圓周角第一課時

圓周角

一.復習引入:1.圓心角的定義?.OBC在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應的其余兩個量都分別相等。答:頂點在圓心的角叫圓心角2.上節(jié)課我們學習了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？oABC考考你：你能仿照圓心角的定義，給下圖中象∠ACB這樣的角下個定義嗎？頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

√辨別是非如圖所示的角，哪些是圓周角√判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？

oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖7圖8圖9

如圖：當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC,∠ADC,∠AEC.這三個角有何特點?它們的大小有什么關系?.BACBACBACBACBAC●OBACBACDEDE探究如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖,人們可以通過其中的圓弧形玻璃AB觀看窗內(nèi)的海洋動物,同學甲站在圓心的O位置，同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什么關系？如果同學丙、丁分別站在他靠墻的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB

）和同學乙的視角相同嗎？探究類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓心角相等.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角有什么關系？

為了解決這個問題,我們先探究同弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系.你會畫同弧所對的圓周角和圓心角嗎?圓周角和圓心角的關系在⊙O任取一個圓周角∠BCA，將圓對折，使折痕經(jīng)過圓心O和∠BCA的頂點C。由于點C的位置的取法可能不同，這時有三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，如圖（1）（2）折痕在圓周角的內(nèi)部，如圖（2）

（3）折痕在圓周角的外部．如圖（3）

如圖,觀察圓周角∠ABC與圓心角∠AOC,它們的大小有什么關系?說說你的想法,并與同學交流.●OABC●OABC●OABC圓周角和圓心角的關系1.首先考慮一種特殊情況：當圓心(O)在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你能得到什么結(jié)論？

2.考慮第二種情況當圓心(O)在圓周角(∠ABC)的內(nèi)部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系會怎樣?

能否轉(zhuǎn)化為1的情況?過點B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你又能得到什么結(jié)論？ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,圓周角和圓心角的關系圓周角和圓心角的關系3.考慮第二種情況當圓心(O)在圓周角(∠ABC)的外部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系會怎樣?能否也轉(zhuǎn)化為1的情況?過點B作直徑BD.由1可得:●OD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC∴∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你又能得到什么結(jié)論？綜上所述,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系是：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.結(jié)論：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．相等的圓周角所對的弧也相等。圓周角定理思考如圖，線段AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上任意一點（除點A、B），那么，∠ACB就是直徑AB所對的圓周角，想想看，∠ACB會是怎樣的角？OCBA90°的圓周角所對的弦是什么?

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑．推論試找出下圖中所有相等的圓周角。

練習

1、在圓中，一條弧所對的圓心角和圓周角分別為（2x+100）°和（5x—30）°，求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數(shù)。

2、如圖，∠A是圓O的圓周角，∠A=40°，求∠OBC的度數(shù)。

87654321EHFG如果∠A=44°,則∠BOC=____.如果∠BOC=44°,則∠A=____.如果∠A=35°,則∠BDC=____.OABCDLIAN練習xi如圖，點E、F、G、H在圓上，你會找出幾對相等的圓周角？例.如圖OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ABC=∠BAC．CBOA例題講解例.已知：△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．解：有題意知：∠A、∠B、∠C是圓周角，∠AOB是圓心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∴∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.BACO例題講解例.如圖⊙o的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙o與D,求BC,AD,BD的長.ACBDO思考與鞏固1.如圖,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC3、在圓中，一條弧所對的圓心角和

圓周角分別為（2x+100）°和

(5x—30)°，求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數(shù)。

4、如圖，∠A是圓O的圓周角,∠A=40°，求∠OBC的度數(shù)。

OCBA

在⊙o中,圓心角∠AOB=56°,則弦AB所對的圓周角等于多少?即:在同圓或等圓中,同弦或等弦所對的圓周角相等或互補

在⊙o中,圓心角∠AOB=56°,則弧AB所對的圓周角等于多少?2.如圖，你能設法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB