第1節(jié)第二課時成比例線段

圖形的相似本章內(nèi)容第3章

比例線段本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1子目內(nèi)容3.1.2成比例線段我們知道線段既有形狀又有大小，這節(jié)課我們主要研究線段之間的數(shù)量關系，并由數(shù)量關系帶給我們對圖形形狀的思考！動腦筋引入做一做如圖3-1，在方格紙上（設小方格邊長為單位1）有△ABC和△A′B′C′，它們的頂點都在格點上.試求出線段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長度，并計算AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′的長度的比值.說一說問題1：(1)請問圖3-1中，AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′三對線段的長度的比值有什么關系？

(2)再觀察圖3-1中的△ABC

和△A′B′C′，說一說它們的形狀有什么關系？定義1：一般地，如果選用同一長度單位量得兩條線段AB，A′B′的長度分別為ｍ，ｎ，那么把它們的長度的比叫作這兩條線段AB與A′B′的比（ｒａｔｉｏ），記作或AB∶A′B′＝m∶n

；如果的比值為ｋ，那么上述式子也可寫成或AB

＝ｋ·A′B′.結論動腦筋問題2：圖3-1中的△ABC

和△A′B′C′中AB、BC、A′B′

、B′C′這四條線段有什么樣的數(shù)量關系

？△ABC

和△A′B′C′中還有其它的四條線段也具有同樣的數(shù)量關系嗎？結論定義2：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡稱為比例線段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ）.舉例例3(1)已知線段a，b，c，d

的長度分別為0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，問a，b，c，d是比例線段嗎？解(一)

∵

∴，即a，b，c，d是比例線段.解(二)

∵

∴，即a，b，c，d是比例線段.舉例例3(2)已知線段a，b，c，d是比例線段，其中a，b，c的長度分別為0.8cm，2cm，1.2cm，求d.解∵線段a，b，c，d是比例線段，∴或或；當時，代入已知數(shù)，解得d=3cm；當時，代入已知數(shù)，解得，d=0.48cm；當時，代入已知數(shù)，解得，d=

cm.

動腦筋問題3：你能畫出成比例線段嗎？思路(1).由例3的啟發(fā)，畫長度分別是1cm、2cm、3cm、6cm的四條線段,這樣的四條線段是成比例線段；當然長度分別為1cm、2cm、2cm、4cm的四條線段是成比例線段。思路(2).如圖，平行四邊形ABCD中的

四條線段是成比例線段解∵平行四邊形ABCD，

∴AB=CD，BC=AD；

∴或；∴AB、BC、CD、DA四條線段是成比例線段.當然矩形、正方形、菱形中的四條線段也分別都是成比例線段.動腦筋問題4：古希臘數(shù)學家、天文學家歐多克索斯（約400—約前347）曾經(jīng)提出一個問題：能否將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比？即，使得成立？小知識解決方法：先把問題特殊化，設線段AB的長度為１個單位，點C為線段AB上一點，且AC的長度為x個單位，則CB的長度為（１－x）個單位．由等式，得解得（舍去）.因此小知識小結：借助方程的知識，我們知道在一個單位長度的線段上存在一點將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比，而且比值等于.問題5：對于任意長度的線段是否存在一點將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比嗎？動腦筋如果能的話，這個比值會是嗎？解決方法：參考特殊方法，把特殊值1變成任意值a。動腦筋設線段AB的長度為a

個單位，點C為線段AB上一點，且AC的長度為x個單位，則CB的長度為（a－x）個單位．由等式，得因此，.

解得（舍去）.小知識小結：借助方程的知識，我們知道在任意長度的線段上也存在一點將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比，而且比值也等于結論定義3：如果能將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比，那么稱線段AB被點Ｃ黃金分割（ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ），點Ｃ叫作線段AB的黃金分割點，較長線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比．

問題6：我們知道任意線段都有黃金分割點，那如何找到它呢？動腦筋

對于一條給定的線段AB，找出它的黃金分割點的作法如下：（1）過點B作AB的垂線，并在垂線上取BC=AB；（2）連接AC，以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AC于點E；（3）以點A為圓心，AE為半徑畫弧，交AB于點P.則點P為所求作的線段AB的黃金分割點.欣賞：我們知道黃金分割比是個確定數(shù)，這個數(shù)可是

享譽全世界的，因為比值是它的線段

圍成的圖形是最美麗的圖形.小知識小知識古希臘的巴臺農(nóng)神廟正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識印度泰姬陵正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識意大利著名畫家達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，人物的臉的寬度與高度的比就是一個黃金分割比．習題3.11.求下列各式中x的值.（1）5∶7=15∶x

；（2）144∶5=x∶25；（3）52∶x=26∶8；（4）x∶13=65∶78.答：(1)x=21;(2)x=720;

(3)x=16;(4)

x=.2.已知a，ｂ，ｃ，ｄ是比例線段.（1）若a=2，b=3，c=4，求d；（2）若a=1.5，c=2.5，d=4.5，求b；（3）若a=1.1，b=2.2，d=4.4，求c．答：(1)

d=6或或；答：(2)

b=

7.5或2.7或；答：(3)

c=8.8或2.2或0.55

.

3、甲、乙兩地的實際距離為680km，在某地圖上量得這兩地的距離為17cm，求該地圖的比例尺.答：因為680km=68000000cm，所以該地圖的比例尺=68000000:17=4000000:1.

4、如圖，節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體.若舞臺AB長為20m，則主持人站在離A點多遠處最自然得體？（結果精確到0.1m）解：設AB的黃金分割點為C，則AC≈0.618AB或BC

≈0.618AB,解得AC≈12.5m或AC

≈7.6m.答：所以主持人站在離A點12.5m或7.6m遠處最自然得體.

小結與復習1、請問同學們這節(jié)課你學習了關于線段的什么知識？線段之間的一種數(shù)量關系：四條線段成比例