電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末考試總結(jié)復(fù)習(xí)計(jì)劃習(xí)題及

高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)指導(dǎo)(一)

第一章函數(shù)

⒈理解函數(shù)的觀點(diǎn)；掌握函數(shù)yf(x)中符號(hào)f()的含義；認(rèn)識(shí)函數(shù)的兩因素；

會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)能否相等。

兩個(gè)函數(shù)相等的充分必需條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系同樣。

⒉認(rèn)識(shí)函數(shù)的主要性質(zhì)，即單一性、奇偶性、有界性和周期性。

若對(duì)隨意x，有f(x)f(x)，則f(x)稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形對(duì)于y軸對(duì)

稱。

若對(duì)隨意x，有f(x)f(x)，則f(x)稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形對(duì)于原點(diǎn)對(duì)

稱。

掌握奇偶函數(shù)的鑒別方法。

掌握單一函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特色。⒊嫻熟掌握基本初等函數(shù)的分析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種種類：

①常數(shù)函數(shù)：yc②冪函數(shù)：yx(為實(shí)數(shù))③指數(shù)函數(shù)：yax(a0,a1)④對(duì)數(shù)函數(shù)：ylogax(a0,a1)⑤三角函數(shù)：sinx,cosx,tanx,cotx⑥反三角函數(shù)：arcsinx,arccosx,arctanx⒋認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的觀點(diǎn)，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。

如函數(shù)

能夠分解yeu，uv2，varctanw，w1x。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。⒌會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題⒈設(shè)f(1)x1x2(x0)，則f(x)。x1，則x1，得解：設(shè)txt故f(x)11x2。x1⒉函數(shù)f(x)5x的定義域是。ln(x2)解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求x20且ln(x2)0，即x2且x3；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求5x0，即x5。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?2,3)(3,5]。

⒊函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，則f(lnx)的定義域是。解：要使f(lnx)存心義，一定使0lnx1，由此得f(lnx)定義域?yàn)閇1,e]。⒋函數(shù)yx29的定義域?yàn)?。x3解：要使yx29x29x3x3存心義，一定知足0且x30，即建立，解不x3等式方程組，得出x3或x3，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?,3](3,)。x3⒌設(shè)f(x)axax對(duì)稱。2，則函數(shù)的圖形對(duì)于解：f(x)的定義域?yàn)?,)，且有即f(x)是偶函數(shù)，故圖形對(duì)于y軸對(duì)稱。二、單項(xiàng)選擇題⒈以下各對(duì)函數(shù)中，（）是同樣的。A.f(x)x2,g(x)x；B.f(x)lnx2,g(x)2lnx；C.f(x)lnx3,g(x)3lnx；D.f(x)x21,g(x)x1x1解：A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一樣,x2xx，B,D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不一樣，所以AB,D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系同樣，應(yīng)選項(xiàng)C正確。⒉設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,)，則函數(shù)f(x)－f(x)的圖形對(duì)于（）對(duì)稱。＝x；軸；軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)F(x)f(x)f(x)，則對(duì)隨意x有即F(x)是奇函數(shù)，故圖形對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng)D正確。3．設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)f(x)是（）．A.單一減函數(shù)；B.有界函數(shù)；C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)解：A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不必定知足。設(shè)F(x)f(x)f(x)，則對(duì)隨意x有即F(x)是偶函數(shù)，應(yīng)選項(xiàng)C正確。⒋函數(shù)f(x)xax1(a0,a1)（）ax1A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行考證。

所以B正確。

⒌若函數(shù)121x)xx2，則f(x)f(x（）A.x2；B.x22；

C.(x1)2；D.x21。解：因?yàn)閤21x2212(x1)22x2x2x所以f(x1)(x1)22xx則f(x)x22，應(yīng)選項(xiàng)B正確。第二章極限與連續(xù)⒈知道數(shù)列極限的“N”定義；認(rèn)識(shí)函數(shù)極限的描繪性定義。⒉理解無(wú)量小量的觀點(diǎn)；認(rèn)識(shí)無(wú)量小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)量大批的關(guān)系；知

道無(wú)量小量的比較。

無(wú)量小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有：

①有限個(gè)無(wú)量小量的代數(shù)和是無(wú)量小量；

②有限個(gè)無(wú)量小量的乘積是無(wú)量小量；

③無(wú)量小量和有界變量的乘積是無(wú)量小量。⒊嫻熟掌握極限的計(jì)算方法：包含極限的四則運(yùn)算法例，消去極限式中的不定

因子，利用無(wú)量小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。

求極限有幾種典型的種類（1）lima2xkalim(a2xka)(a2xka)1x0xkx0xk(a2xka)2a（2）limx2axb(xx0)(xx1)x0x1xx0limxx0xx0xx00nm（3）lima0xna1xn1an1xana0nmxx0b0xmb1xm1bm1xbmb0nm⒋嫻熟掌握兩個(gè)重要極限：1)x1lim(1e（或lim(1x)xe）xxx0重要極限的一般形式：11lim(1)f(x)e（或lim(1g(x))g(x)e）f(x)f(x)g(x)0利用兩個(gè)重要極限求極限，常常需要作適合的變換，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法例，如

⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；認(rèn)識(shí)函數(shù)中斷點(diǎn)的觀點(diǎn)；會(huì)對(duì)函數(shù)的中斷點(diǎn)進(jìn)行分類。中斷點(diǎn)的分類：

已知點(diǎn)xx0是的中斷點(diǎn)，

若f(x)在點(diǎn)xx0的左、右極限都存在，則

x

x0稱為

f(x)

的第一類中斷點(diǎn)；

若f(x)在點(diǎn)xx0的左、右極限有一個(gè)不存在，則xx0稱為f(x)的第二類中斷點(diǎn)。

⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合還是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。

典型例題分析

一、填空題x2sin1⒈極限limx。x0sinxx2sin11x1x解：limx010sinxlim(xsin)limxsinlimx01x0xsinxx0xx0sinx注意：limxsin0（無(wú)量小量乘以有界變量等于無(wú)量小量）x0xlimxlim1111，此中l(wèi)imsinx=1是第一個(gè)重要極限。x0sinxx0sinxlimsinx1x0xxx0x⒉函數(shù)f(x)xsin1x0的中斷點(diǎn)是xx。x1x0解：由f(x)是分段函數(shù)，x0是f(x)的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x0處的連續(xù)性。因?yàn)閘im10lim(x1)1f(0)1xsinx0xx0所以函數(shù)f(x)在x0處是中斷的，又f(x)在(,0)和(0,)都是連續(xù)的，故函數(shù)⒊⒋⒌⒍設(shè)f(x)x23x2，則f[f(x)]解：f(x)2x3，故⒎函數(shù)yln(1x2)的單一增添區(qū)間是二、單項(xiàng)選擇題⒈函數(shù)在點(diǎn)處（）．

f(x)的中斷點(diǎn)是x0。

。

。

A.有定義且有極限；B.無(wú)定義但有極限；

C.有定義但無(wú)極限；D.無(wú)定義且無(wú)極限

解：f(x)在點(diǎn)處沒(méi)有定義，但1（無(wú)量小量有界變量=無(wú)量小量）limxsin0x0x應(yīng)選項(xiàng)B正確。⒉以下函數(shù)在指定的變化過(guò)程中，（）是無(wú)量小量。1B.sinx,(x)；A.ex,(x)；x

C.ln(1x),(x1)；D.x11,(x0)x解：無(wú)量小量乘以有界變量仍為無(wú)量小量，所以

而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0，應(yīng)選項(xiàng)B正確。三、計(jì)算應(yīng)用題

⒈計(jì)算以下極限：⑴limx23x2⑵lim(x3)xx2x24x12xx1(3)lim(x1)10(2x153)5（4）lim1x1x12(x2)x0sin3x解：⑴x23x2(x1)(x2)x1x24x12(x2)(x6)x6x23x2=limx11lim24x12x2xx2x681)x1)x]1x3xx1x(1lim[(1e11xnx⑵lim()lim()lim3)xx34nx1nx3n(13)3]3eelim[(1xnx⑶題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為

分母的最高次項(xiàng)為12x15，由此得

（4）當(dāng)x0時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不可以用極限的除法法例。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法例和第一個(gè)重要極限計(jì)算。=limx1)1lim3xlim1111x0sin3x(1x3x0sin3xx01x13262.設(shè)函數(shù)問(wèn)（1）a,b為什么值時(shí)，f(x)在x0處有極限存在？（2）a,b為什么值時(shí)，f(x)在x0處連續(xù)？解：（1）要f(x)在x0處有極限存在，即要limf(x)limf(x)建立。x0x0因?yàn)閘imf(x)lim(xsin1bb)x0x0xlimf(x)limsinx1x0x0x所以，當(dāng)b1時(shí)，有l(wèi)imf(x)limf(x)建立，即b1時(shí)，函數(shù)在x0處有極x0x0限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處能否有定義沒(méi)關(guān)，所以此時(shí)a能夠取隨意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是于是有b1f(0)a，即ab1時(shí)函數(shù)在x0處連續(xù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)要點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要重視以下幾點(diǎn)：

⒈理解導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)；認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。f(x)

在點(diǎn)xx處可導(dǎo)是指極限0

存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限

函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)上點(diǎn)

切線的斜率。

(x0,f(x0))處

曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則在x0點(diǎn)連續(xù)。反之則否則，函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，在x0點(diǎn)不必定可導(dǎo)。⒉認(rèn)識(shí)微分的觀點(diǎn)；知道一階微分形式不變性。⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，嫻熟掌握以下求導(dǎo)方法（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法例

（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法例

（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法

（4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法

（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法

正確的采納求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如

一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采納取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，

(x1)2比如函數(shù)yx，求y。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法例是能夠的，可是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，并且簡(jiǎn)單犯錯(cuò)。假如我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即

再用導(dǎo)數(shù)的加法法例計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有

這樣計(jì)算不只簡(jiǎn)單并且不易犯錯(cuò)。又比如函數(shù)yx1，求y。3x2明顯直接求導(dǎo)比較麻煩，可采納取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩頭取對(duì)數(shù)得兩頭求導(dǎo)得

整理后即可得

若函數(shù)由參數(shù)方程

的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式

能夠嫻熟地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法例、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法例計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

⒋嫻熟掌握微分運(yùn)算法例

微分四則運(yùn)算法例與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法例近似

一階微分形式的不變性

微分的計(jì)算能夠歸納為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不一樣之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。

⒍認(rèn)識(shí)高階導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的n1階導(dǎo)數(shù)。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解

一、填空題

⒈設(shè)函數(shù)f(x)在x0周邊有定義，且f(0)0,f(0)1，則limf(x)。x0xf(x)f(x)f(0)解：limlimf(0)1xx0x0x0故應(yīng)填1。⒉曲線y1在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是。xf(x)在x解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線x0處切線的斜率是f(x0)，即為函33數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是y1x2,y(1)1x222x1

1

2

故應(yīng)填1。2x2⒊設(shè)f(x)4x5，則f[f(x)]。解：f(x)2x4，故故應(yīng)填4x224x37二、單項(xiàng)選擇題⒈設(shè)函數(shù)f(x)x2，則limf(x)f(2)（）。x2x2A.2x；；；D不存在解：因?yàn)閘imf(x)f(2)f(2)，且f(x)x2，x2x2所以f(2)2xx24，即C正確。1x，則f(x)（）。⒉設(shè)f()1x111A.；B.；C.；D.xx2x2x解：先要求出f(x)，再求f(x)。因?yàn)閒(1)x1，由此得f(x)1，所以f(x)(1)1x1xxx2x即選項(xiàng)D正確。3．設(shè)函數(shù)f(x)(x1)x(x1)(x2)，則f(0)（）．；；；D.2解：因?yàn)閒(x)x(x1)(x2)(x1)(x1)(x2)(x1)x(x2)(x1)x(x1)，此中的三項(xiàng)當(dāng)x0時(shí)為0，所以應(yīng)選項(xiàng)C正確。4．曲線yxx在點(diǎn)（）處的切線斜率等于。e0

A.(0,1)；B.(1,0)；C.(0,1)；D.(1,0)解：y1ex，令y0得x0。而y(0)1，應(yīng)選項(xiàng)C正確。5．ysinx2，則y（）。A.cosx2；B.cosx2；C.2xcosx2；D.2xcosx2解：ycosx2(x2)2xcosx2應(yīng)選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題⒈設(shè)ytan2x2sinx，求dyx2解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法例和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法例由此得⒉設(shè)yf(ex)ef(x)，此中f(x)為可微函數(shù)，求y。解y[f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]=f(ex)[ex]ef(x)f(ex)ef(x)[f(x)]=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x)]求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合組成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，而后由外層開(kāi)始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，要點(diǎn)是不要遺漏，最后化簡(jiǎn)。3.設(shè)函數(shù)

y

y(x)

由方程

xy

ey

ln

x

確立，求

dy。

y

dx

解：方法一：等式兩頭對(duì)x求導(dǎo)得

整理得

方法二：由一階微分形式不變性和微分法例，原式兩頭求微分得

左端d(xyey)d(xy)d(ey)yxxyeydydd右端d(lnx)yd(x)yydxxdyyxyxy2由此得

整理得

4.設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程確立，求dy。dx

解：由參數(shù)求導(dǎo)法

5．設(shè)y(1x2)arctanx，求y。解y2xarctanx(1x2)12xarctanx11x2第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)yln(1x2)的單一增添區(qū)間是.解：2x，當(dāng)x0時(shí)y0.故函數(shù)的單一增添區(qū)間是(,0).1x2y

lnx.2.極限limxx11解：由洛必達(dá)法例3.函數(shù)f(x)1(exex)的極小值點(diǎn)為。2解：f(x)1(exex)，令f(x)0，解得駐點(diǎn)x0，又x0時(shí)，f(x)0；21(exx0時(shí)，f(x)0，所以x0是函數(shù)f(x)ex)的極小值點(diǎn)。2二、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)yx21在區(qū)間[2,2]上是（）A）單一增添B）單一減少C）先單一增添再單一減少D）先單一減少再單一增添解：選擇Dy2x，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；所以在區(qū)間[2,2]上函數(shù)yx21先單一減少再單一增添。2.若函數(shù)yf(x)知足條件（），則在(a,b)內(nèi)起碼存在一點(diǎn)(ab)，使得建立。A）在(a,b)內(nèi)連續(xù)；B）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；C）在(a,b)內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；D）在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。解：選擇D。由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。3.知足方程f(x)0的點(diǎn)是函數(shù)yf(x)的（）。A）極值點(diǎn)B）拐點(diǎn)

C）駐點(diǎn)D）中斷點(diǎn)

解：選擇C。

依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。

4.設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，x0(a,b)，且f(x0)f(x0)0，則函數(shù)在

x0處（）。

A）獲得極大值B）獲得極小值

C）必定有拐點(diǎn)(x0,f(x0))D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn)解：選擇D

函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明x0可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明x0可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。

三、解答題1.計(jì)算題

求函數(shù)yxln(1x)的單一區(qū)間。

解：函數(shù)yxln(1x)的定義區(qū)間為(1,)，因?yàn)?/p>

令y0，解得x0，這樣能夠?qū)⒍x區(qū)間分紅(1,0)和(0,

當(dāng)1x0時(shí)，y0；當(dāng)0x是，y0。

由此得出，函數(shù)yxln(1x)在(1,0)內(nèi)單一遞減，在(0,

)兩個(gè)區(qū)間來(lái)議論。

)內(nèi)單一增添。

應(yīng)用題

欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體張口容器，如何做法所用資料最??？

解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為x，高為h，所用資料為y

且x2h108,h108得2(x3x2令y0216)0x6，且因?yàn)閤6,y0;x6,y0，所以x6,y108為最小值.此時(shí)h3。于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。3．證明題：當(dāng)x1時(shí)，證明不等式證設(shè)函數(shù)f(x)lnx，因?yàn)閒(x)在(0,)上連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)在[1,x]上知足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得

此中1cx，即又因?yàn)閏1，有11c故有l(wèi)nxx1兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)，有elnxex1ex即xe所以當(dāng)x1時(shí)，有不等式建立.第5章學(xué)習(xí)指導(dǎo)（2）典型例題分析

一、填空題

⒈曲線在隨意一點(diǎn)處的切線斜率為2x，且曲線過(guò)點(diǎn)(2,5)，則曲線方程

為。解：xxx2c，即曲線方程為2。將點(diǎn)(2,5)代入得c1，所求曲2dyxc線方程為⒉已知函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx2，則f(x)。解：f(x)(arctanx2)2x1x4⒊已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么f(axb)dx。解：用湊微分法二、單項(xiàng)選擇題xc，則（）。⒈設(shè)fx)dxxlnf(x)(A.lnx1；B.lnx；C.x；D.xlnx解：因應(yīng)選項(xiàng)A正確．⒉設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則等式（）建立。

A.d(f(x)dx)F(x)；B.F(x)dxf(x)c；dxD.d(C.F(x)dxF(x)；f(x)dx)f(x)dx解：正確的等式關(guān)系是應(yīng)選項(xiàng)D正確．⒊設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則xf(1x2)dx（）。A.F(1x2)c；B.F(1x2)c；C.1F(1x2)c；D.F(x)c2解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法例得

應(yīng)選項(xiàng)C正確．

三、計(jì)算題

⒈計(jì)算以下積分：

⑴xdx⑵1x2dx1x2x2解：⑴利用第一換元法⑵利用第二換元法，設(shè)xsint，dxcostdt⒉計(jì)算以下積分：⑴arcsinxdx⑵lnx2dxx

解：⑴利用分部積分法

⑵利用分部積分法

高等數(shù)學(xué)（1）第六章學(xué)習(xí)指導(dǎo)

綜合練習(xí)題

（一）單項(xiàng)選擇題

（1）．以下式子中，正確的選項(xiàng)是（）。

2f(x)dx0.af(x)dxb2bf(x)dx11axdx.13x2dx12dt0x2dx03t00(2).以下式子中，正確的選項(xiàng)是（）

0cosx./costdtx2costdtcosxxx00.cosxcostdtcostdt00(3)以下廣義積分收斂的是（）。

x10edx.dx1x10cosxdx.1x2dx(4)若f(x)是[aa,a]上的連續(xù)偶函數(shù)，則f(x)dx()。a0f(x)dx．0aC．20af(x)dxD．f(x)dxa0若f(x)與g(x)是[a,b]上的兩條圓滑曲線，則由這兩條曲線及直線

xa,xb所圍圖形的面積().bb(f(x)g(x))dxf(x)g(x)dx.aabbg(x))dx(g(x)f(x))dx.(f(x)aa答案：（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。

解：（1）依據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確。

ab而f(x)dxf(x)dxB不正確。ba在（0，1）區(qū)間內(nèi)x2x12dx1xxdxC不正確。00依據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限相關(guān)，而與積分變量的選用沒(méi)關(guān)。故D不正確。

(2)由變上限的定積分的觀點(diǎn)知x

0

costdt

cosx

,

costdt

cosx

∴A、C

不正確。

0

x

由定積分定義知

B不正確。

正確。(3)exdxbexdxlim(ebe0)∴A不正確。0lim0bb1dxb1dxbln1)∴B。不正確。1lim1limlnx1lim(lnbxbxbbb∴C。不正確。0cosxdxlim0cosxdxlim(sinbsin0)不存在。bbD

正確

（4）由課本344頁(yè)（6—4—2）和345頁(yè)（6—4—3）知C。正確。

（5）所圍圖形的面積一直是在上邊的函數(shù)減去在下邊的函數(shù)∴A正確。（二）填空題xcostdt(1)lim0_________x0x

(2)設(shè)F(x)1則F(x)____________.x2etdt,(3)在區(qū)間0,2上，曲線ysinx和x軸所圍圖形的面積為_(kāi)_____________。(4)24x2dx______________0(5)p_________,無(wú)量積分1dx發(fā)散＞＞axp(a0p0)答案：

xcostdt解：（1）lim0xx0（2）F(x)x2etdt,1

limcosx1cos0x01F(x)(x2etdt,)ex2(x2)2xex21

（2）所圍圖形的面積S=2sinxdx2cosx02coscos040（3）由定積分的幾何意義知:定積分的值等于（4）y=所圍圖形的面積∴22124x2045）p≤1時(shí)無(wú)量積散發(fā)散。

（三）計(jì)算以下定積分

4(1）2xdx0

1(2）x(1x)dx0

（3）e1lnxdxx

（4）1212dxxx0（5）2xsin2xdx0答案：42xdx241x2)2(1x22x)44(1）(2x)dx(x2)dx(2x0200222(2）x(1x)dx(231x2)110320

7

6

（3）e1lnxdx(1lnx)d(1lnx)1(1lnx)2ee1x121（4）1x21x2dx0

3

2

解:設(shè)xsint1(0t)dx1costdt12(5)2xsin2xdxxcos2x2022cos2xdxsin2x2440210140原式222tdt2sin22tdt1cos4t1102)sintcos442dt(x02sin4t（四）定0積分應(yīng)用0028416求由曲線yx1,及直線yx,y2所圍平面圖形的面積解：畫草圖求交點(diǎn)由y=x,xy=1得x==1y

2y=2

y=x所求平面圖形面積211y220xy=1A1(y)dy(lny)1y2x第七章綜合練習(xí)題

3ln22

（一）單項(xiàng)選擇題1、若（）建立，則級(jí)數(shù)an發(fā)散，此中Sn表示此級(jí)數(shù)的部分和。n1A、limsn0；B、an單一上漲；nC、liman0D、liman不存在nn2、當(dāng)條件（）建即刻，級(jí)數(shù)(anbn)必定發(fā)散。n1A、an發(fā)散且bn收斂；B、an發(fā)散；n1n1n1C、bn發(fā)散；D、an和bn都發(fā)散。n1n1n13、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，則（）收斂。n1A、anB、an2n1n1C、(anc)2D、(anc)n1n14、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)an、bn知足，anbn(n1,2,)則結(jié)論（），是正確的。n1n1A、an發(fā)散則bn發(fā)散；B、an收斂則bn收斂；n1n1n1n1

C、an發(fā)散則bn收斂；D、an收斂則bn發(fā)散。n1n1n1n15、若f(x)=n0anxn,則an=()。A、(f(0))(n)Bf(n)(x)、Cf(n)(0)D、1n!n!n!n!答案：1、D2、A3、B4、A5、C（二）填空題1、當(dāng)q_________時(shí)，幾何級(jí)數(shù)anqn收斂。n0、級(jí)數(shù)(11)是___________級(jí)數(shù)。2nnn153、若級(jí)數(shù)an收斂，則級(jí)數(shù)an_____________。n0n04、指數(shù)函數(shù)f(x)=ex展成x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_________________。5、若冪級(jí)數(shù)anyn的收斂區(qū)間為（—9，9），則冪級(jí)數(shù)an(x3)2n的收斂區(qū)間為n0n0___________。答案：1、<12、發(fā)散3、收斂4、xn、C(0,6)n0n!（三）計(jì)算題

1、判斷以下級(jí)數(shù)的收斂性

⑴1⑵3nn!⑶(1)nn1n(n1)n1nnn1n1

解：⑴此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)知足n(n1)n2n=2,3,.

因?yàn)?收斂，則由比較鑒別法可知1收斂。n1n2n1n(n1)an13n1(n1)!⑵limlimn1n1lim3(n)nlim33>1annn1nenn3(n)!n1nnn(1)n則由比值鑒別法可知3nn!發(fā)散。1nnn⑶因?yàn)?1)n是交織級(jí)數(shù)，且an=111an1,n1,2,...n1nnn及l(fā)imanlim10，由萊布尼茲鑒別法知級(jí)數(shù)(1)n收斂。nnnn1n2、求以下冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

⑴xn⑵(x1)2nn4nnn1n1解：⑴liman1limn1所以收斂半徑R=1，nannn1⑵令(x1)2y,得冪級(jí)數(shù)ynnn14n可知yn1的收斂半徑為limann1n14nn4，所1lim4n1(n1)lim以原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑nann1n4(n1)4第4nn八章綜合練習(xí)題及參照答案

（一）單項(xiàng)選擇題

1、以下階數(shù)最高的微分方程是（）。

A、；yy(y)3sin(xy)B、xy5yy56yx3；C、y6y4x2D、(y)22yyx02、以下一階微分方程中為可分別變量的微