【課件】4.2.1　第1課時　等差數(shù)列的概念及通項公式-人教A版（2019）選擇性必修第二冊課件(共30張PPT)

4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式激趣誘思知識點撥姚明是大家都熟悉的籃球運動員,下面是姚明剛進NBA一周訓練時投球的個數(shù):第一天6000,第二天6500,第三天7000,第四天7500,第五天8000,第六天8500,第七天9000.得到數(shù)列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列有什么特點了嗎?激趣誘思知識點撥一、等差數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.名師點析等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強調(diào)“從第2項起”,因為第1項沒有前一項.(2)每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(因為同一個常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(從第2項起)與它的前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的增減性與公差d的關(guān)系:當d>0時,是遞增數(shù)列;當d<0時,是遞減數(shù)列;當d=0時,是常數(shù)列.激趣誘思知識點撥微練習判斷下列各組數(shù)列是不是等差數(shù)列.如果是,寫出首項a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.激趣誘思知識點撥二、等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.這三個數(shù)滿足關(guān)系式2A=a+b.微練習若a,b是方程x2-2x-3=0的兩根,則a,b的等差中項為(

)答案:C激趣誘思知識點撥三、等差數(shù)列的通項公式首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d.名師點析(1)等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于三個基本量a1,d和n的表達式,所以由首項a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項.(2)等差數(shù)列的通項公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項,就可以求出其他的任意一項.激趣誘思知識點撥微練習(1)等差數(shù)列{an}:5,0,-5,-10,…的通項公式是

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(2)若等差數(shù)列{an}的通項公式是an=4n-1,則其公差d=

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解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.答案:(1)an=10-5n

(2)4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等差數(shù)列的通項公式及其應用例1(1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公差為4的等差數(shù)列,若an=2022,則n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差數(shù)列40,37,34,…中,第一個負數(shù)項是(

)A.第13項 B.第14項C.第15項 D.第16項(3)在等差數(shù)列{an}中,若a3=12,a6=27,則其通項公式為

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分析:(1)與(2)均可先求通項公式,再利用通項公式解決相應問題;(3)可根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1和d的方程組,求得a1和d即可得到通項公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:(1)根據(jù)題意,數(shù)列{an}是首項為2,公差為4的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,則有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首項a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.答案:(1)C

(2)C

(3)an=5n-3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧1.等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項公式,只需求出首項與公差.2.等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數(shù),那么就可以由通項公式求出第四個數(shù),這一求未知量的過程,我們通常稱之為“知三求一”.3.通項公式可變形為an=dn+(a1-d),可把an看作自變量為n的一次函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1在等差數(shù)列{an}中,求解下列各題:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等差中項及其應用例2(1)若等差數(shù)列的前三項分別為a,2a-1,3-a,求其第2020項;(2)在-1和7之間插入三個數(shù)a,b,c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求這三個數(shù).分析:(1)先根據(jù)條件求出通項公式,再代入求解;(2)先根據(jù)等差中項求出b,再依次利用等差中項求出a,c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟等差中項的應用策略1.求兩個數(shù)x,y的等差中項,根據(jù)等差中項的定義得2.證明三項成等差數(shù)列,只需證明中間一項為兩邊兩項的等差中項即可,即若a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b;反之,若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等差數(shù)列的判斷與證明例3判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.分析:根據(jù)等差數(shù)列的定義,判斷an+1-an是否為常數(shù).解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟用定義法判定(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟為:(1)作差an+1-an.(2)對差式進行變形.(3)當an+1-an是一個與n無關(guān)的常數(shù)時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當an+1-an不是常數(shù),而是與n有關(guān)的代數(shù)式時,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由;(2)求{an}的通項公式.解:(1)當n≥3時,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不滿足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差數(shù)列.(2)當n≥2時,an是等差數(shù)列,公差為2.當n≥2時,an=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不適合上式,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.分析:先用an表示bn+1,bn,再驗證bn+1-bn為常數(shù),最后可求出數(shù)列{an}的通項公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟判斷等差數(shù)列的方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法:數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.注意:(1)通項公式法不能作為證明方法.(2)若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,則無法確定等差數(shù)列{an}的公差.(3)若數(shù)列的前有限項成等差數(shù)列,則該數(shù)列未必是等差數(shù)列;而要否定一個數(shù)列是等差數(shù)列,只要說明其中連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.(4)已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項時,要通過對遞推公式進行合理變形,構(gòu)造出等差數(shù)列求通項.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測對稱法設項典例成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26,第2個數(shù)和第3個數(shù)之積為40,求這四個數(shù).方法點睛題中是已知四個數(shù)成等差數(shù)列,則采用“對稱法”設項,這樣可以減少計算量,因此要記住奇數(shù)個數(shù)或偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列的“對稱法設項”的方法,以達到快速求解的目的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n+5,則此數(shù)列(

)A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2,則a20=(

)A.38 B.40 C.-36 D.-38解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5,則m和n的等差中項為

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解析:由m和2n的等差中項為4,得m+2n=8.又由2m和n