【公開課】函數(shù)的奇偶性（課件） (人教A版2019 必修第一冊)

第三章函數(shù)的基本性質3.2.2奇偶性教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第三章《函數(shù)的概念與性質》的第二節(jié)《函數(shù)的基本性質》。以下是本章的課時安排：第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)課時內(nèi)容函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的基本性質冪函數(shù)函數(shù)的應用（一）所在位置教材第60頁教材第76頁教材第89頁教材第93頁新教材內(nèi)容分析以初中已學的函數(shù)知識和二次函數(shù)為基礎，通過四個實例的歸納、概括，抽象出函數(shù)的“集合--對應說”，并用抽象符號表示函數(shù)；通過典型例題訓練學生選擇適當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并通過例題引入分段函數(shù)并進行簡單應用.教材用代數(shù)運算和函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調性、奇偶性、最大（?。┲担w現(xiàn)了研究數(shù)學性質的一般思路；在研究方法上，加強了通過代數(shù)運算和圖象直觀解釋函數(shù)性質的引導和明示，為提升學生的抽象思維水平奠定基礎.在初中已學習的正比例、反比例、二次函數(shù)等基礎上，通過實例引導學生歸納共性、抽象出概念；借助冪函數(shù)這一類函數(shù)的研究，使學生理解研究函數(shù)的內(nèi)容、基本思路和方法，引導學生從不同的角度理解函數(shù)的概念.利用函數(shù)的概念及其蘊含的數(shù)學思想方法解決簡單的實際問題，包括研究已知解析式或圖象的函數(shù)的性質，以及簡單的建模問題，使學生螺旋上升地認識已有函數(shù)，同時鞏固函數(shù)概念.核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實例，理解函數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；通過作出函數(shù)的圖象以及圖象的應用，提升直觀想象的核心素養(yǎng).通過實例，引導學生歸納概括出用嚴格的數(shù)學語言精確刻畫單調性的方法，為提升數(shù)學運算、直觀想象奠定了基礎.通過冪函數(shù)概念的學習，強化了數(shù)學抽象；通過冪函數(shù)圖象與性質的學習，提升直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).通過實例，了解函數(shù)在實際生活中的應用，促進學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；根據(jù)實際問題構造函數(shù)模型解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模的核心素養(yǎng).教學主線函數(shù)的圖象學習目標

1、理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；2、學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3、學會判斷函數(shù)的奇偶性，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)；4.在具體問題情境中，運用數(shù)形結合思想，利用奇偶性解決函數(shù)性質的總個問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。重點、難點重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷；難點：函數(shù)奇偶性概念的探究與理解．（一）新知導入1.創(chuàng)設情境，生成問題在我們的日常生活中，隨時隨處可以看到許許多多對稱的現(xiàn)象，例如，六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影等等.【探究1】上述提到的圖形對稱指的是“整個圖形對稱”還是“圖形的部分對稱”？【提示】整個圖形對稱.【探究2】哪個圖形是軸對稱圖形？哪個圖形是中心對稱圖形？【提示】①是中心對稱圖形，②是軸對稱圖形.（一）新知導入2.探索交流，解決問題(1)觀察下列兩個函數(shù)的圖象,【提示】從圖象上可以看出,它們的圖象都是關于y軸成軸對稱的.【思考1】它們的圖象有什么共同特征?【思考2】上述特征能否用數(shù)量間的關系來體現(xiàn)?試著填下表:x-3-2-10123

【思考3】通過上面對應值表你發(fā)現(xiàn)了什么?【提示】當自變量x取一對相反數(shù)時,相應的兩個函數(shù)值相等.這是偶函數(shù)。94101493210123（一）新知導入2.探索交流，解決問題(2)觀察下列兩個函數(shù)的圖象,【提示】從圖象上可以看出,它們的圖象都是關于原點成中心對稱的.【思考1】它們的圖象有什么共同特征?【思考2】上述特征能否用數(shù)量間的關系來體現(xiàn)?試著填下表:x-3-2-10123

【思考3】通過上面對應值表你發(fā)現(xiàn)了什么?【提示】當自變量x取一對相反數(shù)時,相應的兩個函數(shù)值也是一對相反數(shù).這是奇函數(shù)。-3-2-10123---11（二）函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)、奇函數(shù)定義(1)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).奇偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關于對稱，反之成立．奇函數(shù)的圖象關于對稱，反之成立．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點（二）函數(shù)的奇偶性【做一做】判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）f（3）f（4）【辯一辯】(1)對于函數(shù)y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù).()(2)不存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù).()(3)若函數(shù)的定義域關于原點對稱,則這個函數(shù)不是奇函數(shù),就是偶函數(shù).()【提示】偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)×××（三）函數(shù)奇偶性的判斷例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：[解析](1)∵f(x)的定義域為R，關于原點對稱，又f(－x)＝＋2＝＋2＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，它關于原點對稱，又f(－x)＝＋＝－＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(3)∵f(x)的定義域為{－1,1}，是兩個具體數(shù)，但它關于原點對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)＝既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(1)(3)(4)(5)（三）函數(shù)奇偶性的判斷(4)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．①當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝＋3－1＝－＋3－1＝－(31)＝－f(x)．②當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝31＝－－3＋1＝－(＋3－1)＝－f(x)．由①②知，當x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(5)由題設得∴函數(shù)f(x)定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱,且x＋2>0，∴|x＋2|＝x＋2，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．（三）函數(shù)奇偶性的判斷

【類題通法】1.函數(shù)奇偶性的判定方法：(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關于原點對稱的對稱區(qū)域，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關于原點對稱的對稱區(qū)域，再判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(x)±f(－x)是否等于零，或判斷是否等于±1等．(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)的等價條件是它的圖象關于原點(y軸)對稱．(3)性質法：設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．（三）函數(shù)奇偶性的判斷

2.用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟：①求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關于原點對稱．②用－x代x，驗證是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．【類題通法】（三）函數(shù)奇偶性的判斷【鞏固練習1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：[解析](1)函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝＋＝－(＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)的定義域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．（1）（2）(3)（四）奇偶函數(shù)的圖象例2.已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．(1)請補出完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間；(3)根據(jù)圖象寫出使f(x)＜0的x的取值集合．[解析](1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：(2)據(jù)圖可知，單調增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．(3)據(jù)圖可知，使f(x)＜0的x的取值集合為(－2,0)∪(0,2)．（四）奇偶函數(shù)的圖象

【類題通法】1．巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性；(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應的圖象；(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對應的函數(shù)圖象．2．奇偶函數(shù)圖象的應用類型及處理策略(1)類型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題．(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．（四）奇偶函數(shù)的圖象【鞏固練習2】定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示．(1)請在坐標系中補全函數(shù)f(x)的圖象；(2)比較f(1)與f(3)的大小．(1)由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱，其圖象如圖所示．(2)觀察圖象，知f(3)<f(1)．【解析】（五）已知函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式例2.(1)已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝－2x，求f(x)在R上的解析式．[解析](1)設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－2(－x)＝＋2x.又y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝＋2x(x<0)．∴f(x)＝(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f(x)＝x(2－x)，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析](2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.設x＞0時，則－x＜0，則f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝（五）已知函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式【類題通法】利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟(1)“求誰設誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設；(2)轉化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．【鞏固練習2】已知f(x)為R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以(2)當x<0時,-x>0,則.由于f(x)是奇函數(shù),則所以當x=0時,則,即.所以f(x)的解析式為[解析]（六）已知奇偶性求值或參數(shù)

例4.(1)若函數(shù)f(x)＝a＋(b－1)x＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＋b＝________.(2)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝＋2x＋b，則f(－1)＝________.(3)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________．【解析】(1)因為定義域[a－1,2a]關于原點對稱，所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝.所以f(x)＝＋(b－1)x＋1＋b.又因為f(－x)＝f(x)，所以－(b－1)x＋1＋b＝＋(b－1)x＋1＋b.由對應項系數(shù)相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.(2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝＋2x(x≥0)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.(3)兩式相加得[答案](1)(2)－3(3)3（六）已知奇偶性求值或參數(shù)【類題通法】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法(1)此類問題應充分運用奇(偶)函數(shù)的定義，構造函數(shù)，從而使問題得到快速解決．(2)在定義域關于原點對稱的前提下，若解析式中僅含有x的奇次項，則函數(shù)為奇函數(shù)；若解析式中僅含有x的偶次項，則函數(shù)為偶函數(shù)，常利用此結論構造函數(shù)．(3)利用奇偶性求參數(shù)值時，應根據(jù)x∈R等式恒成立的特征求參數(shù)【鞏固練習2】1．已知f(x)＝＋a＋bx－8，若f(－3)＝10，則f(3)＝()A．26 B．18C．10 D．－262．已知函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且＝，求函數(shù)f(x)的解析式．（六）已知奇偶性求值或參數(shù)

（1）由已知條件，得①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.（2）∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0，∴f(x)＝.又∵＝＝a＝，∴a＝1，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝.[解析][答案]D（七）單調性與奇偶性的綜合應用

例4.（1）設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)（2）設定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，若f(1－m)＜f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．（2）因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上是減函數(shù)．所以不等式f(1－m)＜f(m)等價于解得－1m＜.（1）因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．【解析】【答案】A（七）單調性與奇偶性的綜合應用

【類題通法】奇偶性與單調性綜合問題的2種類型(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{區(qū)間上①在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大??；②不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大?。?2)解不等式①利用已知條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f()<f()或f()>f()的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式求解．（七）單調性與奇偶性的綜合應用【鞏固練習4】（1）已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足的x的取值范圍為()A. B.C. D.（2）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)．若f(－3)＝0，則<0的解集為________．（七）單調性與奇偶性的綜合應用(1)由于f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調遞增，則不等式，等價于即－<2x－1<，解得<x<.(2)∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(3)＝f(－3)＝0