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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.2.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.3.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.364.若集合,則()A. B.C. D.5.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.206.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.7.設(shè)拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.38.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④9.已知點,是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數(shù) B.,a為任意非零實數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b10.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.111.已知集合,,則A. B. C. D.12.設(shè)集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.14.展開式中的系數(shù)為_______________.15.的展開式中的常數(shù)項為_______.16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.18.(12分)已知直線與橢圓恰有一個公共點,與圓相交于兩點.(I)求與的關(guān)系式;(II)點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.若當(dāng)時,的面積取到最大值,求橢圓的離心率.19.(12分)已知橢圓的右頂點為,為上頂點,點為橢圓上一動點.(1)若,求直線與軸的交點坐標(biāo);(2)設(shè)為橢圓的右焦點,過點與軸垂直的直線為,的中點為,過點作直線的垂線,垂足為,求證:直線與直線的交點在橢圓上.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓的短軸長為,離心率,其右焦點為.(1)求橢圓的方程;(2)過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.2.B【解析】
由三視圖判斷出原圖,將幾何體補形為長方體,由此計算出幾何體外接球的直徑,進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.4.A【解析】
先確定集合中的元素,然后由交集定義求解.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查求集合的交集運算,掌握交集定義是解題關(guān)鍵.5.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運算,屬基礎(chǔ)題.6.B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.7.A【解析】
分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準(zhǔn)線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準(zhǔn)線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點的距離來求解.8.B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.9.A【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點,則由點到直線距離公式可得,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點到直線距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.12.C【解析】
解對數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【點睛】本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
把按照二項式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
寫出展開式的通項公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時,對應(yīng)的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數(shù)項為.
故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)的取值.16.【解析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點睛】本題考查隨機事件的概率,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.詳見解析【解析】
選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因為,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.【點睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.18.(Ⅰ)(II)【解析】
(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時,的面積取到最大值,可得,進而可得原點到直線的距離,再由點到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡整理,得;(Ⅱ)因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時,的面積取到最大值,此時,從而原點到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,以及橢圓的簡單性質(zhì),通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理、判別式等求解,屬于中檔試題.19.(1)(2)見解析【解析】
(1)直接求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出點坐標(biāo),從而可得直線方程,得其與軸交點坐標(biāo);(2)設(shè),則,求出直線和的方程,從而求得兩直線的交點坐標(biāo),證明此交點在橢圓上,即此點坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗證即可.注意分和說明.【詳解】解:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合,(1)由題知,,則.因為,所以,則直線的方程為,聯(lián)立,可得故.則,直線的方程為.令,得,故直線與軸的交點坐標(biāo)為.(2)證明:因為,,所以.設(shè)點,則.設(shè)當(dāng)時,設(shè),則,此時直線與軸垂直,其直線方程為,直線的方程為,即.在方程中,令,得,得交點為,顯然在橢圓上.同理當(dāng)時,交點也在橢圓上.當(dāng)時,可設(shè)直線的方程為,即.直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得,化簡并解得.將代入中,化簡得.所以兩直線的交點為.因為,又因為,所以,則,所以點在橢圓上.綜上所述,直線與直線的交點在橢圓上.【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題方法是解析幾何的基本方程,求出直線方程,解方程組求出交點坐標(biāo),代入曲線方程驗證點在曲線.本題考查了學(xué)生的運算求解能力.20.(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時,直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點到的距離為則.當(dāng)時,的最大值為所以;當(dāng)時,的最大值為,所以.綜上所述,或【點睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.21.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.22.(1);(2).【解析】
(1)由已知短軸長求出,離心率求出關(guān)系,結(jié)合,即可求解;(2)當(dāng)直線的斜率都存在時,不妨設(shè)直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長公式求出,斜率為,求出,得到關(guān)于的表達式,根據(jù)表達式的特點
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