數(shù)學與創(chuàng)新思維

數(shù)學與創(chuàng)新思維

引言

全國科技大會指出：“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力?！粋€沒有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林。”“建立創(chuàng)新型國家?！?/p>

教育部的一個報告指出：

“實施素質(zhì)教育重點是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神為主?！?/p>

恩格斯指出：“一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?/p>

創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動是在相應的創(chuàng)造性思維的支配下，所進行的一種積極的能動的活動。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動的核心和靈魂。H·G·格拉斯曼說：“數(shù)學除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理外，它還有另一個訓練全面考查科學系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能?！焙瞻吞卣f：“數(shù)學一般通過直接激發(fā)創(chuàng)造精神和活躍思維的方式來提供最佳服務?！?/p>

因此我認為：數(shù)學教學不但應該傳授數(shù)學知識，還應該培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。

講四個問題一、歸納思維二、類比思維三、發(fā)散思維四、逆（反）向思維我將結合高等數(shù)學和數(shù)學史上一些著名問題來講一、歸納思維歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。著名數(shù)學家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都歸功于歸納方法…牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果?！薄霸跀?shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比。”著名數(shù)學家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的。”

著名數(shù)學家沃利斯說：“我把（不完全的）歸納和類比當作一種很好的考察方法，因為這種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．”

歸納是在通過多種手段（觀察、實驗、分析、計算……）對許多個別事物的經(jīng)驗認識的基礎上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法?；蛘哒f，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。也可以說，歸納是在相似中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由個別中發(fā)現(xiàn)一般。從數(shù)學的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學概念、定理、法則、……的形式，都經(jīng)歷過積累經(jīng)驗的過程，從大量觀察、計算……,然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西，例如：哥德巴赫猜想，費馬猜想，素數(shù)定理等。歸納的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素數(shù)*。10，20，30都是偶數(shù)。是否兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)呢？這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數(shù)，都能分解為兩個奇素數(shù)之和嗎？6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……這樣下去總是對的嗎？即任何一個大于4的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和？大于4的偶數(shù)=奇素數(shù)+奇素數(shù)？(*)（哥德巴赫猜想）60=3+57（57=19×3，不是素數(shù)）60=5+55（55=11×5，不是素數(shù))

？！60=7+53（7和53都是素數(shù)）…….

哥德巴赫猜想。起源，演變哥德巴赫觀察到一些具體例子，然后歸納出：“任何大于2的數(shù)都是三個素數(shù)的和”。（1742.6.7寫信給歐拉，并附上一些他觀察到的例子）歐拉（1742.6.30）回信把它進一步明確化為：“每一偶數(shù)是兩個素數(shù)的和”(**)（并說：“我認為它正確，但給不出證明）1770（英）華林將(**)發(fā)表出來?，F(xiàn)代的標準陳述是（*）這一猜想歷200多年至今仍懸而未決（1966，陳景潤，（1+2））。

這是數(shù)學向人類智慧的挑戰(zhàn)！但對此猜想的證明過程中，極大的推動了解析數(shù)論的發(fā)展（特別是篩法，圓法）二項式系數(shù)(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=…….(u+v)n=12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形111121133114641151010511615201561

宋朝數(shù)學家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數(shù)三角形的構造法，并說賈憲用此術。楊輝三角形在高等數(shù)學中，許多重要結果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數(shù)的n階導數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數(shù)，再歸納出n階導數(shù)的表達式。解從而歸納出解因為因而歸納得到科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數(shù)學家》中說：我在6、7歲時我已經(jīng)感受到數(shù)學歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在《春燕》雜志上。問題：考察表按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當數(shù)學式子表示出來，而且試證明它。問題：下述結論是否成立？二、類比思維著名日本物理學家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W家康德指出：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”類比是根據(jù)兩個（或多個）對象內(nèi)部屬性、關系的某些方面相似，而推出它們在其它方面也可能相似的推理。簡單地說，類比就是由此去發(fā)現(xiàn)彼（或由彼去發(fā)現(xiàn)此）。

類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學家的重視與青睞。例如：

著名天文學、數(shù)學家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師它能揭示自然的奧秘……?！敝麛?shù)學家、教育學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！痹谄矫娼馕鰩缀沃兄本€的截距式是：在平面解析幾何中,兩點的距離是：在空間解析幾何中,兩點的距離是：

在空間解析幾何中平面的截距式是：在平面解析幾何中圓的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2

在空間解析幾何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。②萊布尼茨公式將他們比較可以看出:把①中右端K次冪換成K階導數(shù)(零階導數(shù)理解為函數(shù)本身),把①中u+v換成uv,n次冪換成n階導數(shù)既為②.(拉格朗日17歲)牛頓二項式展開公式①費馬猜想：

X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整數(shù)，n<m;X3+Y3=Z3是否有正整數(shù)解？X4+Y4=Z4是否有正整數(shù)解？Xn+Yn=Zn,n>2是否有正整數(shù)解？

ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z為正整數(shù))=====zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n>2)(Wiles1994)歐拉猜想：下述方程沒有整數(shù)解：沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內(nèi)大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：后來人們又發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的例子：特別應該將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。若將牛頓——萊布尼茨公式視為，它建立了一元函數(shù)f(x)在一個區(qū)間的定積分與其原函數(shù)F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；通過類比，就可將格林公式視為，它建立了二元函數(shù)在一個平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；實踐證明：在學習過程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識。進行類比，不但易于接受、理解、掌握新知識，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費馬猜想）

三、發(fā)散思維所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。數(shù)學王子—高斯

高斯被譽為：“能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星空和深奧數(shù)學的天才”和“數(shù)學王子”。特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對‘代數(shù)基本定理’，先后給出了4種不同的證明；他對數(shù)論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’是數(shù)論中的一塊寶石，數(shù)論的酵母，是黃金定理）。

歐拉勒讓德第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導致數(shù)論的新方向。其后19世紀多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。有人曾問高斯：“你為什么能對數(shù)學作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學真理，他也會作出同樣的發(fā)現(xiàn)?！备咚惯€說：“絕對不能以為獲得一個證明以后，研究便告結束，或把另外的證明當作多余的奢侈品?！薄坝袝r候一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)?！备咚惯@些言行，很值得我們學習和深思。因此，我們在高等數(shù)學教學中，應利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓練發(fā)散思維，下邊我們舉幾個例子：

一題多解：計算解法１：第一類換元積分法一題多解：計算解法２：第一類換元積分法一題多解：計算解法３：第一類換元積分法一題多解：計算解法４：令第一類換元積分法一題多解：計算解法５：令第二類換元積分法一題多解：計算解法６：令第二類換元積分法一題多解：計算解法７：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法８：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法９：歐拉代換法，令一題多解：計算解法10：歐拉代換法，令通過計算這一個題目，不但使用了多種計算不定積分的方法，把不定積分法學活了，更重要的是培養(yǎng)、訓練了發(fā)散式思考問題的思維方法.又如：求極限可以用極限用三角公式變形；用洛必達法則；用無究小量的代換；

用泰勒公式；……等等。又如：證明不等式可以用函數(shù)單調(diào)性；用中值定理；

用泰勒公式；……等等。四、逆向思維

一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊?！@么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。一則小故事:

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點是從已有的思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時，轉(zhuǎn)而探討不可能性。下面舉幾個高等數(shù)學中的例子:若直接解決困難，想法間接解決。例1：試求解法１：用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級數(shù)級數(shù)收斂的必要條件是通項趨向于零，于是解法２:利用夾逼定理例3：將y=xarctanx展成x的冪級數(shù)。

若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導數(shù)，還得討論余項Rn(x)。

若用間接方法，就很簡便。探討可能性發(fā)生困難時，轉(zhuǎn)而探討不可能性。下面我們例舉數(shù)學史上兩個最有名的問題：關于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規(guī)定，第四個是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實也不明顯。

而且只有第5公設涉及到無限,這是人們經(jīng)驗之外的東西.

此公設是“若一直線和兩條直線相交，所構成的兩同旁內(nèi)角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長，它們一定在兩內(nèi)角的一側相交”。

這公設等價于：“在平面上，過直線外一點，只能作一條直線與這條直線平行”。

歐當兩條直線相交于非常遙遠的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數(shù)學家經(jīng)歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯誤，就是用另一條等價的公理代替了第五公設。

達朗貝爾曾把第五公設的證明稱為“幾何原理中的家丑”。

直到19世紀初，數(shù)學家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設不可證。特別是德國的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國的羅巴切夫斯基他們各自總結了前人和自己試證第五公設的失敗教訓。高斯(1799,1813)羅巴切夫斯基

(1826,1829)鮑耶（1832）羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分：不依賴于第五公設得到證明的命題（絕對幾何）。依賴于第五公設才能證明的命題。

“在一個平面上，過直線AB外一點至少可以作一條直線與AB不相交”。1.僅可作一條（第五公設）歐氏幾何；2.可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于證明了第五公設?？墒撬坏珱]有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。他們首先肯定了歐幾里得第五公設是不能用其它公理作出證明，然后用一個與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點至少可引兩條直線與已知直線平行?！绷_從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。高斯稱之為“反歐幾里得幾何”羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何”后他又稱之為“泛幾何”今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。

后來德國數(shù)學家黎曼用一個既與歐幾里德第五公設的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點不可能引一直線與已知直線平行”。黎從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）?，F(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。

黎曼(1854)

20世紀偉大的數(shù)學家希爾伯特指出:

“19世紀最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學上的革命，它不僅使數(shù)學家大開眼界，引起一些重要數(shù)學分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數(shù)學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。(太平洋)

歐幾里得：三角形內(nèi)角和=兩直角,2πr=c，a2+b2=c2

羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和<兩直角,

2πr<c，a2+b2<c2

黎曼：三角形內(nèi)角和>兩直角,2πr>c，a2+b2>c2

后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。1871年克來因關于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問題在16世紀之前，數(shù)學家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次