統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章綜合對(duì)指標(biāo)

第三章綜合指標(biāo)

第一節(jié)總量指標(biāo)第二節(jié)相對(duì)指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)第四節(jié)變異指標(biāo)

第一節(jié)總量指標(biāo)一、總量指標(biāo)的概念與作用（一）總量指標(biāo)的概念總量指標(biāo)又稱絕對(duì)指標(biāo)或數(shù)量指標(biāo)，是反映現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)和條件下所達(dá)到的規(guī)?；蛩降闹笜?biāo)。（二）總量指標(biāo)的作用1、反映現(xiàn)象總體的基本情況，是人們認(rèn)識(shí)現(xiàn)象總體的起點(diǎn)。2、是制定政策、編制計(jì)劃和實(shí)施管理的重要依據(jù)。3、是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。二、總量指標(biāo)的分類1、按反映總體內(nèi)容不同，分為總體單位總量和總體單位總量。2、按反映總體所處時(shí)間狀況不同，分為時(shí)期指標(biāo)（流量）和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)（存量）。三、時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的關(guān)系

（一）時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的區(qū)別1、時(shí)期指標(biāo)的值具有可加性，而時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的值則不具有可加性。2、時(shí)期指標(biāo)值的大小與時(shí)間間隔的長(zhǎng)短有直接關(guān)系，而時(shí)點(diǎn)指標(biāo)值的大小與時(shí)間間隔的長(zhǎng)短則沒(méi)有直接關(guān)系。3、時(shí)期指標(biāo)值是通過(guò)連續(xù)調(diào)查取得的，而時(shí)點(diǎn)指標(biāo)值則是通過(guò)一次性調(diào)查取得的。（二）時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的聯(lián)系1、二者都屬于總量指標(biāo)。2、二者通常是相互影響的。

第二節(jié)相對(duì)指標(biāo)

一、相對(duì)指標(biāo)的意義二、相對(duì)指標(biāo)的表示方法三、相對(duì)指標(biāo)的種類四、計(jì)算和應(yīng)用相對(duì)指標(biāo)的原則一、相對(duì)指標(biāo)的意義

（一）相對(duì)指標(biāo)的概念相對(duì)指標(biāo)又稱相對(duì)數(shù)，是指兩個(gè)有聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)比所得之比值或比率。（二）相對(duì)指標(biāo)的作用1、說(shuō)明現(xiàn)象發(fā)展變化的結(jié)構(gòu)、比例、速度、強(qiáng)度、普遍程度以及相互聯(lián)系。2、深入說(shuō)明總量指標(biāo)不能說(shuō)明的問(wèn)題。二、相對(duì)指標(biāo)的表示方法相對(duì)指標(biāo)一般都用無(wú)名數(shù)表示，有些特殊的相對(duì)數(shù)則用有名數(shù)表示。三、相對(duì)指標(biāo)的種類及其計(jì)算

（一）結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)是指總體各部分?jǐn)?shù)值與總體數(shù)值對(duì)比所得之比率。一般用百分?jǐn)?shù)表示。計(jì)算公式為：（二）比例相對(duì)指標(biāo)比例相對(duì)數(shù)是指總體中各部分的數(shù)值相互對(duì)比所得之比率。（三）比較相對(duì)指標(biāo)

比較相對(duì)數(shù)是指某現(xiàn)象的某一指標(biāo)在同一時(shí)間、不同空間上的數(shù)值對(duì)比所得之比率。（四）動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)是指某現(xiàn)象的某一指標(biāo)在同一空間、不同時(shí)間上的數(shù)值對(duì)比所得之比率。（五）強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)是指兩個(gè)性質(zhì)不同、但又有一定聯(lián)系的總量指標(biāo)的值對(duì)比所得之比值或比率。

強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式

A、正指標(biāo)（取值越大越好的指標(biāo)）。

B、逆指標(biāo)（取值越小越好的指標(biāo)）。強(qiáng)度相對(duì)數(shù)與平均數(shù)的區(qū)別

①?gòu)?qiáng)度相對(duì)數(shù)的分子與分母分別屬于兩個(gè)不同的總體，而平均數(shù)的分子與分母則屬于同一個(gè)總體。

②強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的分子與分母一般可以互換，而平均數(shù)的分子與分母則絕對(duì)不可以互換。課堂作業(yè)指出下列指標(biāo)哪些是平均數(shù)？哪些是強(qiáng)度相對(duì)數(shù)？職工人均工齡、職工人均產(chǎn)值、學(xué)生平均年齡、全國(guó)人均鋼產(chǎn)量、全國(guó)人均水消費(fèi)量、人口出生率（死亡率）（六）計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)1、概念和基本公式計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)，又稱為計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)或計(jì)劃完成百分比，是指某現(xiàn)象的某一指標(biāo)在同一時(shí)間、同一空間上的實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃完成數(shù)對(duì)比所得之比率。2、計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)與計(jì)劃完成情況的對(duì)應(yīng)關(guān)系表表3-1

計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)（%）計(jì)劃完成情況正指標(biāo)逆指標(biāo)大于100小于100等于100超額完成計(jì)劃沒(méi)有完成計(jì)劃沒(méi)有完成計(jì)劃超額完成計(jì)劃剛好完成計(jì)劃3、計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)的計(jì)算

A、計(jì)劃數(shù)為絕對(duì)數(shù)。

例3-1

某工業(yè)企業(yè)總產(chǎn)值資料如下表：表3-1

車間名稱總產(chǎn)值（萬(wàn)元）計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)（%）計(jì)劃數(shù)實(shí)際數(shù)（甲）（1）（2）（3）=（2）/（1）甲乙丙5011014080100140160.0090.91100.00合計(jì)300320106.67要求：計(jì)算各車間和全廠總產(chǎn)值的計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)。B、計(jì)劃數(shù)為相對(duì)數(shù)時(shí)。

a.計(jì)劃數(shù)為比率（比值）時(shí)。例3-2

某單位某產(chǎn)品的一級(jí)品率計(jì)劃規(guī)定為40%，實(shí)際達(dá)到了45%，則其一級(jí)品率的計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)為：

45%÷40%=112.50%例3-3某單位的職工人均產(chǎn)值計(jì)劃規(guī)定為50000元，實(shí)際達(dá)到了55000元，則其人均產(chǎn)值的計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)為：

55000÷50000=110%

b.計(jì)劃數(shù)為差率時(shí)。

例3-4某單位的勞動(dòng)生產(chǎn)率計(jì)劃比去年提高5%，實(shí)際提高了8%，則其計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)為：

（1+8%）÷（1+5%）=102.86%

例3-5某單位某產(chǎn)品的單位成本計(jì)劃規(guī)定比去年降低10%，實(shí)際只降低8%，則其計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)為：

（1-8%）÷（1-10%）=102.22%C、計(jì)劃數(shù)為平均數(shù)。例3-16

某單位2003年職工的平均工資計(jì)劃為15000元，實(shí)際達(dá)到了16600元，則其計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)為：

16600÷15000=110.67%4、長(zhǎng)期計(jì)劃執(zhí)行情況的檢查

（1）長(zhǎng)期計(jì)劃的含義

長(zhǎng)期計(jì)劃是指計(jì)劃期限大于等于五年的計(jì)劃。中期計(jì)劃是指計(jì)劃期限大于一年小于五年的計(jì)劃。短期計(jì)劃是指計(jì)劃期限小于等于一年的計(jì)劃。（2）長(zhǎng)期計(jì)劃的基本形式

A、水平計(jì)劃——指只規(guī)定計(jì)劃期最后一年應(yīng)完成的任務(wù)的計(jì)劃。此法適用于在計(jì)劃期內(nèi)逐年遞增或逐年遞減的現(xiàn)象。

B、累計(jì)計(jì)劃——指只規(guī)定計(jì)劃期內(nèi)一共應(yīng)完成的任務(wù)的計(jì)劃。此法適用于在計(jì)劃期內(nèi)有升有降、且升降不定的現(xiàn)象。（3）檢查內(nèi)容及方法

A、長(zhǎng)期計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度的檢查。

例3-7某地“九五”計(jì)劃規(guī)定，整個(gè)“九五”期間應(yīng)完成基本建設(shè)投資500億元，到1998年底累計(jì)已完成450億元，則：

時(shí)間過(guò)去百分比=3÷5=60%任務(wù)完成百分比=450÷500=90%因?yàn)?0%大于60%，所以該地提前完成了“九五”基本建設(shè)投資的進(jìn)度計(jì)劃。B、長(zhǎng)期計(jì)劃執(zhí)行結(jié)果的檢查

（A）水平法例3-8我國(guó)“九五”計(jì)劃規(guī)定，到“九五”計(jì)劃最后一年，某礦物質(zhì)的年產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到7200萬(wàn)噸，實(shí)際執(zhí)行結(jié)果如下表：

表3-3時(shí)間第四年第五年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度產(chǎn)量（萬(wàn)噸）17001720173017501800184018501920要求：計(jì)算我國(guó)該礦物質(zhì)“九五”計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)，并計(jì)算提前完成“九五”計(jì)劃的時(shí)間。（B）累計(jì)法例3-9某重點(diǎn)企業(yè)“九五”計(jì)劃規(guī)定應(yīng)完成基建投資1500萬(wàn)元，各年實(shí)際完成情況如下表：

表3-4

要求：計(jì)算該企業(yè)基建投資“九五”計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)，并計(jì)算提前完成“九五”計(jì)劃的時(shí)間。時(shí)間19961997199819992000上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度基建投資（萬(wàn)元）300260110200609015012050100160140

解答：四、相對(duì)指標(biāo)的應(yīng)用原則

1、正確選擇對(duì)比的基數(shù)。2、保持分子與分母的可比性。3、多種相對(duì)指標(biāo)綜合運(yùn)用。4、與總量指標(biāo)結(jié)合應(yīng)用。

5、與定性分析結(jié)合運(yùn)用。第三節(jié)平均指標(biāo)

一、平均指標(biāo)的意義二、算術(shù)平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)四、幾何平均數(shù)五、眾數(shù)六、中位數(shù)一、平均指標(biāo)的意義

（一）平均指標(biāo)的概念

平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，是指某一數(shù)量標(biāo)志在總體各單位上所達(dá)到的一般水平。（二）平均指標(biāo)的特點(diǎn)將具體數(shù)值抽象化，用一個(gè)代表性的數(shù)字來(lái)代表總體的一般水平。（三）平均指標(biāo)的作用

1、反映總體分布的集中趨勢(shì)。2、比較同類現(xiàn)象在同一時(shí)間、不同空間上的水平。3、比較同類現(xiàn)象在同一空間、不同時(shí)間上的水平。二、平均指標(biāo)的種類

算術(shù)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)一般平均數(shù)（數(shù)值平均數(shù)）幾何平均數(shù)（靜態(tài)平均數(shù)）眾數(shù)位置平均數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

平均發(fā)展水平動(dòng)態(tài)平均數(shù)平均增長(zhǎng)水平（序時(shí)平均數(shù)）平均發(fā)展速度平均增長(zhǎng)速度圖3-1三、算術(shù)平均數(shù)

（一）概念和基本公式

算術(shù)平均數(shù)是指總體標(biāo)志總量與總體單位總量對(duì)比所得之比值。一般用符號(hào)表示。其基本公式為：

（二）計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

（1）適用對(duì)象。簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的平均數(shù)。根據(jù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。（2）計(jì)算公式

例3-10

某班組20名工人的周工資分別為：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，則其平均工資為：2、加權(quán)算術(shù)平均法

（1）適用對(duì)象。加權(quán)算術(shù)平均法適用于對(duì)已分組的資料求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式。

①已知變量值X和頻數(shù)f時(shí)。例3-11某班組20名工人按周工資分組資料如下表：

表3-5按周工資分組（元）X工人人數(shù)（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980②已知變量值X和頻率時(shí)。例3-12

某班組若干名工人按周工資分組的資料如下表：

表3-6按周工資分組（元）

X各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）f/∑f

X﹡f/∑f15018020022024026028010152030155515274066361314∑100211課堂作業(yè)

某班學(xué)生按統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)分組資料如下表：

要求：計(jì)算該班學(xué)生的平均成績(jī)。按成績(jī)分組（分）人數(shù)（人）60以下60—7070—8080—9090以上4122572∑50課堂作業(yè)

某班學(xué)生按統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)分組資料如下表：

要求：計(jì)算該班學(xué)生的平均成績(jī)。按成績(jī)分（分）各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）60以下60—7070—8080—9090以上82450144∑100（三）關(guān)于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明1、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受變量值和權(quán)數(shù)兩個(gè)因素的影響。2、權(quán)數(shù)從形式上講可以是頻數(shù)f，也可以是頻率f/∑f。3、對(duì)同一原始資料而言，用頻數(shù)f與用頻率f/∑f求出的平均數(shù)始終是相等的。4、權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用，即哪一個(gè)組的權(quán)數(shù)最大，計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)就與該組的變量值最接近。

5、各組頻率沒(méi)變，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)始終都不變；各組頻率發(fā)生變化，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)也發(fā)生變化。6、當(dāng)各組權(quán)數(shù)（頻數(shù)或頻率）相等時(shí)，權(quán)數(shù)就失去了其應(yīng)有的作用，此時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就變成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，所以說(shuō)簡(jiǎn)單平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)在權(quán)數(shù)相等時(shí)的一個(gè)特例。7、根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算平均數(shù)時(shí)，有一個(gè)假定條件，即假定各組變量值的平均數(shù)都等于其組中值。但是，由于各組變量值的平均數(shù)不一定都等于其組中值，因此，根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)只是原來(lái)平均數(shù)的一個(gè)近似值。

（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的和等于0。即：

2、各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的和為最小。即：｛｛性質(zhì)1證明

證明：性質(zhì)2證明證明：性質(zhì)2證明證明：三、調(diào)和平均數(shù)

（一）概念和基本公式

調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是指各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。一般用符號(hào)表示。其基本公式為：（二）計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均法。

（1）適用對(duì)象。簡(jiǎn)單調(diào)和平均法適用于對(duì)未分組資料求平均數(shù)。根據(jù)簡(jiǎn)單調(diào)和平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式。課堂作業(yè)

例3-13某種蔬菜在某個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)早、中、晚的價(jià)格分別為（元/斤）：2.00、1.80、1.50，則：A、某人早、中、晚各買1斤時(shí)的平均價(jià)格是多少？B、某人早、中、晚各買1元時(shí)的平均價(jià)格是多少？2、加權(quán)調(diào)和平均法。

（1）適用對(duì)象。加權(quán)調(diào)和平均法適用于對(duì)已分組資料求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)調(diào)和平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

實(shí)際工作中，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是作為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的“變形”應(yīng)用的。

（2）計(jì)算公式（3）應(yīng)用。

例3-14

某班若干名學(xué)生按年齡分組的資料如下表：

表3-7按年齡分（歲）X總年齡（歲）MM/X1819202122361905202104421026102∑100050

例3-15某公司所屬甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)率和利潤(rùn)額資料如下表。要求計(jì)算甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)的平均利潤(rùn)率。

表3-8企業(yè)名稱利潤(rùn)率（%）X利潤(rùn)額（萬(wàn)元）MM/X甲乙丙151816753961045002200650∑—5753350

例3-16某單位2003年新、老職工的有關(guān)工資資料如下表。要求計(jì)算該單位新、老職工的平均工資。

表3-9職工類別平均工資（元）

X工資總額（元）MM/X新職工老職工1300017000455000011050000350650∑—156000001000四、幾何平均數(shù)

（一）幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)是指N個(gè)比率連乘積的N次方根。一般用符號(hào)表示。

（二）幾何平均數(shù)的計(jì)算方法

1、簡(jiǎn)單幾何平均法。

（1）適用對(duì)象。

簡(jiǎn)單幾何平均法適用于對(duì)未分組的N個(gè)比率求平均數(shù)。根據(jù)簡(jiǎn)單平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式

例3-17某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)五道工序，已知各工序的合格率分別為98%、95%、98%、97%和95%，要求計(jì)算五道工序的平均合格率。2、加權(quán)幾何平均法。

（1）適用對(duì)象。

加權(quán)幾何平均法適用于對(duì)已分組的N個(gè)比率求平均數(shù)。根據(jù)加權(quán)幾何平均法計(jì)算出來(lái)的平均數(shù)稱為加權(quán)幾何平均數(shù)。

（2）計(jì)算公式

課堂作業(yè)某人在銀行存款若干，存期10年，第一年至第二年的年利率為3%，第三年至第五年的年利率為5%，第六年至第九年的年利率為6%，第十年的年利率為8%。問(wèn)：十年間平均年利率是多少？五、眾數(shù)

（一）眾數(shù)的概念

眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。一般用符號(hào)表示。（二）眾數(shù)的前提條件1、變量值必須分組。2、變量值要有明顯的集中趨勢(shì)。（三）眾數(shù)的確定方法

1、由單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)。

眾數(shù)=頻數(shù)（頻率）最多組的變量值單眾數(shù)——只有一個(gè)組的頻數(shù)（頻率）為最多。復(fù)眾數(shù)——有兩個(gè)組的頻數(shù)（頻率）一樣為最多。例3-18某班50名學(xué)生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。（20歲）表3-10按年齡分（歲）人數(shù)（人）1819

202122201—02703—09

2810—3714—411202—13101∑50例3-19某班50名學(xué)生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。表3-11按年齡分（歲）人數(shù)（人）1819

20212227

20

201∑502、由組距數(shù)列確定眾數(shù)。步驟：

①確定眾數(shù)組。

眾數(shù)組=頻數(shù)（頻率）最多的組②按下列公式求眾數(shù)的近似值。（下限公式）

（上限公式）例3-20某班50名學(xué)生期末統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

表3-12按成績(jī)分組（分）X人數(shù)（人）f60以下5560—7065

70—807580—908590以上95401—041205—16

2517—4172∑—50要求：計(jì)算該班學(xué)生考試成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)。

解答：六、中位數(shù)

（一）中位數(shù)的概念

中位數(shù)又稱為分割值，是指將變量值按大小順序排列以后，位于數(shù)列中間位置的變量值。一般用符號(hào)表示。

（二）中位數(shù)的前提條件變量值必須按大小順序排列。（三）中位數(shù)的確定方法1、由未分組資料確定。

（1）N為奇數(shù)時(shí)。（2）N為偶數(shù)時(shí)。

例3-21某黨小組11名學(xué)生的年齡分別是21、22、18、23、22、19、19、19、20、21和21歲。試求其年齡的中位數(shù)。（21歲）18、19、19、19、20、21、21、21、22、22、23

例3-22某黨小組10名學(xué)生的黨課成績(jī)分別為95、85、88、90、92、95、91、92、90和96分。試求其黨課成績(jī)的中位數(shù)（91.5分）

85、88、90、90、91、92、92、95、95、96

2、由已分組資料確定。

（1）由單項(xiàng)數(shù)列確定。例3-23資料見表3-10。要求確定該班學(xué)生年齡的中位數(shù)。（20歲）2、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。步驟：①確定中位數(shù)組。

中位數(shù)組=（1+∑f)/2位置的變量值所在的組②由下列公式求中位數(shù)的近似值。七、各種平均數(shù)之間的關(guān)系

（一）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系根據(jù)同一資料計(jì)算出來(lái)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間存在以下關(guān)系：

（二）正態(tài)分布時(shí)算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系1、對(duì)稱分布時(shí)（圖3-4）。2、右偏（正偏）分布（圖3-5）時(shí)。3、左偏（負(fù)偏）分布（圖3-6）時(shí)。算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系對(duì)稱分布圖3-2

均值=

中位數(shù)=

眾數(shù)右偏（正偏）分布圖3-3眾數(shù)

＜中位數(shù)

＜均值左偏（負(fù)偏）分布圖3-4均值

＜中位數(shù)

＜眾數(shù)按成績(jī)（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上11126111∑50按成績(jī)（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上1526144∑50按成績(jī)（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上4142651∑50例3-24計(jì)算1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，并比較其大小。

第四節(jié)變異指標(biāo)

一、標(biāo)志變異指標(biāo)的意義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類三、方差的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)四、計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)的原則一、標(biāo)志變異指標(biāo)的意義

（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，是反映某一數(shù)量標(biāo)志在總體各單位上差異程度的一種統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的意義1、反映總體分布的離中趨勢(shì)。2、說(shuō)明平均數(shù)代表性的大小。3、反映生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)過(guò)程的均勻性、均衡性和產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性。二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類

1、全距。

（1）全距的概念。

全距又稱極差，是指變量值中最大變量值與最小變量值之差。全距一般用符號(hào)R表示。（2）全距的計(jì)算公式。2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。一般用符號(hào)D表示。（2）平均差的計(jì)算方法

①簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

A、適用條件。

簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于對(duì)未分組資料求平均差。

B、計(jì)算公式。例3-25求1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)的平均差。②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用條件。加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的平均差。

B、計(jì)算公式。例3-26某班組20名工人按周工資分組資料如下表：按周工資分組（元）X工人人數(shù)（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980求工人周工資的平均差。3、標(biāo)準(zhǔn)差。

（1）標(biāo)準(zhǔn)差的概念。標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，是指各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。一般用符號(hào)表示。（標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差，用表示。）（2）標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。

①簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。

A、適用對(duì)象。簡(jiǎn)單算術(shù)平均法適用于求未分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差B、計(jì)算公式。例3-27

求1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。②加權(quán)算術(shù)平均法。

A、適用對(duì)象。

加權(quán)算術(shù)平均法適用于求已分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差。

B、計(jì)算公式。

例3-28資料見表3-1。求該班組工人周工資的標(biāo)準(zhǔn)差。4、離散系數(shù)。