概率論與數(shù)理統(tǒng)計 52 中心極限定理

5.2中心極限定理1、獨立同分布中心極限定理2、棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理引言

在實際問題中，許多隨機(jī)變量，是由大量相互獨立的隨機(jī)因素綜合影響形成的。而每一個因素在總的影響中的作用是微小的。這種隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布。以一門大炮的射程為例，影響大炮的射程的隨機(jī)因素包括炮身結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的誤差、炮彈內(nèi)炸藥質(zhì)量導(dǎo)致的誤差、瞄準(zhǔn)時的誤差、受風(fēng)向\風(fēng)速的干擾而形成的誤差。其中每一種誤差是微小的，是獨立的。人們關(guān)心的是總誤差的影響。實踐指出大炮的射程的總誤差服從或近似服從正態(tài)分布。這就是中心極限定理的實際背景。即設(shè)隨機(jī)變量X1,X2

,

…

,Xn,…相互獨立,同分布,一、定理5.4(獨立同分布中心極限定理):注不論Xi(i

=1,2,…)服從什么分布,當(dāng)n很大時,其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù),這個結(jié)論在數(shù)理統(tǒng)計中十分有用.值是100g,標(biāo)準(zhǔn)差是10g,求一盒螺絲釘質(zhì)例1、

有一盒同型號的螺絲釘,共100個,已知該型號螺絲釘?shù)馁|(zhì)量是一個隨機(jī)變量,期望量超過10.2kg的概率.由中心極限定理有例2、(01年)一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977？(Φ(2)=0.977,Φ(X)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)。最多可裝98箱。則對于任意x∈R,有二、定理5.5(棣莫佛—拉普拉斯定理):設(shè)隨機(jī)變量Xn～B(n,p)(n=1,2,…),證將Xn看作n個相互獨立的服從0—1分布的隨機(jī)變量Y1

,Y2

,…,Yn之和,即又因E(Yk)=p,D(Yk)=p(1-p)(k=1,2,…),由獨立同分布中心極限定理知注定理5.5是定理5.4的特殊情況.三、推論5.1:設(shè)隨機(jī)變量X

～B(n,p),則當(dāng)n很大時,近似地有X

～N(np,np(1

-p)),從而有如下近似公式:注

(1)對于隨機(jī)變量X

～B(n,p),在實際應(yīng)用中(2)中心極限定理和切比雪夫不等式均是用來求個問題，用這兩種方法求得的數(shù)值可能不同.解某一事件概率的近似方法,當(dāng)然對于同一例7.2已知男孩出生率為51.5%，現(xiàn)問10000個初生嬰兒中男孩數(shù)在5100與5300之間的概率.解設(shè)X

表示10000個初生嬰兒中男孩數(shù).由題意知X～B(10000,0.515),由中心極限定理知E(X)=5150