【課件】4.2.1　第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式-人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)課件(共30張PPT)

4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥姚明是大家都熟悉的籃球運(yùn)動(dòng)員,下面是姚明剛進(jìn)NBA一周訓(xùn)練時(shí)投球的個(gè)數(shù):第一天6000,第二天6500,第三天7000,第四天7500,第五天8000,第六天8500,第七天9000.得到數(shù)列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)了嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、等差數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.名師點(diǎn)析等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈?項(xiàng)沒有前一項(xiàng).(2)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)(因?yàn)橥粋€(gè)常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的增減性與公差d的關(guān)系:當(dāng)d>0時(shí),是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),是常數(shù)列.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)判斷下列各組數(shù)列是不是等差數(shù)列.如果是,寫出首項(xiàng)a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng).這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式2A=a+b.微練習(xí)若a,b是方程x2-2x-3=0的兩根,則a,b的等差中項(xiàng)為(

)答案:C激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.名師點(diǎn)析(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于三個(gè)基本量a1,d和n的表達(dá)式,所以由首項(xiàng)a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng),就可以求出其他的任意一項(xiàng).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)等差數(shù)列{an}:5,0,-5,-10,…的通項(xiàng)公式是

.

(2)若等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-1,則其公差d=

.

解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.答案:(1)an=10-5n

(2)4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例1(1)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,若an=2022,則n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差數(shù)列40,37,34,…中,第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是(

)A.第13項(xiàng) B.第14項(xiàng)C.第15項(xiàng) D.第16項(xiàng)(3)在等差數(shù)列{an}中,若a3=12,a6=27,則其通項(xiàng)公式為

.

分析:(1)與(2)均可先求通項(xiàng)公式,再利用通項(xiàng)公式解決相應(yīng)問題;(3)可根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1和d的方程組,求得a1和d即可得到通項(xiàng)公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:(1)根據(jù)題意,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,則有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首項(xiàng)a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.答案:(1)C

(2)C

(3)an=5n-3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需求出首項(xiàng)與公差.2.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中共含有四個(gè)參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù),那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù),這一求未知量的過程,我們通常稱之為“知三求一”.3.通項(xiàng)公式可變形為an=dn+(a1-d),可把a(bǔ)n看作自變量為n的一次函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中,求解下列各題:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例2(1)若等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a,2a-1,3-a,求其第2020項(xiàng);(2)在-1和7之間插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這三個(gè)數(shù).分析:(1)先根據(jù)條件求出通項(xiàng)公式,再代入求解;(2)先根據(jù)等差中項(xiàng)求出b,再依次利用等差中項(xiàng)求出a,c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略1.求兩個(gè)數(shù)x,y的等差中項(xiàng),根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得2.證明三項(xiàng)成等差數(shù)列,只需證明中間一項(xiàng)為兩邊兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)即可,即若a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b;反之,若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等差數(shù)列的判斷與證明例3判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.分析:根據(jù)等差數(shù)列的定義,判斷an+1-an是否為常數(shù).解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟用定義法判定(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟為:(1)作差an+1-an.(2)對(duì)差式進(jìn)行變形.(3)當(dāng)an+1-an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當(dāng)an+1-an不是常數(shù),而是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí),數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解:(1)當(dāng)n≥3時(shí),an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不滿足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差數(shù)列.(2)當(dāng)n≥2時(shí),an是等差數(shù)列,公差為2.當(dāng)n≥2時(shí),an=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不適合上式,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析:先用an表示bn+1,bn,再驗(yàn)證bn+1-bn為常數(shù),最后可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟判斷等差數(shù)列的方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.注意:(1)通項(xiàng)公式法不能作為證明方法.(2)若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,則無法確定等差數(shù)列{an}的公差.(3)若數(shù)列的前有限項(xiàng)成等差數(shù)列,則該數(shù)列未必是等差數(shù)列;而要否定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只要說明其中連續(xù)三項(xiàng)不成等差數(shù)列即可.(4)已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要通過對(duì)遞推公式進(jìn)行合理變形,構(gòu)造出等差數(shù)列求通項(xiàng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)稱法設(shè)項(xiàng)典例成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù).方法點(diǎn)睛題中是已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則采用“對(duì)稱法”設(shè)項(xiàng),這樣可以減少計(jì)算量,因此要記住奇數(shù)個(gè)數(shù)或偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的“對(duì)稱法設(shè)項(xiàng)”的方法,以達(dá)到快速求解的目的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+5,則此數(shù)列(

)A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2,則a20=(

)A.38 B.40 C.-36 D.-38解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,則m和n的等差中項(xiàng)為

.

解析:由m和2n的等差中項(xiàng)為4,得m+2n=8.又由2m和n