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文檔簡介

高等數(shù)學(1)學習指導(一)

第一章函數(shù)

⒈理解函數(shù)的觀點;掌握函數(shù)yf(x)中符號f()的含義;認識函數(shù)的兩因素;

會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值;會判斷兩個函數(shù)能否相等。

兩個函數(shù)相等的充分必需條件是定義域相等且對應關系同樣。

⒉認識函數(shù)的主要性質(zhì),即單一性、奇偶性、有界性和周期性。

若對隨意x,有f(x)f(x),則f(x)稱為偶函數(shù),偶函數(shù)的圖形對于y軸對

稱。

若對隨意x,有f(x)f(x),則f(x)稱為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖形對于原點對

稱。

掌握奇偶函數(shù)的鑒別方法。

掌握單一函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特色。⒊嫻熟掌握基本初等函數(shù)的分析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。基本初等函數(shù)是指以下幾種種類:

①常數(shù)函數(shù):yc②冪函數(shù):yx(為實數(shù))③指數(shù)函數(shù):yax(a0,a1)④對數(shù)函數(shù):ylogax(a0,a1)⑤三角函數(shù):sinx,cosx,tanx,cotx⑥反三角函數(shù):arcsinx,arccosx,arctanx⒋認識復合函數(shù)、初等函數(shù)的觀點,會把一個復合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。

如函數(shù)

能夠分解yeu,uv2,varctanw,w1x。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù),而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。⒌會列簡單的應用問題的函數(shù)關系式。例題選解一、填空題⒈設f(1)x1x2(x0),則f(x)。x1,則x1,得解:設txt故f(x)11x2。x1⒉函數(shù)f(x)5x的定義域是。ln(x2)解:對函數(shù)的第一項,要求x20且ln(x2)0,即x2且x3;對函數(shù)的第二項,要求5x0,即x5。取公共部分,得函數(shù)定義域為(2,3)(3,5]。

⒊函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],則f(lnx)的定義域是。解:要使f(lnx)存心義,一定使0lnx1,由此得f(lnx)定義域為[1,e]。⒋函數(shù)yx29的定義域為。x3解:要使yx29x29x3x3存心義,一定知足0且x30,即建立,解不x3等式方程組,得出x3或x3,故得出函數(shù)的定義域為(,3](3,)。x3⒌設f(x)axax對稱。2,則函數(shù)的圖形對于解:f(x)的定義域為(,),且有即f(x)是偶函數(shù),故圖形對于y軸對稱。二、單項選擇題⒈以下各對函數(shù)中,()是同樣的。A.f(x)x2,g(x)x;B.f(x)lnx2,g(x)2lnx;C.f(x)lnx3,g(x)3lnx;D.f(x)x21,g(x)x1x1解:A中兩函數(shù)的對應關系不一樣,x2xx,B,D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不一樣,所以AB,D都不是正確的選項;而選項C中的函數(shù)定義域相等,且對應關系同樣,應選項C正確。⒉設函數(shù)f(x)的定義域為(,),則函數(shù)f(x)-f(x)的圖形對于()對稱。=x;軸;軸;D.坐標原點解:設F(x)f(x)f(x),則對隨意x有即F(x)是奇函數(shù),故圖形對于原點對稱。選項D正確。3.設函數(shù)的定義域是全體實數(shù),則函數(shù)f(x)f(x)是().A.單一減函數(shù);B.有界函數(shù);C.偶函數(shù);D.周期函數(shù)解:A,B,D三個選項都不必定知足。設F(x)f(x)f(x),則對隨意x有即F(x)是偶函數(shù),應選項C正確。⒋函數(shù)f(x)xax1(a0,a1)()ax1A.是奇函數(shù);B.是偶函數(shù);

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù);D.是非奇非偶函數(shù)。

解:利用奇偶函數(shù)的定義進行考證。

所以B正確。

⒌若函數(shù)121x)xx2,則f(x)f(x()A.x2;B.x22;

C.(x1)2;D.x21。解:因為x21x2212(x1)22x2x2x所以f(x1)(x1)22xx則f(x)x22,應選項B正確。第二章極限與連續(xù)⒈知道數(shù)列極限的“N”定義;認識函數(shù)極限的描繪性定義。⒉理解無量小量的觀點;認識無量小量的運算性質(zhì)及其與無量大批的關系;知

道無量小量的比較。

無量小量的運算性質(zhì)主要有:

①有限個無量小量的代數(shù)和是無量小量;

②有限個無量小量的乘積是無量小量;

③無量小量和有界變量的乘積是無量小量。⒊嫻熟掌握極限的計算方法:包含極限的四則運算法例,消去極限式中的不定

因子,利用無量小量的運算性質(zhì),有理化根式,兩個重要極限,函數(shù)的連續(xù)性等方法。

求極限有幾種典型的種類(1)lima2xkalim(a2xka)(a2xka)1x0xkx0xk(a2xka)2a(2)limx2axb(xx0)(xx1)x0x1xx0limxx0xx0xx00nm(3)lima0xna1xn1an1xana0nmxx0b0xmb1xm1bm1xbmb0nm⒋嫻熟掌握兩個重要極限:1)x1lim(1e(或lim(1x)xe)xxx0重要極限的一般形式:11lim(1)f(x)e(或lim(1g(x))g(x)e)f(x)f(x)g(x)0利用兩個重要極限求極限,常常需要作適合的變換,將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴展形式,再利用重要極限的結論和極限的四則運算法例,如

⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義;會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性;會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;認識函數(shù)中斷點的觀點;會對函數(shù)的中斷點進行分類。中斷點的分類:

已知點xx0是的中斷點,

若f(x)在點xx0的左、右極限都存在,則

x

x0稱為

f(x)

的第一類中斷點;

若f(x)在點xx0的左、右極限有一個不存在,則xx0稱為f(x)的第二類中斷點。

⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復合還是連續(xù)函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結論,知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結論。

典型例題分析

一、填空題x2sin1⒈極限limx。x0sinxx2sin11x1x解:limx010sinxlim(xsin)limxsinlimx01x0xsinxx0xx0sinx注意:limxsin0(無量小量乘以有界變量等于無量小量)x0xlimxlim1111,此中l(wèi)imsinx=1是第一個重要極限。x0sinxx0sinxlimsinx1x0xxx0x⒉函數(shù)f(x)xsin1x0的中斷點是xx。x1x0解:由f(x)是分段函數(shù),x0是f(x)的分段點,考慮函數(shù)在x0處的連續(xù)性。因為lim10lim(x1)1f(0)1xsinx0xx0所以函數(shù)f(x)在x0處是中斷的,又f(x)在(,0)和(0,)都是連續(xù)的,故函數(shù)⒊⒋⒌⒍設f(x)x23x2,則f[f(x)]解:f(x)2x3,故⒎函數(shù)yln(1x2)的單一增添區(qū)間是二、單項選擇題⒈函數(shù)在點處().

f(x)的中斷點是x0。

。

。

A.有定義且有極限;B.無定義但有極限;

C.有定義但無極限;D.無定義且無極限

解:f(x)在點處沒有定義,但1(無量小量有界變量=無量小量)limxsin0x0x應選項B正確。⒉以下函數(shù)在指定的變化過程中,()是無量小量。1B.sinx,(x);A.ex,(x);x

C.ln(1x),(x1);D.x11,(x0)x解:無量小量乘以有界變量仍為無量小量,所以

而A,C,D三個選項中的極限都不為0,應選項B正確。三、計算應用題

⒈計算以下極限:⑴limx23x2⑵lim(x3)xx2x24x12xx1(3)lim(x1)10(2x153)5(4)lim1x1x12(x2)x0sin3x解:⑴x23x2(x1)(x2)x1x24x12(x2)(x6)x6x23x2=limx11lim24x12x2xx2x681)x1)x]1x3xx1x(1lim[(1e11xnx⑵lim()lim()lim3)xx34nx1nx3n(13)3]3eelim[(1xnx⑶題目所給極限式分子的最高次項為

分母的最高次項為12x15,由此得

(4)當x0時,分子、分母的極限均為0,所以不可以用極限的除法法例。求解時先有理化根式在利用除法法例和第一個重要極限計算。=limx1)1lim3xlim1111x0sin3x(1x3x0sin3xx01x13262.設函數(shù)問(1)a,b為什么值時,f(x)在x0處有極限存在?(2)a,b為什么值時,f(x)在x0處連續(xù)?解:(1)要f(x)在x0處有極限存在,即要limf(x)limf(x)建立。x0x0因為limf(x)lim(xsin1bb)x0x0xlimf(x)limsinx1x0x0x所以,當b1時,有l(wèi)imf(x)limf(x)建立,即b1時,函數(shù)在x0處有極x0x0限存在,又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處能否有定義沒關,所以此時a能夠取隨意值。(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知,函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是于是有b1f(0)a,即ab1時函數(shù)在x0處連續(xù)。第三章導數(shù)與微分

導數(shù)與微分這一章是我們課程的學習要點之一。在學習的時候要重視以下幾點:

⒈理解導數(shù)的觀點;認識導數(shù)的幾何意義;會求曲線的切線和法線;會用定義計算簡單函數(shù)的導數(shù);知道可導與連續(xù)的關系。f(x)

在點xx處可導是指極限0

存在,且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。導數(shù)的定義式還可寫成極限

函數(shù)f(x)在點xx0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)上點

切線的斜率。

(x0,f(x0))處

曲線yf(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為函數(shù)yf(x)在x0點可導,則在x0點連續(xù)。反之則否則,函數(shù)yf(x)在x0點連續(xù),在x0點不必定可導。⒉認識微分的觀點;知道一階微分形式不變性。⒊熟記導數(shù)基本公式,嫻熟掌握以下求導方法(1)導數(shù)的四則運算法例

(2)復合函數(shù)求導法例

(3)隱函數(shù)求導方法

(4)對數(shù)求導方法

(5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導法

正確的采納求導方法有助于我們的導數(shù)計算,如

一般當函數(shù)表達式中有乘除關系或根式時,求導時采納取對數(shù)求導法,

(x1)2比如函數(shù)yx,求y。在求導時直接用導數(shù)的除法法例是能夠的,可是計算時會麻煩一些,并且簡單犯錯。假如我們把函數(shù)先進行變形,即

再用導數(shù)的加法法例計算其導數(shù),于是有

這樣計算不只簡單并且不易犯錯。又比如函數(shù)yx1,求y。3x2明顯直接求導比較麻煩,可采納取對數(shù)求導法,將上式兩頭取對數(shù)得兩頭求導得

整理后即可得

若函數(shù)由參數(shù)方程

的形式給出,則有導數(shù)公式

能夠嫻熟地利用導數(shù)基本公式和導數(shù)的四則運算法例、復合函數(shù)的求導法例計算函數(shù)的導數(shù),能夠利用隱函數(shù)求導法,取對數(shù)求導法,參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導數(shù)。

⒋嫻熟掌握微分運算法例

微分四則運算法例與導數(shù)四則運算法例近似

一階微分形式的不變性

微分的計算能夠歸納為導數(shù)的計算,但要注意它們之間的不一樣之處,即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。

⒍認識高階導數(shù)的觀點;會求顯函數(shù)的二階導數(shù)。

函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導數(shù)就要先求函數(shù)的一階導數(shù)。要求函數(shù)的n階導數(shù)就要先求函數(shù)的n1階導數(shù)。

第三章導數(shù)與微分典型例題選解

一、填空題

⒈設函數(shù)f(x)在x0周邊有定義,且f(0)0,f(0)1,則limf(x)。x0xf(x)f(x)f(0)解:limlimf(0)1xx0x0x0故應填1。⒉曲線y1在點(1,1)處切線的斜率是。xf(x)在x解:由導數(shù)的幾何意義知,曲線x0處切線的斜率是f(x0),即為函33數(shù)在該點處的導數(shù),于是y1x2,y(1)1x222x1

1

2

故應填1。2x2⒊設f(x)4x5,則f[f(x)]。解:f(x)2x4,故故應填4x224x37二、單項選擇題⒈設函數(shù)f(x)x2,則limf(x)f(2)()。x2x2A.2x;;;D不存在解:因為limf(x)f(2)f(2),且f(x)x2,x2x2所以f(2)2xx24,即C正確。1x,則f(x)()。⒉設f()1x111A.;B.;C.;D.xx2x2x解:先要求出f(x),再求f(x)。因為f(1)x1,由此得f(x)1,所以f(x)(1)1x1xxx2x即選項D正確。3.設函數(shù)f(x)(x1)x(x1)(x2),則f(0)().;;;D.2解:因為f(x)x(x1)(x2)(x1)(x1)(x2)(x1)x(x2)(x1)x(x1),此中的三項當x0時為0,所以應選項C正確。4.曲線yxx在點()處的切線斜率等于。e0

A.(0,1);B.(1,0);C.(0,1);D.(1,0)解:y1ex,令y0得x0。而y(0)1,應選項C正確。5.ysinx2,則y()。A.cosx2;B.cosx2;C.2xcosx2;D.2xcosx2解:ycosx2(x2)2xcosx2應選項C正確。三、計算應用題⒈設ytan2x2sinx,求dyx2解:⑴由導數(shù)四則運算法例和復合函數(shù)求導法例由此得⒉設yf(ex)ef(x),此中f(x)為可微函數(shù),求y。解y[f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]=f(ex)[ex]ef(x)f(ex)ef(x)[f(x)]=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x)]求復合函數(shù)的導數(shù)時,要先搞清函數(shù)的復合組成,即復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的,特別要分清復合函數(shù)的復合層次,而后由外層開始,逐層使用復合函數(shù)求導公式,一層一層求導,要點是不要遺漏,最后化簡。3.設函數(shù)

y

y(x)

由方程

xy

ey

ln

x

確立,求

dy。

y

dx

解:方法一:等式兩頭對x求導得

整理得

方法二:由一階微分形式不變性和微分法例,原式兩頭求微分得

左端d(xyey)d(xy)d(ey)yxxyeydydd右端d(lnx)yd(x)yydxxdyyxyxy2由此得

整理得

4.設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程確立,求dy。dx

解:由參數(shù)求導法

5.設y(1x2)arctanx,求y。解y2xarctanx(1x2)12xarctanx11x2第四章導數(shù)的應用典型例題一、填空題1.函數(shù)yln(1x2)的單一增添區(qū)間是.解:2x,當x0時y0.故函數(shù)的單一增添區(qū)間是(,0).1x2y

lnx.2.極限limxx11解:由洛必達法例3.函數(shù)f(x)1(exex)的極小值點為。2解:f(x)1(exex),令f(x)0,解得駐點x0,又x0時,f(x)0;21(exx0時,f(x)0,所以x0是函數(shù)f(x)ex)的極小值點。2二、單項選擇題1.函數(shù)yx21在區(qū)間[2,2]上是()A)單一增添B)單一減少C)先單一增添再單一減少D)先單一減少再單一增添解:選擇Dy2x,當x0時,f(x)0;當x0時,f(x)0;所以在區(qū)間[2,2]上函數(shù)yx21先單一減少再單一增添。2.若函數(shù)yf(x)知足條件(),則在(a,b)內(nèi)起碼存在一點(ab),使得建立。A)在(a,b)內(nèi)連續(xù);B)在(a,b)內(nèi)可導;C)在(a,b)內(nèi)連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導;D)在[a,b]內(nèi)連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導。解:選擇D。由拉格朗日定理條件,函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,所以選擇D正確。3.知足方程f(x)0的點是函數(shù)yf(x)的()。A)極值點B)拐點

C)駐點D)中斷點

解:選擇C。

依駐點定義,函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導數(shù)為零的點。

4.設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),x0(a,b),且f(x0)f(x0)0,則函數(shù)在

x0處()。

A)獲得極大值B)獲得極小值

C)必定有拐點(x0,f(x0))D)可能有極值,也可能有拐點解:選擇D

函數(shù)的一階導數(shù)為零,說明x0可能是函數(shù)的極值點;函數(shù)的二階導數(shù)為零,說明x0可能是函數(shù)的拐點,所以選擇D。

三、解答題1.計算題

求函數(shù)yxln(1x)的單一區(qū)間。

解:函數(shù)yxln(1x)的定義區(qū)間為(1,),因為

令y0,解得x0,這樣能夠?qū)⒍x區(qū)間分紅(1,0)和(0,

當1x0時,y0;當0x是,y0。

由此得出,函數(shù)yxln(1x)在(1,0)內(nèi)單一遞減,在(0,

)兩個區(qū)間來議論。

)內(nèi)單一增添。

應用題

欲做一個底為正方形,容積為108立方米的長方體張口容器,如何做法所用資料最省?

解:設底邊邊長為x,高為h,所用資料為y

且x2h108,h108得2(x3x2令y0216)0x6,且因為x6,y0;x6,y0,所以x6,y108為最小值.此時h3。于是以6米為底邊長,3米為高做長方體容器用料最省。3.證明題:當x1時,證明不等式證設函數(shù)f(x)lnx,因為f(x)在(0,)上連續(xù)可導,所以f(x)在[1,x]上知足拉格朗日中值定理條件,有公式可得

此中1cx,即又因為c1,有11c故有l(wèi)nxx1兩邊同時取以e為底的指數(shù),有elnxex1ex即xe所以當x1時,有不等式建立.第5章學習指導(2)典型例題分析

一、填空題

⒈曲線在隨意一點處的切線斜率為2x,且曲線過點(2,5),則曲線方程

為。解:xxx2c,即曲線方程為2。將點(2,5)代入得c1,所求曲2dyxc線方程為⒉已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)是arctanx2,則f(x)。解:f(x)(arctanx2)2x1x4⒊已知F(x)是f(x)的一個原函數(shù),那么f(axb)dx。解:用湊微分法二、單項選擇題xc,則()。⒈設fx)dxxlnf(x)(A.lnx1;B.lnx;C.x;D.xlnx解:因應選項A正確.⒉設F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則等式()建立。

A.d(f(x)dx)F(x);B.F(x)dxf(x)c;dxD.d(C.F(x)dxF(x);f(x)dx)f(x)dx解:正確的等式關系是應選項D正確.⒊設F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則xf(1x2)dx()。A.F(1x2)c;B.F(1x2)c;C.1F(1x2)c;D.F(x)c2解:由復合函數(shù)求導法例得

應選項C正確.

三、計算題

⒈計算以下積分:

⑴xdx⑵1x2dx1x2x2解:⑴利用第一換元法⑵利用第二換元法,設xsint,dxcostdt⒉計算以下積分:⑴arcsinxdx⑵lnx2dxx

解:⑴利用分部積分法

⑵利用分部積分法

高等數(shù)學(1)第六章學習指導

綜合練習題

(一)單項選擇題

(1).以下式子中,正確的選項是()。

2f(x)dx0.af(x)dxb2bf(x)dx11axdx.13x2dx12dt0x2dx03t00(2).以下式子中,正確的選項是()

0cosx./costdtx2costdtcosxxx00.cosxcostdtcostdt00(3)以下廣義積分收斂的是()。

x10edx.dx1x10cosxdx.1x2dx(4)若f(x)是[aa,a]上的連續(xù)偶函數(shù),則f(x)dx()。a0f(x)dx.0aC.20af(x)dxD.f(x)dxa0若f(x)與g(x)是[a,b]上的兩條圓滑曲線,則由這兩條曲線及直線

xa,xb所圍圖形的面積().bb(f(x)g(x))dxf(x)g(x)dx.aabbg(x))dx(g(x)f(x))dx.(f(x)aa答案:(1)A;(2)D;(3)D;(4)C;(5)A。

解:(1)依據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確。

ab而f(x)dxf(x)dxB不正確。ba在(0,1)區(qū)間內(nèi)x2x12dx1xxdxC不正確。00依據(jù)定積分定義可知,定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限相關,而與積分變量的選用沒關。故D不正確。

(2)由變上限的定積分的觀點知x

0

costdt

cosx

,

costdt

cosx

∴A、C

不正確。

0

x

由定積分定義知

B不正確。

正確。(3)exdxbexdxlim(ebe0)∴A不正確。0lim0bb1dxb1dxbln1)∴B。不正確。1lim1limlnx1lim(lnbxbxbbb∴C。不正確。0cosxdxlim0cosxdxlim(sinbsin0)不存在。bbD

正確

(4)由課本344頁(6—4—2)和345頁(6—4—3)知C。正確。

(5)所圍圖形的面積一直是在上邊的函數(shù)減去在下邊的函數(shù)∴A正確。(二)填空題xcostdt(1)lim0_________x0x

(2)設F(x)1則F(x)____________.x2etdt,(3)在區(qū)間0,2上,曲線ysinx和x軸所圍圖形的面積為______________。(4)24x2dx______________0(5)p_________,無量積分1dx發(fā)散>>axp(a0p0)答案:

xcostdt解:(1)lim0xx0(2)F(x)x2etdt,1

limcosx1cos0x01F(x)(x2etdt,)ex2(x2)2xex21

(2)所圍圖形的面積S=2sinxdx2cosx02coscos040(3)由定積分的幾何意義知:定積分的值等于(4)y=所圍圖形的面積∴22124x2045)p≤1時無量積散發(fā)散。

(三)計算以下定積分

4(1)2xdx0

1(2)x(1x)dx0

(3)e1lnxdxx

(4)1212dxxx0(5)2xsin2xdx0答案:42xdx241x2)2(1x22x)44(1)(2x)dx(x2)dx(2x0200222(2)x(1x)dx(231x2)110320

7

6

(3)e1lnxdx(1lnx)d(1lnx)1(1lnx)2ee1x121(4)1x21x2dx0

3

2

解:設xsint1(0t)dx1costdt12(5)2xsin2xdxxcos2x2022cos2xdxsin2x2440210140原式222tdt2sin22tdt1cos4t1102)sintcos442dt(x02sin4t(四)定0積分應用0028416求由曲線yx1,及直線yx,y2所圍平面圖形的面積解:畫草圖求交點由y=x,xy=1得x==1y

2y=2

y=x所求平面圖形面積211y220xy=1A1(y)dy(lny)1y2x第七章綜合練習題

3ln22

(一)單項選擇題1、若()建立,則級數(shù)an發(fā)散,此中Sn表示此級數(shù)的部分和。n1A、limsn0;B、an單一上漲;nC、liman0D、liman不存在nn2、當條件()建即刻,級數(shù)(anbn)必定發(fā)散。n1A、an發(fā)散且bn收斂;B、an發(fā)散;n1n1n1C、bn發(fā)散;D、an和bn都發(fā)散。n1n1n13、若正項級數(shù)an收斂,則()收斂。n1A、anB、an2n1n1C、(anc)2D、(anc)n1n14、若兩個正項級數(shù)an、bn知足,anbn(n1,2,)則結論(),是正確的。n1n1A、an發(fā)散則bn發(fā)散;B、an收斂則bn收斂;n1n1n1n1

C、an發(fā)散則bn收斂;D、an收斂則bn發(fā)散。n1n1n1n15、若f(x)=n0anxn,則an=()。A、(f(0))(n)Bf(n)(x)、Cf(n)(0)D、1n!n!n!n!答案:1、D2、A3、B4、A5、C(二)填空題1、當q_________時,幾何級數(shù)anqn收斂。n0、級數(shù)(11)是___________級數(shù)。2nnn153、若級數(shù)an收斂,則級數(shù)an_____________。n0n04、指數(shù)函數(shù)f(x)=ex展成x的冪級數(shù)為__________________。5、若冪級數(shù)anyn的收斂區(qū)間為(—9,9),則冪級數(shù)an(x3)2n的收斂區(qū)間為n0n0___________。答案:1、<12、發(fā)散3、收斂4、xn、C(0,6)n0n!(三)計算題

1、判斷以下級數(shù)的收斂性

⑴1⑵3nn!⑶(1)nn1n(n1)n1nnn1n1

解:⑴此正項級數(shù)的通項知足n(n1)n2n=2,3,.

因為1收斂,則由比較鑒別法可知1收斂。n1n2n1n(n1)an13n1(n1)!⑵limlimn1n1lim3(n)nlim33>1annn1nenn3(n)!n1nnn(1)n則由比值鑒別法可知3nn!發(fā)散。1nnn⑶因為(1)n是交織級數(shù),且an=111an1,n1,2,...n1nnn及l(fā)imanlim10,由萊布尼茲鑒別法知級數(shù)(1)n收斂。nnnn1n2、求以下冪級數(shù)的收斂半徑

⑴xn⑵(x1)2nn4nnn1n1解:⑴liman1limn1所以收斂半徑R=1,nannn1⑵令(x1)2y,得冪級數(shù)ynnn14n可知yn1的收斂半徑為limann1n14nn4,所1lim4n1(n1)lim以原冪級數(shù)的收斂半徑nann1n4(n1)4第4nn八章綜合練習題及參照答案

(一)單項選擇題

1、以下階數(shù)最高的微分方程是()。

A、;yy(y)3sin(xy)B、xy5yy56yx3;C、y6y4x2D、(y)22yyx02、以下一階微分方程中為可分別變量的微

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