a\vs4\al(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：本題主要考查線線、線面的位置關(guān)系的判定．由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.答案：D3.eq\a\vs4\al(2014·陜西師大附中月考)在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形解析：本題考查由線面垂直、面面垂直判斷三角形的形狀．過點A作AH⊥BD于點H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，則AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選A.答案：A4．若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角()A．相等B．互補C．相等或互補D．關(guān)系無法確定解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，因為二面角H－DG－F的大小不確定．答案：D5.eq\a\vs4\al(2014·沈陽高一檢測)如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD.沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面所在平面中，互相垂直的平面的對數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：∵面ABD⊥面BCD又AB⊥BD∴AB⊥面BCD，AB?面ABC，∴面ABC⊥面BCD.同理，面ACD⊥面ABD.故四面體ABCD中互相垂直的平面有3對．答案：C6．如圖所示，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與②B．①與③C．②與③D．③與④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A，故選B.答案：B7.eq\a\vs4\al(2014·江西省南昌三中月考)如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于A，B兩點)，直線PA垂直于圓所在的平面，點M為線段PB的中點，有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________．(填序號)．解析：本題主要考查線面、面面平行與垂直的判定．由題意可知PA在平面MOB內(nèi)，所以①不正確；因為M為線段PB的中點，OA＝OB，所以O(shè)M∥PA，又OM不在平面PAC內(nèi)，所以MO∥平面PAC，②正確；當(dāng)OC與AB不垂直時，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正確；因為AB是直徑，所以BC⊥AC，又PA垂直于圓所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正確．綜上所述，正確的命題是②④.答案：②④8．如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB＝eq\r(3)BC，將Rt△ABE沿BE邊折起，點A在平面BCDE上的射影為點D，在翻折后的幾何體中有如下結(jié)論：①AB與DE所成角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直線BA與平面ADE所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).其中正確的結(jié)論有________．(填序號)解析：本題主要考查線面、面面垂直關(guān)系，線線角，線面角．由題意可得翻折后的幾何體如圖所示，對于①，因為BC∥DE，所以∠ABC即為AB與DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)a，BC＝a，所以tan∠ABC＝eq\r(2)，故①正確；②明顯錯誤；對于③，因為AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因為DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正確；對于④，易知∠BAE即為直線BA與平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，所以sin∠BAE＝eq\f(\r(3),3)，故④正確．答案：①③④9．設(shè)α，β表示平面，a，b表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的兩條直線．給出下列四個論斷：①a∥b；②a∥β；③α⊥β；④b⊥α.若以其中三個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，則可以構(gòu)造出一些命題．寫出你認(rèn)為正確的一個命題________．(注：寫法如“()()()?()”，只需在()中填入論斷的序號)解析：本題考查線面平行與垂直的轉(zhuǎn)化，考查分析問題、解決問題的能力．由a∥b，b⊥α，得a⊥α.由a∥β，a⊥α，得α⊥β，即①②④?③.同理①③④?②.答案：①②④?③(或①③④?②)10．如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點．求證：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.證明：(1)∵四棱錐S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.∵E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD?平面SAD，∴EF⊥SD.B組能力提升11．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角．求證：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.證明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.12．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD?解析：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF?平面BEF，∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD