自考高等數(shù)學(xué)一試題與答案

2015年10月高等教育統(tǒng)一命題考試 3l00l50分鐘。第一部分為選擇題。必須對應(yīng)試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應(yīng)代碼涂黑第二部分為非選擇題。必須注明大、小題號，使 毫米黑色字跡簽字筆作答一、單項選擇題(本大題共l0小題。每小題330分)A．- D. B.x=- C． C．y=1/2 D．y=-1/2f(xf’(x0)=0f(x)x=x0 see B．secC．tan D．tan D.4+e-第一分非選擇題 (本大題共5小題，每小題4分，共20分)四、綜合題(本大題共4小題，第21、22、23小題各6分，第24小題7分，共25分)計算二重積分，，其中D是由直線x=1、y=1及x軸、y軸所圍成的平面區(qū)域2015年4月高等教育 3l00l50第一部分為選擇題。必須對應(yīng)試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應(yīng)代碼涂黑第二部分為非選擇題。必須注明大、小題號，使 毫米黑色字跡簽字筆作答一、單項選擇題(本大題共l0小題，每小題330分) D.(1，+∞)A．- D. C. 一l B.0 B．- D.- D. B. D.A.(-∞，一1) D.(-∞，+∞)10．設(shè)，則f(x)= B．x2 D.二、簡單計算題(本大題共5小題，每小題4分，共20：求常數(shù)a的值，使函數(shù)在x=0處連續(xù)四、綜合題(本大題共4小題，第21、22、23小題各6分，第24小題7分，共25Q(萬件)的總成本函數(shù)c(9=5Q+200(TJX=1、x=2y=1、y=2的平面圖形為D．高等數(shù)學(xué)（一）試卷3l00l50分鐘。第一部分為選擇題。必須對應(yīng)試卷上的題號使 鉛筆將“答題卡”的相應(yīng)代碼涂黑 一、單項選擇題(本大題共l0小題，每小題3分，共30分)20144月高等教育 B.ln6- D.ln6 1設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且 x,則導(dǎo)數(shù)xA.xC.)=f(x,yxyf11)=

B.-D.-1y1C. x

x y

B.xD.x2x函數(shù)f(x)=sinx+cosx奇函 B.偶函 y=ln(x2)與 B.y=tan(2x)與x2xy=x

y=x-1

x設(shè)函數(shù)f(x)=2x2，g(x)=sinx，則當(dāng)x→0B.f(x)是比g(x)低階的無窮小量D.f(xg(x)是等價無窮小量 4xa,x<設(shè)函數(shù)f

x

2x=2處連續(xù)，則x 設(shè)y=y(x)是由方程xy3=y-1所確定的隱函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)

x0A.- 已知函數(shù)y=acosx+1cos2x(其中a為常數(shù))在 處取得極值，則 設(shè)函數(shù)f(x)=lnxxA.f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)減 B.f(x)在(0，e)內(nèi)單調(diào)減少C.f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增 D.f(x)在(0，e)內(nèi)單調(diào)增 求極限 設(shè)函f(xx=0處可導(dǎo)f(0)=1,f′(x)=2.用導(dǎo)數(shù)定義求極限limf(x)1x 12設(shè)函數(shù)f(x)滿足 ，且f(1)=2,求12求曲線y=x3-3x2-1的拐已知極限 x

x=e2，求常數(shù)k的值xx求拋物線y=x2上一點，使該點的切線平行于直線y=4x-求極限 ln(1x)x

02

計算二重積分 1dxdy，其中D是由直線y=x，y=1 x=5所圍成的平Dyln設(shè)D是由拋物線y=1-x2與x軸所圍成的平面區(qū)域，如圖所示.求DxVx.23.(本小題6分) z1 3計算定積分I= 30201310月高等教育 C．e2x

A．y=xsin B．y=xcosC．y=sinx+cos D．y=x(sinx+cos =【Cx3 B．3C．21f(xx

D．2 設(shè)函數(shù)f(x)=arctan(x2)，則導(dǎo)數(shù)f(1)=【C】A．-

B．2 ln(x極限 =【Cx A．-2C．2

f(x)dx g(x)dx f(x)dx=g(x) g(x)dx=f(x)10．設(shè)函數(shù)z=ln(x2+y2)，則z z=【A】 x

xy 11．已知函數(shù)f(x+1)=x2+2x，求f(x)．sin(x2 x0 求函y=ex22x的單調(diào)區(qū)間．求不定積 11x21求a的值，使得函數(shù)f(x)= 2x) x0在x=0處連續(xù)a x 求曲線 的水平和鉛直漸近線x設(shè)z=z(x，y)是由方程z3-3xyz-1=0所確定的隱函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)z z 計算定積分I=1e1xdx0求微分方程 0滿足初始條件y|=1的特解 計算二重積分 xydxdy，其中D是由直線y=2x、x=l及曲線y=x2圍成的平面區(qū)域D20137月高等教育20134月高等教育一、單項選擇題（5210）A.f(x)為奇函 B.f(x)為偶函 f 設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(1)=0,f(1)=2，則 x 設(shè)函f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f(x)<0,f(b)>0,則在[a,b]上 C.恒等于 D.有正有微分方程 =0的通解y C. D.1設(shè)極限lim(12x) ea，則常數(shù)xA.- 1 2

2二、填空題（本大題共10330）

1 35 2n12n1 函數(shù)f(x)= 2+ln(5-x)的定義域 q x

+2，則微分 f(x)=asinx1cos3x3

3處取得極值，則常數(shù) 曲線y=x3-3x+1的拐點坐標(biāo) 設(shè)f′(x)=1-x,且f(0)=1,則 3x3設(shè)函數(shù)f(x)在 )上連續(xù)，且對任意的x， tf 40，則 2

（設(shè)函數(shù)

2(xaaaax

x,確定常數(shù)a的值，使得f(x)在x=0處連續(xù)xln(2

101

求極限x

cosx設(shè)函數(shù)f(x,y)=xy,求全微分d

ln0

exdx（d2 計算二重積分 xydxdy，其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區(qū)域Dx設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(cos ,f(0)=-2,求x某商品的銷售量x(噸)與p(萬元/噸)滿足關(guān)系x=35-5p,際1（萬元，求該商品獲最大利潤時的銷售量及價格.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且

xf

tf(t)dt，證

f(t)dt 設(shè)函數(shù) x x，貝A. B．x(x-C.(x+1)(x- D．(x-1)x0時函f(xx2limfx)x0 B．2 設(shè)函數(shù)f 1，則高階導(dǎo)數(shù)f(12) x= x

3 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，

tf(t)dt, (x)xA.xf B．a(chǎn)C．-x D．-af二、填空題（本大題共10330）2x設(shè)函數(shù) ，則f(x)的定義域 71極限lim 2x2x2 x某商品需求量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系為Q=150-2P2，則P=6時的邊際需求 函數(shù) x2在區(qū)間［0，1］上滿 日中值定理的中 4函數(shù) 1在區(qū)間［-1,1］上的最小值 3極限 sin x0(1x)ln(1定積

1xcos 1微分方程 y的通解 x xdx C，則 設(shè)函數(shù)z=esinxy， y（e3cos2x,x討論函數(shù)f 在x=0處的連續(xù)性(13x)x,x設(shè)函數(shù) earcsinx，求d求不定積 xe-2xdx1,x 設(shè)函數(shù)f 1，計算定積 1f(x)dx1x,x計算二重積 xdxdy，其中區(qū)域D由曲線 1 x2及直線x=2圍成 （設(shè)函數(shù) ln1 1arctanx2,求 1x dxx求曲線 xe2x的凹凸區(qū)間及拐點計算定積 dx設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一定量的某產(chǎn)品時可用兩種原料，第一種為x（千噸，第二種為y（千噸，其電能消耗量 2xy2 4x6y證明當(dāng)x>0時，arctan x-x32012年10月高等數(shù)學(xué)（一）試題在區(qū)間( )內(nèi)，下列函數(shù)的sin B.xsinC.sinx+cos 1已知極限lim

設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，則極限limf 2x)f(x0f(x0

Vx

f(x02f(x0 f F(x)C, f(sinx)cos

D.2f(x0A.F(sinx)sin B.f(sinx)sinC.F(sin D.f(sin C.連 D.可二、填空題（本大題共10330） ，則復(fù)合函數(shù)f[f 11極限limln(1+x) x 1某產(chǎn)品產(chǎn)量為q時總成本

q2,則 100時的邊際成本 極限limx1 x1xlnsin曲線 的鉛直漸近線 1已知直線l與x軸平行且與曲線 ex相切，則切點坐標(biāo) 函數(shù)f x2)在區(qū)間[-1,2]上的最小值 設(shè)函數(shù)

2tcostdt, (x) 0函數(shù) y2)的定義域 設(shè)函數(shù) ey

，則z

（求極限 x sin已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f a, f(sinx)，求g(0)1設(shè)函數(shù) xx 0),求設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，且f 0，判斷曲線 ef(x)在區(qū)間I上的凹凸性計算不定積 x 1)dx（ln 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值x求微分方程 0滿足初始條件x

1x計算二重積分 ysindxdy,其中區(qū)域D由直線 x,x0,y1圍成 23過點（1,2）作拋物線 1的切線，設(shè)該切線與拋物線及y軸所圍的平面區(qū)域為D的面D繞xVx設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(sin sinx,f 0,證明f 1ln 1cos2 2012年4月高等教育一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)函數(shù)y=f(x)的圖形如圖所示，則它的值域為( 1A.C.e

1解：lim x

f f(1設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且lim 1，則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為 xxC.-D.-解：f')x

x

f(1)f(1 x

的漸近線的條數(shù)為 (x 因為 0，則原曲線有水平漸近線 (x因為 ,則原曲線有豎直漸近線x1(x 1

1

21 1 知識點：-公式二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分2,|x|設(shè)函數(shù)f ,則f 1,|x|解：f[f(1f33已知lim

e3，則 答案：-Qim

3

33n

e 若級 un的前n項和 n 2n12解： lim lim n 解：d[ef(x) （1，1）y' 由 0解得 因為當(dāng)x0y"0,當(dāng)x0y"當(dāng)x1y"0,當(dāng)x1y"函數(shù)f arctanx在閉區(qū)間[-1,1]上的最大值 答案4由fx)

1 1

0解得函數(shù)駐點 0,無不可導(dǎo)又f(- -1-，f(0)0，f(1) 所以函數(shù)在的最大值是d

2sin2udu 02sind2解

sin2udu2sin 2微分方程x(y 0的階數(shù)是2答案 設(shè) {(x,y)| 4}，則二重積 D解 dxdyD設(shè)函數(shù)f(x, ln(

y，則偏導(dǎo)數(shù)

(0, yfy

三、計算題（一（本大題共5小題，每小題5分，共25分 設(shè)函數(shù)f ecos，求導(dǎo)數(shù)f(x)x 答案

x2sin

2xx

f ex2cos1 2xex2cos 1ex2sin x 1 1 2x 求極限limtanxx

x0sinxlimx0sinx

limx0sinx

sec2x

sec2xx0cosx x0cosxlim2sec2xtan

tan2x2

x0cosx x0cos2

x 221 求函數(shù)f 的極值 答案：極大值為f 2，極小值為f 3解：由f 4x (x1)(x 0解得函數(shù)駐點為 1,Qf 2xf 2"(3)2 1是函數(shù)的極大值點，極大值為f 3是函數(shù)的極小值點，極小值為f 3當(dāng)x1時，fx)0,當(dāng)1x3時，f(x)0,則x1是函數(shù)的極大值點，極大值為f1)2當(dāng)1x3時，fx)0,當(dāng)x3時，fx)則x3是函數(shù)的極小值點，極小值為f3)3計算無窮限反常積分I

3 6x

dx2解：I 3 6x dx x32arctanx 計算二重積分I 2y)dxdy，其中D是由直線x+y=1及兩個坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域，如圖所示D56法一:I (3x2D11

法二:I 2D113x2y05

3x2y05 四、計算題（二（本大題共3小題，每小題7分，共21分3sin x確定常數(shù)a,b的值，使函數(shù)f 在點x=0處可導(dǎo)aln(1x)b 答案解：Qf'(0)3cos xf x又Qf f lim3sinx=0=f(0)=bxp ；24 pQ'

解：

120.5

24 由R(12 10

12p0.52故p=12是R(P)的最大值點，最大值為22計算定積分I0

dx答案4設(shè)x=sint，當(dāng) 0時 0,當(dāng) 2時 ,x=sint在 上單調(diào)， 2I sin2tcost sec2t1dttantt 224 0cos3 五、應(yīng)用題（本題9分1設(shè)曲線 與直線y=4x,x=2及x軸圍成的區(qū)域為x 答案 2ln2 1 2

法一 (4x 0)dx2x2 lnx 2ln 12

21

法二：A= )dy+ 2 2

ln 2121V 1 1V2 (4x)0

()1 2六、證明題（本題5分證明：y x y2 Q y2xf'xx2yf'yyzx 2xyf'u 2012年1月2011年10月高等數(shù)學(xué)（一）試題）A. A.- 曲線y=x3在點（1，1）處的切線斜率為 設(shè)函數(shù)f ，則f(0) 1A.-B.-） e1 11

11 2已知f(x 1,則f 2 設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且y=f(x2)， 1設(shè)函y4

x2函數(shù) x x)的單調(diào)增加區(qū)間 23函數(shù)f 12x在[-3,3]上的最大值 32設(shè)函數(shù)f(x)sinx, 22由曲線 x與直線y=1所圍成的平面圖形的面積等 2定積

(|x|sin 1設(shè)二元函數(shù) xy,則 （ 設(shè)函數(shù) , xln(117求極限lim x 1求曲線 e2的凹凸區(qū)間2xarctan求不定積 dx1z=z(x,ysinz=xyz所確定的隱函數(shù)，求,.求微分方程 xycosx的通解計算定積分

02x02x計算二重積分 (1x2)ydxdy,其中D是由圓x2+y2=1與x軸、y軸所圍成的第一象限的區(qū)域D設(shè)某廠每周生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸時的邊際成本為C 8（元/噸，固定成本為100元x；六、證明題（本題5分）證明：方程x-2sinx=0一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分函數(shù)f(x) ln|x B.(1,+錯誤!未找到源。)C.[0,+錯誤!未找到引用源。) sinx B.xsinC. sin D.1cos設(shè)函數(shù)f(x）在點x處可導(dǎo)，則limf x f(x0) 2f(x

1f(x

Vx

1f(x 2f(x 2函數(shù)f(x)= 1的極小值點為 A.x=- B. C.x=錯誤!未找到源 D.不存 設(shè)函數(shù)z=1x2y2，則偏導(dǎo) x 2x2(1x2y2

B.錯誤!未找到源

(1x2y2

D.錯誤!未找到源已知函數(shù)f 2x，則f(x) 數(shù)列極限lim2n1 設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q件時的總成本為 Q2（元，則當(dāng)Q=20件時的邊際成本已知f x，則微分df(ex)函數(shù)f xe2x的單調(diào)增加區(qū)間

(x

微分方程定積分y 0的階數(shù)

x|x dx22設(shè)函數(shù) yf(x)，其中f(x)可微，且fz

f 1，則該函數(shù)在點（1，1）處的全微分dz|(1,1)y設(shè) z（x，y）是由方程 所確定的隱函數(shù)，則偏導(dǎo) x三、計算題（一（本大題共5小題，每小題5分，共25分1求極限lim(1sin2xxx求函數(shù) 12x10在閉區(qū)間[0，4]上的最大值和最小值 sin求極限 x 求曲線 2xesintdt在點（0，0）處的切線方程0求無窮限反常積分 0e2 e2四、計算題（二（本大題共3小題，每小題7分，共21分求函數(shù)f x2(sinlnxcoslnx)的二階倒數(shù)f(1)1求曲線y1x2在閉區(qū)間（0，+錯誤!未找 計算二重積分 xdxdy，其中D是由直線 2x，y3x與x軸所圍成的區(qū)域D五、應(yīng)用題（本題9分設(shè)D是由曲線 lnx，直線 e及x軸圍成的平面區(qū)域，如圖所示24 acos acos bsin 設(shè)a，b為常數(shù)，證 2a2sin2xb2cos2

設(shè)函數(shù)f(x)=lg2x,則f(x)+f(y)= yA.f(xC.

xcos,

B.f(x-D.設(shè)函數(shù)f ,則下列結(jié)論正確的是 xA.f’(0)=- B.fC.f D.f’(0曲線 1的漸近線的條數(shù)是 1 已知f(x)是2x的一個原函數(shù),且

1,則 ln2A. B. ln lnC.2xln2+C(C是任意常數(shù) 設(shè)二元函數(shù)f(x, sinxy,則f' 函數(shù)f 的定義域是 函數(shù)f(x)=ln(x2-2x+1)的間斷點的個數(shù) 設(shè)函數(shù)y=xsinx2,則 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個單位時的總成本函數(shù)為C(x)=100+x+x2,則在x=10時的邊際成本 5曲線 2)3的拐點

4

已 a 64,則 設(shè)函數(shù)f 2xcost2dt,則f 0設(shè)二元函數(shù)z=sinxy,則全微分 三、計算題（一）(本大題共5小題，每小題5分，共25試確定常數(shù)a的值,使得函數(shù)f

(1ax)

2x 0x=0處連續(xù)x求曲線y=ex+xcos3x在點(0,1求極限mxsinxx0e2x 求微分方程y x滿足初始條件y|=4的特解1設(shè) exdx, exdx,,試比較I與I的大小1 設(shè)函數(shù)f(x)=xarcsin2x,求二階導(dǎo)數(shù)求曲線y=3-x2與直線y=2x所圍區(qū)域的面積計算二重積分 y)dxdy,其中積分區(qū)域D是由曲線x2+y2=1與x軸所圍的下半圓D五、應(yīng)用題(本題9求收益R與P的函數(shù)關(guān)系求成本C與P的函數(shù)關(guān)系六、證明題(本題5設(shè)函數(shù) ,證明 2 y z 2011年1月高等數(shù)學(xué)（一）試題函數(shù)f(x)= A．[- C．[- D．[-xksin1,x

在x=0處連續(xù)，則常數(shù)k的取值范圍為 x 曲線 3的水平漸近線為 xy=- B．y=- 1 e定積 dx 1 B．e 若f(x,y)0,f(x,y)0，則點(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的 x y 極小值 B．極大值C．最值 D．駐xf

，則 x

的間斷點 6設(shè)函數(shù)y=sin(2x+2x)，則dy= x1極限 x1xln曲線y=ln(1+x2)的凹區(qū)間 22

x2dx xsint2極限lim = x

edx 22設(shè)二元函數(shù)z=cos(2y-x), x（ 求極限 .x sinx x已知f(x)的一個原函數(shù)是ex2, xf'(求微分方程y＇+y=0在初始條件y(0)=1計算二重積分 2dxdy,其中D是由直線y=2-xD拋物線y=x2所圍成的平面（設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x2)arctanx,求f(x)的三階導(dǎo)數(shù)1求函f(xxex2的極值五、應(yīng)用題（本題9分）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品III,銷售單價分別為109元,生產(chǎn)x件產(chǎn)品I與生產(chǎn)y件產(chǎn)品II的總費C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2 設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo), f(),證明: 0 201010月高等教育5210設(shè)函數(shù)f 3x的反函數(shù)為g(x)，則g(10)=（ (11)A.xB.sinxexxC.limx(x D.limarctan 已知曲線 2x在點M處的切線平行于x軸，則切點M的坐標(biāo)為（ f F(x)C，則不定積 2xf(2x)dx F(2xCln

2若函數(shù) z(x,y)的全微分 sin xcosydy，則二階偏導(dǎo) xsinC.cos

sinD.cos設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0，4]，則f(x2)的定義域是 2n

，則產(chǎn)量q=120時的邊際成本 8

1

在x=0處的微分

ln x

設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，則方程 0的實根個數(shù) d導(dǎo)數(shù)

xt(t dx定積

2|x1dx 0二元函數(shù)f(x，y)=x2+y4-1的極小值 設(shè)y=y(x)是由方程e-xy=e所確定的隱函數(shù)，則導(dǎo) sin設(shè)函數(shù)f ，問能否補(bǔ)充定義f(0)使函數(shù)在x=0處連續(xù)?并說明理由|x求極限limx2x

設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+2在x=0處取得極值，且其圖形上有拐點(-1，4)，求常數(shù)a，b，c的值求微分方程 2)2 y2)的通解1求不定積 dx設(shè)函數(shù)f(x)=sine-x，求f f f(0)1計算定積分 12

2x1dx計算二重積分 (x2 1)dxdy，其中D是由直線y=x，y=2-x及y軸所圍成的區(qū)域D在一天內(nèi)，某用戶t時刻用電的電流為求電流I(t

1

2 )，其中 24六、證明題(本題5分)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間[-a，a]上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f(- 證明

f a

g(x)dx02010年7月高等數(shù)學(xué)（一）試題若f(x)為奇函數(shù),且對任意實數(shù)x恒有f(x+3)-f(x-1)=0,則 - 3極限lim ) 若曲線y=f(x)在x=x0處有切線,則導(dǎo)數(shù) 等于 C.不存 4 設(shè)函數(shù)y=(sinx),則導(dǎo) 若f＇(x)=(x>0),則 x1 若f(x+1)=x2-3x+2,則 無窮級數(shù)

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1的和 21,f(x)=1,則導(dǎo)數(shù)f＇(x 1若導(dǎo)數(shù)f＇(x0)=10,則極限 h0f f(x0函數(shù)f(x)=5 1)2的單調(diào)減少區(qū)間 函數(shù)f(x)=x4-4x+3在區(qū)間[0,2]上的最小值 微分方程y〃+x(y＇)3+siny=0的階數(shù) 2定積

|x|sin 2dx 導(dǎo) dx

.,則偏導(dǎo)數(shù)z （設(shè)y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所確定的隱函數(shù),求微分dy. ex 求極限 x tanx計算無窮限反常積分

x

dx 2 2設(shè)函z=arccotx,求二階偏導(dǎo)數(shù)x2,xy設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為ex2,求不定積 計算二重積分

e(xxD

dxdy,其中D是由曲線y=x2-1及直線y=0,x=2所圍成的區(qū)(1)求該產(chǎn)品的收益函數(shù)R(q)；證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,12010年1月高等教育

x1的定義域為 2 C.（- D.（-要使無窮 aqn（a為常數(shù)，a≠0）收斂，則 n 函數(shù)f 2x 1在x=1處的導(dǎo)數(shù)為 x D函數(shù)y=x2-ln(1+x2)的極小值為 .

1 lnx lnx 1 11設(shè)f1limarctanx

0，g(x)=x2+1,則 x.