【講座】《數學核心素養(yǎng)：從直觀到推理-以曲線與方程為例》

數學核心素養(yǎng)：

從直觀到推理——以《曲線與方程》為例一、數學直觀與數學抽象

最初的抽象是基于直觀的，正如康德所說：人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束。數學直觀，人們又常說成直觀想象。直觀是抽象的基礎，抽象是直觀的升華。根據數學逐級抽象的特征，我們認為數學的直觀與抽象是相對的，低一級的抽象是高一級抽象的直觀，“舊知識”可以看成“新知識”的直觀。主要表現：建立形與數的聯(lián)系；利用幾何圖形描述問題；借助幾何直觀理解問題；運用空間想象認識事物?！爸庇^想象”素養(yǎng)內涵與主要表現素養(yǎng)內涵：通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力；形成數學直觀直覺，在具體的情境中感悟事物的本質。主要表現：獲得數學概念和規(guī)則；提出數學命題和模型；形成數學方法與思想；認識數學結構與體系。“數學抽象”素養(yǎng)內涵與主要表現素養(yǎng)內涵：通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。

學科核心素養(yǎng)學科知識學科活動1.1數學概念形成過程的從直觀到抽象

《曲線與方程》教學中，首先引導學生思考：在直角坐標系中，幾何圖形“點”的代數形式是什么？讓學生初步形成對于“一一對應”的認識。進一步類比到直線、圓等其他曲線，逐漸形成任意曲線和方程之間“一一對應”關系的理解。

從特殊到一般的思想表現在從簡單情形去認識復雜事物，這能使抽象的數學命題變得具體而簡單。1.1數學概念形成過程的從直觀到抽象

體會：1、概念教學要強調讓學生經歷概念的概括過程；

2、“曲線的方程”與“方程的曲線”的關系

是本節(jié)的核心問題，從多個角度分析這個問

題，有助于學生更好地理解概念的內涵。

數形對應關系、集合、充要條件等二、數學直觀與邏輯推理

數學直觀畢竟只是直觀，任何從實踐觀察中總結提煉出來的數學結論或猜想可能是不正確的，此時就需要嚴格的邏輯推理論證。

因此，在數學的學習中，我們總是先從具體事物中抽象出“數”和“形”的概念，并將其定量，而后嚴格的邏輯推理逐漸成為主角，學生們將完成從簡單到復雜、從特殊到一般、從已知到未知的推理過程。邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。“邏輯推理”素養(yǎng)內涵與主要表現

素養(yǎng)內涵：通過高中數學課程的學習，學生能提出和論證數學命題，掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；發(fā)現和提出數學命題；探索和表述論證過程；能夠在比較復雜的情境中把握事物理解事物命題之間的關聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡，把握知識結構；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力。

主要表現：掌握推理基本形式和規(guī)則；發(fā)現問題和提出命題；探索和表述論證過程；理解命題體系；有邏輯地表達與交流。2.1數學概念形成過程中的邏輯推理本節(jié)是學習了必修二直線與方程、圓與方程的基礎上，學生有了一定的感性認識。這一節(jié)的主要目的是使得學生對曲線與方程的關系有一個更加系統(tǒng)、完整的認識。

首先，曲線的方程這個概念的形成過程本身就是一個是從特殊到一般的推理。

其次，不論是從數形對應關系、集合關系還是充要條件等角度，都是要求學生綜合運用所學數學知識從不同的情境中把握命題之間的關聯(lián)。2.2概念形成后的簡單推理及應用

例1證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡方程是xy=±k.

反思：1、培養(yǎng)學生從基本概念、基本原理出發(fā)思考

問題的習慣；

2、為后續(xù)學習“累加法求通項”埋下伏筆。2.2概念形成后的簡單推理及應用三、坐標法

坐標法在本節(jié)之前就已出現，《必修二》中求直線的點斜式方程就是學生經歷“幾何問題代數化”的一次重要過程.本節(jié)重復了這一過程，意在強調這一重要思想。

解析幾何教學中培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，就是使他們樹立自覺應用坐標法解決問題的意識.

坐標法是研究幾何問題的重要方法，它通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現了形和數的統(tǒng)一。四、信息技術是直觀想象的好幫手

4.1信息技術為數學教材提供了一種可操作的環(huán)境。在這種環(huán)境里，抽象的數學概念和關系是“可視的”，并且可以被具體操作。4.2信息技術讓數學教材“生動”起來

數學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)需要直觀素材的支撐，更重視從直觀到抽象的過程，信息技術在這些方面都具有獨特的優(yōu)勢。信息技術具有的文字、圖表、動畫等多種表述方式可以從不同角度提供直觀素材，為數學對象建立“多元聯(lián)系表示”，它的交互性實驗環(huán)境又可以提供探索的空間，讓學生經歷從直觀到抽象的過程，讓數學教材生動起來，也讓數學學習更加有趣。雙曲線定義變式五、數形結合是直觀想象的源泉

應該說，整節(jié)課始終貫穿著數形結合思想方法.

例2（P36例3）已知一條直線l和它上方的一個點F，點F到l的距離是2.一條曲線也在l的上方，它上面的每一點到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當的坐標系，求這條曲線的方程.l

.F2

如何建立適當的直角坐標系？為什么？五、數形結合是直觀想象的源泉

練習2(P37.3)已知點C（2,2），過點C的直線CA與x軸交于