小學(xué)數(shù)學(xué)-速算和巧算

...wd......wd......wd...速算與巧算數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，都有一定數(shù)量的計(jì)算題。計(jì)算題一般可以分為兩類：一類是根基題，主要考察對(duì)根基知識(shí)理解和掌握的程度；另一類那么是綜合性較強(qiáng)和靈活性較大的題目，主要考察靈活、綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，一般分值在10分到20分之間。這就要求有扎實(shí)的根基知識(shí)和熟練的技巧。1.速算與巧算主要是運(yùn)用定律：加法的交換律、結(jié)合律，減法的性質(zhì)，乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律，除法的性質(zhì)等。2.除法運(yùn)算規(guī)律：(1)A÷B＝1÷(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b3.拆項(xiàng)法：(1)(2)(3)(4)(5)(6)將分拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位和的方法：先找出A的兩個(gè)約數(shù)a1和a2，然后分子、分母分別乘以(a1＋a2)，再拆分，最后進(jìn)展約分。＝＝＝4.等差數(shù)列求和：(首項(xiàng)＋末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2＝和5.約分法簡(jiǎn)算：將寫成分?jǐn)?shù)形式的算式中的分子局部與分母局部同時(shí)除以它們的公有因數(shù)或公有因式。典例巧解例12007÷2007＝。點(diǎn)撥一被除數(shù)是2007，除數(shù)是一個(gè)帶分式，整數(shù)局部和分?jǐn)?shù)局部的分子都是2007，我們可以把2007化為假分?jǐn)?shù)，再把分子用兩個(gè)數(shù)相乘的形式表示，便于約分和計(jì)算。解2007÷2007＝2007÷＝2007÷＝2007×＝點(diǎn)撥二根據(jù)題目特點(diǎn)，如果利用“A÷B＝1÷〞，此題就可以防止先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后，再相除的一般做法，而采用同數(shù)相除商為1的巧方法。解原式＝1÷，＝1÷1＝說明此題“巧〞在倒數(shù)概念的運(yùn)用。例2(第五屆“希望杯〞邀請(qǐng)賽試題)＝。點(diǎn)撥此題分子可化簡(jiǎn)去括號(hào)變成因數(shù)乘積的形式，再約分化簡(jiǎn)，分母可通過湊整變形化簡(jiǎn)，問題易解。解＝＝例3計(jì)算：。點(diǎn)撥初看題目，分子、分母都是一組有一定規(guī)律的數(shù)列，可以先分別求出和，再求它們的商，但事實(shí)上，求出和的結(jié)果是不易做到的。再仔細(xì)觀察分子、分母，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在一定的規(guī)律：3÷1＝×＝2，5÷2＝×＝2，7÷3＝×＝2，…，55÷27＝×＝2，57÷28＝2。這說明分母的總和正好是分子總和的2倍，問題易解。解＝＝說明在計(jì)算55÷27時(shí)，如果不用常規(guī)的方法，先將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)，而是利用題目中的數(shù)據(jù)，再經(jīng)過轉(zhuǎn)化，逆向運(yùn)用乘法分配律，就更簡(jiǎn)便。如：被除數(shù)＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×28＝2×(27×29＋28)，除數(shù)＝27×29＋28，仍然可以看出被除數(shù)正好是除數(shù)的2倍。例4計(jì)算：。點(diǎn)撥觀察題目可知，要求計(jì)算的繁分?jǐn)?shù)的分子與分母都是較為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)數(shù)列，所以不妨分別計(jì)算繁分?jǐn)?shù)的分子和分母，然后再計(jì)算最后結(jié)果。觀察繁分?jǐn)?shù)的分子，雖然是一列分母從1開場(chǎng)的分?jǐn)?shù)單位的數(shù)列，但分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)單位都是減數(shù)，所以，得運(yùn)用一加一減的技巧來滿足等差數(shù)列求和的條件。解分子＝＝＝分母＝＝×()原式＝＝2例5計(jì)算：。點(diǎn)撥因?yàn)椋剑?，＝＝…所以此題可以將每一項(xiàng)做適當(dāng)變形后，用前面的方法使計(jì)算簡(jiǎn)便。解＝＝2×()＝2×()＝2×(1－)＝1例6計(jì)算：＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋。點(diǎn)撥審題知＋＋＝2，＋＋＋＋＝3，…，＋＋…＋＋＋＝1989，即題的前半局部可變形為2＋3＋4＋…＋1989，應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求出。題的后半局部是同分母加法，而且分子是一個(gè)等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列求和公式，可求出分子相加的結(jié)果。解原式＝2＋3＋4＋…＋1989＋＝(2＋1989)×1988÷2＋1991÷2＝1979054＋995.5＝1980049.5例7計(jì)算：。點(diǎn)撥可利用拆項(xiàng)和乘法分配律分別將兩個(gè)加數(shù)變形。解第一個(gè)加數(shù)可變形為＝再應(yīng)用乘法分配律把此式變形為＝＝1；第二個(gè)加數(shù)變形為＝分子、分母都分別含有一樣的數(shù)，變形為＝。原式＝1＋＝1。例8計(jì)算：。點(diǎn)撥可先通過試驗(yàn)的方法找出規(guī)律。，，…解＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝＋－＝例9計(jì)算：(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)。點(diǎn)撥可以把1＋＋＋看成一個(gè)整體，暫時(shí)用字母A來表示這個(gè)整體，把＋＋也看成一個(gè)整體，用字母B來表示。那么A－B＝1。解令A(yù)＝1＋＋＋，B＝＋＋，那么A－B＝1。(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)＝A×(B＋)－(A＋)×B＝A×B＋A－A×B－×B＝(A－B)＝例10計(jì)算：。點(diǎn)撥根據(jù)＝×[－]，把所有的分?jǐn)?shù)都拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，中間的分?jǐn)?shù)就可以全部消去，原題可解。解＝×()＋×()＋×()＋…＋×()＝×()＝×()＝×()＝×＝例11計(jì)算：。點(diǎn)撥根據(jù)每個(gè)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，將所有的分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，化簡(jiǎn)計(jì)算即可。解＝()×＋()×＋…＋()×＝×(＋＋…＋)＝×(－)＝×(－)＝×(－)＝×＝例12計(jì)算：1＋＋＋＋…＋。點(diǎn)撥可將原式設(shè)為S，那么計(jì)算起來簡(jiǎn)便。解設(shè)S＝1＋＋＋＋…＋那么S＝＋＋＋＋…＋S－S＝(1＋＋＋＋…＋)－(＋＋＋＋…＋)，S＝1＋－＋－＋…＋－－S＝1－S＝(1－)×2＝2－＝2－＝1∴1＋＋＋＋…＋＝1例13計(jì)算：1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10。點(diǎn)撥一認(rèn)真觀察可以發(fā)現(xiàn)：1－1＝，1－1＝，1－1＝，…，10－9＝，由此可以看出，公差＝，項(xiàng)數(shù)n＝(an－a1)÷d＋1，所以n＝(10－1)÷＋1＝37，那么前37項(xiàng)的和，我們就可以根據(jù)公式：S＝求出和。解法一觀察發(fā)現(xiàn)，各個(gè)加數(shù)能組成公差＝的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)n＝(10－1)÷＋1＝37，S＝＝＝203。點(diǎn)撥二如果此題我們從另一個(gè)角度觀察，把它們每4個(gè)數(shù)分為一組，那么有(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(9＋9＋9＋9)＋10。觀察每組對(duì)應(yīng)項(xiàng)的特點(diǎn)，我們很容易計(jì)算出結(jié)果。解法二1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋…＋10＝(1＋1＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋10＝(1＋2＋3＋…＋9)×4＋(＋＋)×9＋10＝×4＋×9＋10＝180＋13＋10＝203例148.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整數(shù)局部是多少點(diǎn)撥此題并未要求這個(gè)式子的準(zhǔn)確值，只要求其整數(shù)局部，所以只要大體估出這個(gè)式子的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間就行了。如果n是整數(shù)而能得出n≤a＜n＋1，那么就能肯定a的整數(shù)局部是n。觀察這一組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)與8×1.25＝10很接近，所以應(yīng)從此著手進(jìn)展分析。再仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子中每?jī)蓚€(gè)相乘的數(shù)都有規(guī)律：8.01，8.02，8.03，都逐個(gè)增加0.01，而1.24，1.23，1.22，都逐個(gè)減少0.01，于是可知8＋1.25＝8.01＋1.24＝8.02＋1.23＝8.03＋1.22，即相乘兩數(shù)的和相等。兩數(shù)相加，當(dāng)其中一個(gè)加數(shù)增大，另一個(gè)加數(shù)減小，但其和始終保持固定時(shí)，它們二者的積會(huì)怎么變化呢如果另取2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，即2×8＜3×7＜4×6＜5×5，就是當(dāng)兩個(gè)數(shù)和固定而兩數(shù)相差越大時(shí)，這兩數(shù)的積越小。這是否是一般規(guī)律呢設(shè)a1＋b1＝a2＋b2＝k，而a1＞a2＞b2＞b1，這時(shí)a1與b1相差就比a2與b2的差大(a1－b1＞a2－b1＞a2－b2)。此時(shí)a2b2－a1b1＝a2(k－a2)－a1(k－a1)＝a2k－a22－a1k＋a12；＝a12－a22－(a1k－a2k)＝(a1＋a2)(a1－a2)－k(a1－a2)＝(a1－a2)(a1＋a2－k)由于a1＞a2，而且a1＋a2＞a1＋b1＝k，所以a2b2＞a1b1。也就是說：當(dāng)兩數(shù)的和一定時(shí)，兩數(shù)相差越大，它們的積就越小。解∵8－1.25＜8.01－1.24＜8.02－1.23＜8.03－1.22，于是8×1.25＞8.01×1.24＞8.02×1.23＞8.03×1.22。而8×1.25＝10，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＜10×3＝30。但8.03×1.22＞8×1.22＝9.76，∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＞9.76×3＝29.28。答：所求整數(shù)局部為29。這就是說該和數(shù)在29.28到30之間，于是其整數(shù)局部為29。解題技巧速算與巧算，主要應(yīng)用各種定律和運(yùn)算性質(zhì)，利用數(shù)和數(shù)之間的特殊關(guān)系，合理靈活地進(jìn)展組合與分解、湊整，進(jìn)展簡(jiǎn)潔、快速地運(yùn)算。對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四那么運(yùn)算法那么外，還應(yīng)掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問題。競(jìng)賽能級(jí)訓(xùn)練A級(jí)1.計(jì)算：＋＋＋＋。答案；10/2312.計(jì)算：。100/513.計(jì)算：。3200/96034.計(jì)算：325.24＋425.24＋625.24＋925.24＋525.24。2826.25.計(jì)算：＋(＋)＋(＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)。285B級(jí)1.如果把0.000000000025簡(jiǎn)記為。下面有兩個(gè)數(shù)：a＝，b＝，試求：a＋b，a－b，a×b，a÷b。2.計(jì)算：(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×…×(1＋)×(1－)。3.計(jì)算：。4.計(jì)算：÷。能力測(cè)試一、選擇題(每題8分，共16分)1.＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝()。A.B.C.2D.2.計(jì)算：1－－－－－＝()A.B.C.D.二、簡(jiǎn)算以下各式(第1題6分，第2題15分，第3題8分，第4題15分)1.(1)4.74＋(1.26－0.77)＝；(2)9.9×9.9＋0.99＝。2.(1)(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝；(2)(0.12＋0.22＋0.32＋0.42)2＝；(3)×＝。3.＝。4.不計(jì)算，在□中填入“＞〞、“＜〞或“＝〞。(1)0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10÷100×1000÷