【課件】7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值；（重點(diǎn)）2.理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).；3.掌握兩點(diǎn)分布的均值；4.會利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)問題.（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算離散型隨機(jī)變量的分布列確定了與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。

例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，我們通常會比較平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”，我們通常會考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差。本節(jié)課我們一起來認(rèn)識離散型隨機(jī)變量的均值。新課引入：問題1：甲乙兩名射箭運(yùn)動員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.概念新授一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平.

例1：在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？解：因?yàn)?/p>

P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以

E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2

=0.8即該運(yùn)動員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么：X10Pp1-p

np概念新授解：

例2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值.

X的分布列為

求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：

觀察:

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X的均值為3.5.

隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計(jì)圖，如圖（1）和（2）所示，觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？(1)n=60(2)n=300事實(shí)上，隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動.隨著重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來小.因此我們常用樣本均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值.這12組試驗(yàn)中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點(diǎn)數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復(fù)60次的.問題探究

探究:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX+bx1+bx2+b…xi+b…xn+bPp1p2…pi…pn

aXax1ax2…axi…axnPp1p2…pi…pn

證明：若Y=aX+b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量.因?yàn)镻(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，所以，Y的分布列為··················

E(aX+b)=問題2：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)

aE(X)+b例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？如果按ACB的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值是多少？解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192=4000)=按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大.猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?典例解析解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時(shí),總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2能使總損失減到最小,不過,因?yàn)楹樗l(fā)生的隨機(jī)性,所以對于個(gè)別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率P0.010.250.74總損失/元方案1X1380038003800方案2X2

6200020002000方案3X360000100000課堂小結(jié)1.期望的概念

E(X)=x1p1