【課件】單調(diào)性與最大(小)值(第1課時(shí)) 課件（共23張PPT）高一上學(xué)期 人教A版(2019)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)

前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義及表示方法，知道函數(shù)描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這樣我們就可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對(duì)客觀世界中事物變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，比如，通過研究函數(shù)值隨自變量值的變化規(guī)律，就可以得到函數(shù)所刻畫的現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律。

那么，什么是函數(shù)的性質(zhì)呢？

簡(jiǎn)單的說(shuō)，函數(shù)的性質(zhì)就是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”。

因此，我們研究函數(shù)性質(zhì)，就是要學(xué)會(huì)在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

你還記得函數(shù)表示法中圖象法的特點(diǎn)嗎？

①函數(shù)圖象能直觀形象地表示出函數(shù)的變化趨勢(shì)；

②用圖象表示函數(shù)有利于研究函數(shù)的某些性質(zhì)。

因此要研究函數(shù)的性質(zhì)，我們可以首先從函數(shù)圖象入手。引入

思考：觀察下列函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖象的哪些特征，你覺得它們反映了函數(shù)哪方面的性質(zhì)？若我們從圖象的升降這個(gè)角度來(lái)看：圖1圖2圖3圖1中的函數(shù)圖象從左至右的始終是上升的,即函數(shù)y始終隨著自變量x的增大而增大.圖2，3中的函數(shù)圖象在有的區(qū)間上從左至右是保持上升的,即在這些區(qū)間上函數(shù)y隨著自變量x的增大而增大；而在有的區(qū)間上從左至右又是保持下降的,即在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上函數(shù)y隨著自變量x的增大而減小.我們把函數(shù)的這種性質(zhì)歸結(jié)為函數(shù)的單調(diào)性.xOy1124-1-2當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2圖象下降的，當(dāng)x>0,時(shí)f(x)=x2圖象是上升的。探究新知(一)

問題1：在初中，我們學(xué)過二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)，知道若a>0，則“當(dāng)x<h時(shí)，y隨著x的增大而減小”,“當(dāng)x>h時(shí)，y隨著x的增大而增大”。你能以函數(shù)f(x)=x2為例，研究其單調(diào)性嗎？即f(x)隨著x的增大而減小；即f(x)隨著x的增大而增大。

思考(1)：對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，說(shuō)說(shuō)它圖象從左到右是怎樣變化的？這反映了函數(shù)在數(shù)量上怎樣的變化規(guī)律？當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2圖象下降的，

思考(2):“當(dāng)x<0時(shí)，f(x)隨著x的增大而減小”,“x增大了”怎么用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示?“對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)減小了”呢？結(jié)合以下表格，你能給出具體的描述嗎？x...-5-4-3-2-1...f(x)=x2...2516941...當(dāng)x從-5增大到-4時(shí)，f(x)從f(-5)=25減小到f(-4)=16；即f(x)隨著x的增大而減?。划?dāng)x從-4增大到-3時(shí)，f(x)從f(-4)=16減小到f(-3)=9；當(dāng)x從-3增大到-2時(shí)，f(x)從f(-3)=9減小到f(-2)=4；......思考(3):這樣的過程寫得完嗎？為什么？

對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，自變量x在(-∞，0]上任取兩個(gè)不同值，“當(dāng)x增大時(shí)，f(x)減小”都是成立。yxOx2x1即當(dāng)x<0時(shí)，只要x1<x2，就有f(x1)>f(x2)思考(4):如何表述這種任意性？你能寫出更嚴(yán)格的表達(dá)嗎？

在(-∞,0]上任取

x1、x2，只要x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，這時(shí)我們說(shuō)函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的。

思考(5):對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，你能模仿以上的方法，給出“在區(qū)間[0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大”的符號(hào)語(yǔ)言刻畫嗎？

在[0,+∞)上任取

x1、x2，只要x1<x2，就有f(x1)<f(x2),這時(shí)我們說(shuō)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞增的。練習(xí)

仿照上述方法，用嚴(yán)格的符號(hào)語(yǔ)言刻畫函數(shù)f(x)=|x|和y=-x2各自的單調(diào)性。對(duì)于函數(shù)f(x)=|x|：在(-∞,0]上，圖象從左至右下降；f(x)隨著x的增大而減小；

任取x1、x2∈(-∞,0]，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的。

同理，任取x1、x2∈[0,+∞)，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞增的。對(duì)于函數(shù)f(x)=-x2：在(-∞,0]上，圖象從左至右上升；f(x)隨著x的增大而增大；

任取x1、x2∈[0,+∞)，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞增的。

同理，任取x1、x2∈(-∞,0]，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞減和減函數(shù)單調(diào)遞增和增函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性返回

問題2：(1)設(shè)A是區(qū)間D上的自變量的某些值組成的集合，而且?x1,x2∈A，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，你能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？試舉例說(shuō)明.不能.例如對(duì)于函數(shù)f(x)=|x|，取區(qū)間D=(-4,4),集合A={-1,2,3}.

則?x1,x2∈{-1,2,3}，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)=|x1|<f(x2)=|x2|.但f(x)=|x|在(-4,4)上并不單調(diào)遞增.又如對(duì)于函數(shù)f(x)=-x2，取區(qū)間D=(-10,10),集合A=(-10,0).

則?x1,x2∈(-10,0)，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)=x12<f(x2)=x22.但f(x)=x2在(-10,10)上并不單調(diào)遞增。

函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域I上的某個(gè)區(qū)間D而言的，自變量在整個(gè)區(qū)間D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自變量在區(qū)間D內(nèi)某兩個(gè)值來(lái)或者區(qū)間D一部分內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2來(lái)代替。探究新知(二)

(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域上的某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)嗎？在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)而在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)嗎？

函數(shù)f(x)=x+1在整個(gè)定義域R上單調(diào)遞增，即是增函數(shù)。函數(shù)f(x)=x2-2x在(-∞,1)單調(diào)遞增，

在(1,+∞)單調(diào)遞減。yxO

增函數(shù)、減函數(shù)是針對(duì)的是函數(shù)的整個(gè)定義域，是函數(shù)的整體性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域下的某個(gè)區(qū)間，是函數(shù)的局部性質(zhì)。

一個(gè)函數(shù)在定義域下的某個(gè)區(qū)間具有單調(diào)性，但在整個(gè)定義上不一定具有單調(diào)性。yxO它在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞減

但在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不單調(diào)單調(diào)遞減，即不是減函數(shù)。

一個(gè)函數(shù)在區(qū)間A和B上都具有相同的單調(diào)性，但在A∪B上不一定有這種單調(diào)性，即單調(diào)區(qū)間不能簡(jiǎn)單合并。(4)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)是取還是不??？

單調(diào)性反映的是函數(shù)f(x)隨自變量x的增大而增大或減小的性質(zhì)，在單個(gè)點(diǎn)上談單調(diào)性沒有意義。

因此，一般地，對(duì)于圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若其定義域含區(qū)間的端點(diǎn)，則單調(diào)區(qū)間可以取端點(diǎn)，也可不取不取端點(diǎn)。理解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)把好的幾個(gè)些問題

(1)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域I上的某個(gè)區(qū)間D而言的，自變量在整個(gè)區(qū)間D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自變量在區(qū)間D內(nèi)某兩個(gè)值來(lái)或者在區(qū)間D內(nèi)一部分內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2來(lái)代替。

(2)單調(diào)區(qū)間不能簡(jiǎn)單合并。一個(gè)函數(shù)在區(qū)間A和B上都具有相同的單調(diào)性，但在A∪B上不一定有這種單調(diào)性。(3)一個(gè)函數(shù)在定義域下的某個(gè)區(qū)間具有單調(diào)性，但在整個(gè)定義上不一定具有單調(diào)性。

（4）增函數(shù)、減函數(shù)是針對(duì)的是函數(shù)的整個(gè)定義域，是函數(shù)的整體性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域下的某個(gè)區(qū)間，是函數(shù)的局部性質(zhì)。(5)一般地，對(duì)于圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若其定義域含區(qū)間的端點(diǎn)，則單調(diào)區(qū)間可以取端點(diǎn)，也可以不取端點(diǎn)。

單調(diào)性反映的是函數(shù)f(x)隨自變量x的增大而增大或減小的性質(zhì)，在單個(gè)點(diǎn)上談單調(diào)性沒有意義返回練習(xí)

請(qǐng)根據(jù)右圖描述某裝配線的生產(chǎn)效率與生產(chǎn)線上工人人數(shù)間的關(guān)系.

在一定范圍內(nèi)，生產(chǎn)效率隨著工人人數(shù)的增加而提高.當(dāng)工人人數(shù)達(dá)到某個(gè)數(shù)量時(shí)，生產(chǎn)效率達(dá)到最大值.

當(dāng)工人人數(shù)超過這個(gè)數(shù)量時(shí)，生產(chǎn)效率隨著工人人數(shù)的增加卻越來(lái)越低。例析可以采取作差法，其一般步驟為：(1)作差；(2)變形；

目的：便于判定差的符號(hào)

常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等(3)定號(hào)；

當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論(4)作結(jié)論。

根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)作出結(jié)論確定取值區(qū)間取值比較大小作出結(jié)論用定義法研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①確定取值區(qū)間D：

定義域或定義域下的某個(gè)區(qū)間②取值：

任取x1，x2∈D，且x1<x2；③比較大?。?/p>

一般情況下，用作差法來(lái)比較f(x1)和f(x2)的大小④作結(jié)論：

根據(jù)單調(diào)性的定義作出結(jié)論．返回練習(xí)確定取值區(qū)間取值比較大小作出結(jié)論例析xOxO練習(xí)1.什么是函數(shù)的單調(diào)性？什么是單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，增函數(shù)、減函數(shù)？小結(jié)2.理解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)把握好哪一些問題？3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為可如何判定函數(shù)的單調(diào)性？(1)圖象法(直觀判斷)；(2)定義法(嚴(yán)格推導(dǎo))。4.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究方法有什么體會(huì)？

具體函數(shù)→