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閻良區(qū)振興初級(jí)中學(xué)高亞玲24.1.2垂徑定理
趙州橋主橋拱的半徑是多少?
問(wèn)題:你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?問(wèn)題情境活動(dòng)一實(shí)踐探究把一個(gè)圓形紙沿著它的任意一條直徑對(duì)折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?可以發(fā)現(xiàn):圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,任何一條直徑所在直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸.把圓沿著直徑CD折疊時(shí),CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AE與BE重合,AC和BC
重合,AD和BD重合.⌒⌒⌒⌒?思考活動(dòng)二如圖,AB是⊙O的一條弦,做直徑CD,使CD⊥AB,垂足為E.(1)這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,它的對(duì)稱(chēng)軸是什么?(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線(xiàn)段和?。繛槭裁??·OEDABC(1)⊙O是軸對(duì)稱(chēng)圖形.直徑CD所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.(2)線(xiàn)段:AE=BE.⌒⌒?。篈C=BC,AD=BD.⌒⌒·OABCED那么直徑CD平分弦AB,并且平分AB及ACB.⌒⌒即AE=BE,AD=BD,AC=BC.⌒⌒⌒⌒如圖,如果直徑CD⊥弦AB,垂足為點(diǎn)E.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。?思考如圖,AB是⊙O的一條(非直徑)的弦,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作直徑CD.問(wèn):直徑CD⊥弦AB嗎?為什么?你還能得出什么結(jié)論?·OABCED直徑CD⊥弦AB.
理由:連接OA和OB.∵OA=OB,∴△AOB是等腰三角形.∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),直徑CD⊥弦AB.直徑CD平分劣弧AB、平分優(yōu)弧ACB.垂徑定理推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。畮缀握Z(yǔ)言表達(dá)③AE=BE,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.④AC=BC,⌒⌒垂徑定理:推論:②CD⊥AB,由①CD是直徑③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得CABEOD知二得三
辨別是非判斷下列說(shuō)法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線(xiàn)必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦
⑤弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦
⑦在圓中,如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦,必平分此弦所對(duì)的弧√√√××××實(shí)踐應(yīng)用解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題如圖,用AB表示主橋拱,設(shè)AB所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O
作弦AB
的垂線(xiàn)OC,D為垂足,OC與AB
相交于點(diǎn)D,根據(jù)垂徑定理得,D
是AB
的中點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),CD
就是拱高.⌒⌒⌒BODACROD=OC-CD=R-7.2在圖中,AB=37.4,CD=7.2,在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得:R≈27.9(m)∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.反思·總結(jié)弦長(zhǎng)a、弦心距d、半徑R以及弓形高h(yuǎn)之間的關(guān)系:⑴;⑵.活動(dòng)三鞏固提高,靈活運(yùn)用
1.如圖,在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑.BAOE解:在Rt
△AOE
中
答:⊙O的半徑為5cm.2.如圖,在⊙O中,AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求證四邊形ADOE是正方形.證明:∴四邊形ADOE為矩形,又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.D·OABCE小結(jié)·升華(1)本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)?(2)在利用垂徑定理解決問(wèn)題時(shí),你掌握了哪些數(shù)學(xué)方法?(3)這些方法中你又用到了哪些數(shù)學(xué)思想?別忘記還有我喲!!作業(yè):1、教材88頁(yè)習(xí)題24.1第8題、第9題、第10題.
2、補(bǔ)充作業(yè)如右圖,
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