【學海導航】高考數(shù)學第一輪總復習 5.2向量的字符運算課件 理 （廣西專）

第五章平面向量向量的字符運算第講2考點搜索●平面向量的數(shù)量積●平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)●兩個向量垂直的充要條件●常用的模的等式和不等式高考猜想字符運算是向量的核心內(nèi)容，是高考的一個重要命題點.一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

1.已知兩個非零向量a，b，過O點作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.

很顯然，當且僅當兩非零向量a，b同方向時，θ=___，當且僅當a、b反方向時，θ=______，同時0與其他任何非零向量之間不談夾角問題.0°180°2.如果a，b的夾角為____，則稱a與b垂直，記作_______.3.a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則__________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即______________.

規(guī)定0·a=___.

當a⊥b時，θ=____，這時a·b=____.

二、a·b的幾何意義

1.一個向量在另一個向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°0設(shè)θ是a與b的夾角，則_________稱作a在b方向上的投影._______稱作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一個數(shù)，而不是向量.當______________時，它是正數(shù)；當___________________時,它是負數(shù)；當θ=90°時,它是零.2.a·b的幾何意義.

a·b等___與b在a方向上的投影的乘積.3.a·b的性質(zhì).

設(shè)a,b是兩個非零向量,e是單位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b________;(3)當a與b同向時，a·b=___________；當a與b反向時，a·b=____________；特別地，a·a=a2=|a|2，或|a|=_____;(4)cosθ=_________;(5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|1.已知向量a和b的夾角為120°,|a|=1,|b|=3，則|5a-b|=____.解：

所以|5a-b|=7.72.若a,b,c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)

解：A、B、C是運算律，而a·b=λ∈R,b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故選D.D3.在△ABC中，已知向量與滿足且則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解：在△ABC中，

(M在∠BAC的平分線上)，D由知所以⊥，則△ABC是等腰三角形；因為所以則∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形.故選D.1.如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問問與與的的夾夾角θ取何值時的的值最大大？并求出出這個最大大值.解法1：因為，，所以因為題型1向量的數(shù)量量積運算所以故當cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時，的值最大，，其最大值值為0.解法2：以直角頂頂點A為坐標原點點，兩直角角邊所在直直線為坐標標軸建立如如圖所示的的平面直角角坐標系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b，則A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點P的坐標為(x,y),則Q(-x,-y).所以所以因為所以cx-by=a2cosθ，所以故當cosθ=1，即θ=0(與方向相同)時，的值最大，其其最大值為0.點評：向量的數(shù)量量積是最基本本的向量的運運算，字符向向量的數(shù)量積積主要是將其其轉(zhuǎn)化為兩向向量模及夾角角余弦的積，，注意向量夾夾角與兩直線線夾角之間的的關(guān)系和轉(zhuǎn)化化.已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為，，c=5a+3b，d=3a+kb，求當實數(shù)k為何值時，c⊥d？解：要使c⊥d，即c·d=0，即(5a+3b)·(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，解得k=.所以當k=時，c與d垂直.2.已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).解：依題意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，所以|a+b|=題型2向量的模(2)因為|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=16×19，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a··b-2b2=42-(-4)-2×22=12.點評：求形如|a+b|的模，一般是是通過|a+b|2=(a+b)2把求模轉(zhuǎn)化為為數(shù)量積來求求解，注意求求得的是模的的平方，最后后求得其算術(shù)術(shù)平方根即可可.已知平面上三三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間間的夾角均為為120°.(1)求證：(a-b)⊥c；(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范圍.解：(1)證明：因為|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之間的夾角均均為120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|·cos120°=0,所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.(2)解法1：因為|ka+b+c|>1，即|ka+b+c|2>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因為a·b=b·c=a·c=-，所以k2-2k>0，所以k<0或k>2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|>1(k∈R)|k-1|>1k<0或k>2.題型型3向量量的的夾夾角角點評評：：(1)中最最值值問問題題不不少少都都轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為函函數(shù)數(shù)最最值值問問題題解解決決，，因因此此解解題題關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于尋尋找找變變量量，，以以構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)．．而而(2)中即即為為數(shù)數(shù)量量積積定定義義的的應(yīng)應(yīng)用用．．已知知三三個個單單位位向向量量a，b，c，兩兩兩兩之之間間的的夾夾角角為為120°°，求求a-2b與c的夾夾角角.解：(a-2b)··c=a··c-2b··c=1××1××cos120°°-2××1××1××cos120°°=，又〈a-2b，c〉∈∈［0，π］，，所以以〈a-2b，c〉=arccos.1.向量量的的字字符符運運算算是是向向量量運運算算的的一一種種基基本本形形式式，，它它類類似似于于實實數(shù)數(shù)的的字字母母運運算算，，在在沒沒有有幾幾何何背背景景和和向向量量坐坐標標的的向向量量問問題題中中，，一一般般通通過過這這種種運運算算解解答答相相關(guān)關(guān)問問題題.2.向量量的的字字符符運運算算以以向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積為為核核心心，，由由此此解解決決有有關(guān)關(guān)向向量量的的模模和和夾夾角角問問題題.在字字符符運運算算中中求求向向量量的的模模，，一一般般先先求求模模的的平平方方，，再再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為向向量量的的平平方方，，然然后后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為數(shù)數(shù)量量積積進進行行運運算算.在字字符符運運算算中中求求向向量量的的夾夾角角，，一一般般先先利利用用數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義求求夾夾角角的的余余弦弦，，再再根根據(jù)據(jù)夾夾角角的的范范圍圍求求向向量量的的夾夾角角.3.通過過向向量量的的字字符符運運算算求