湖南省桃江縣一中2023屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．11 C．-19 D．512．如圖，拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線與以為圓心，線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定3．已知集合，則等于（）A． B． C． D．4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度5．已知命題，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．7．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．8．已知集合，，若AB，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．10．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的最大值是11．已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．14．已知函數(shù)恰好有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____15．經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn).設(shè)直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為.則的值是________________．16．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線與直線其中的一個交點(diǎn)為，且點(diǎn)極徑.極角（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）已知直線的直角坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點(diǎn)，，且，若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個括號中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項(xiàng)是由每個括號各出一項(xiàng)相乘組合而成的.2、A【解析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，據(jù)，得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5、D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

因?yàn)閷⒑瘮?shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，又和的圖象都關(guān)于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，且AB，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡單題目.10、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項(xiàng)的正誤即可得到結(jié)果．【詳解】解：，正確；，為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題．11、C【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域?yàn)榛?，（且）令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．14、【解析】

恰好有3個不同的零點(diǎn)恰有三個根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解：恰好有3個不同的零點(diǎn)恰有三個根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點(diǎn)，在有2個零點(diǎn)；故答案為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.15、【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得出，利用斜率公式得出，進(jìn)而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、40【解析】

先求出的展開式的通項(xiàng)，再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為：40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑危裕驗(yàn)?，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍的左端點(diǎn)．【詳解】解：（1）解：，當(dāng)時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因?yàn)?，所以，，令，則恒成立，由于，當(dāng)時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當(dāng)時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯，故做題時要認(rèn)真仔細(xì)．19、（1）極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2）【解析】

（1）利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用計(jì)算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數(shù)，)，將代入，解得，即曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（2)由（1），得點(diǎn)的極坐標(biāo)為，由直線過原點(diǎn)且傾斜角為，知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個根，可轉(zhuǎn)化為有3個根，即與有3個不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個零點(diǎn)，即有3個根，顯然0不是其根，所以有3個根，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個不相等實(shí)根，令，計(jì)算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實(shí)根，即：有兩個不相等實(shí)根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因?yàn)樵趩螠p，∴，又，∴即，兩邊取對數(shù)，并整理得：對恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，恒成立問題，意在