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3.2雙曲線第三章圓錐曲線的方程目錄二、知識(shí)講解三、小結(jié)四、練習(xí)一、上節(jié)回溯一、上節(jié)回溯橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)稱性頂點(diǎn)橢圓的定義橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程范圍離心率橢圓橢圓的簡單幾何性質(zhì)3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程二、知識(shí)講解我們知道,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2
的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.一個(gè)自然的問題是:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么?下面我們先用信息技術(shù)探究一下.二、知識(shí)講解
如圖,在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A,B,P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).在平面內(nèi),取定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,以點(diǎn)F1
為圓心、線段PA為半徑作圓,再以F2
為圓心、線段PB為半徑作圓.我們知道,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),如果|F1F2|<|AB|,那么兩圓相交,其交點(diǎn)M的軌跡是橢圓;如果|F1F2|>|AB|,兩圓不相交,不存在交點(diǎn)軌跡.探究3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程PAlBPA=3.92MF1=3.92PB=0.93MF2=0.93PA+PB=4.85MF1+MF2=4.85PF1F2MM′二、知識(shí)講解如圖,在|F1F2|>|AB|的條件下,讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng),這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿足什么幾何條件?兩圓的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀?探究3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程AlBPA=5.97MF1=5.97PB=1.12MF2=1.12PA-PB=4.85MF1-MF2=4.85PF1F2MM′二、知識(shí)講解我們發(fā)現(xiàn),在|F1F2|>|AB|的條件下,點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F1
時(shí),|MF2|-|MF1|=|AB|;當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F2時(shí),|MF1|-|MF2|=|AB|.總之,點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值|AB|是一個(gè)常數(shù)(|AB|<|F1F2|).這時(shí),點(diǎn)M的軌跡是不同于橢圓的曲線,它分左右兩支.
一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(hyperbola).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程二、知識(shí)講解類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程,我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,得出雙曲線的方程?探究觀察我們畫出的雙曲線,發(fā)現(xiàn)它也具有對(duì)稱性,而且直線F1F2
是它的一條對(duì)稱軸,所以我們?nèi)〗?jīng)過兩焦點(diǎn)F1
和F2
的直線為x軸,線段F1F2
的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系Oxy.3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程xyOMF2F1二、知識(shí)講解設(shè)M(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),那么,焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2
的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0),又設(shè)||MF1|-|MF2||=2a(a為大于0的常數(shù)).3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程xyOMF2F1
二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程從上述過程可以看到,雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程②的解;以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)的距離之差的絕對(duì)值都是2a,即以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上.我們稱方程②是雙曲線的方程,這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)分別是F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)的雙曲線,這里c2=a2+b2.二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么??思考
xyOMF2F1二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.分析:先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀.由聲速及A,B兩處聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間差,可知A,B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值,所以爆炸點(diǎn)在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)靠近B處的雙曲線的一支上.xyOPBA二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
利用兩個(gè)不同的觀測點(diǎn)A,B測得同一點(diǎn)P發(fā)出信號(hào)的時(shí)間差,可以確定點(diǎn)P所在雙曲線的方程.如果再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C,利用B,C(或A,C)兩處測得的點(diǎn)P發(fā)出信號(hào)的時(shí)間差,就可以確定點(diǎn)P所在另一雙曲線的方程.解這兩個(gè)方程組成的方程組,就能確定點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置,這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.二、知識(shí)講解3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
探究xyOMBA二、知識(shí)講解3.2.2
雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
?思考二、知識(shí)講解1.范圍類比研究橢圓范圍的方法,觀察雙曲線,我們發(fā)現(xiàn)雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是x≤-a,或x≥a,縱坐標(biāo)的范圍是y∈R(如圖).
xyOx=-aF2F1x=a二、知識(shí)講解2.對(duì)稱性
二、知識(shí)講解3.頂點(diǎn)類比求橢圓頂點(diǎn)的方法,在方程①中,令y=0,得x=±a,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0).因?yàn)閤軸是雙曲線的對(duì)稱軸,所以雙曲線和它的對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),它們叫做雙曲線的頂點(diǎn).令x=0,得y2=-b2,這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)解,說明雙曲線和y軸沒有公共點(diǎn),但我們也把B1(0,-b),B2(0,b)兩點(diǎn)畫在y軸上(如圖).
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長;線段B1B2
叫做雙曲線的虛軸,它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長.xyObF2F1aA1B1A2B2
探究二、知識(shí)講解4.漸近線
可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM越來越大,d越來越小,但是d始終不等于0.xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知識(shí)講解4.漸近線
xyOdF2F1QA1B1A2B2M二、知識(shí)講解4.漸近線
二、知識(shí)講解5.離心率
橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度,雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征??思考
用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的“張口”大小嗎?它與用離心率刻畫“張口”大小有什么聯(lián)系和區(qū)別??雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大?。⒅R(shí)講解例3求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.
二、知識(shí)講解例4雙曲線型冷卻塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(圖(1)).它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線的方程(精確到1m).(1)xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知識(shí)講解
xyOA′BAB′C′C131225(2)二、知識(shí)講解
二、知識(shí)講解
xyOMFHld二、知識(shí)講解
xyOMFHld
將例5與橢圓一節(jié)中的例6比較,你有什么發(fā)現(xiàn)??思考二、知識(shí)講解
解:由
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