2022年浙江省江山市高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點E為邊CD上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.2.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.103.若復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.5.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數(shù),則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列的通項公式為,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項和為()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在直線上,則等于()A. B. C. D.9.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.11.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.12.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.14.記數(shù)列的前項和為,已知,且.若,則實數(shù)的取值范圍為________.15.已知集合,,則________.16.已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線的左焦點在直線上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.18.(12分)設(shè)數(shù)列,其前項和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項和,并求證:.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.20.(12分)已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點,底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.22.(10分)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大?。唬?)若,求的值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時,上式取最小值,選A.點睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。2.D【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標(biāo)分別為,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點與坐標(biāo)原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.3.C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù),對應(yīng)的兩點間的距離,由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,所以,其中,故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義,由復(fù)數(shù)的幾何意義,將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的距離求值即可,屬于基礎(chǔ)題型.4.D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5.C【解析】

先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結(jié)果,兩個球的號碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率,考查獨立重復(fù)試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗,利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.6.A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.7.D【解析】

由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項相消即可求解.【詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.8.C【解析】

由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項.【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.10.B【解析】

易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.11.C【解析】

根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡,由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時,,解得.所以.因為,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時,,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.15.【解析】

利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得,即為所求斜率.【詳解】,,解得:,即在處的切線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)16.【解析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換;(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意:曲線的直角坐標(biāo)方程為:,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因為直線的直角坐標(biāo)方程為:,又因曲線的左焦點為,將其代入中,得到,所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點為,,,,所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為:,所以當(dāng)時,即時,橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.【點睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,極徑的應(yīng)用,考查學(xué)生的求解運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.18.(1),;(2)詳見解析.【解析】

(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,即.)19.(1);(2)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關(guān)系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當(dāng)時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當(dāng)時,,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時,,所以當(dāng)和時,;當(dāng)時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;③當(dāng)時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時,,所以和時,;時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關(guān)系分類討論即可.屬于常考題.20.(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)公差為,列出關(guān)于的方程組,求解的值,即可得到數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,即可利用裂項相消求解數(shù)列的和.試題解析:(1)設(shè)公差為.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考點:等差數(shù)列的通項公式;數(shù)列的求和.21.(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】

(Ⅰ)由題知,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計算,證明,從而平面PAC,即可得證;(Ⅱ)求解平面PDE的一個法向量,計算,即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一個法向量,計算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【詳解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)設(shè)為平面PDE的一個法向量,又,則,取,得,直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)設(shè)為平面PBE的一個法向量,又則,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點睛】本題主要考查了平面與平面的垂直,直線與平面所成角的計算,二面角大小的求解,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,考查了學(xué)生的空間想象能力與運算求解能力.22.(1)(2)【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方

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