人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）講義全

...wd......wd......wd...八年級(jí)上冊(cè)講義第十一講三角形11.1與三角形有關(guān)的線段11.1.1三角形的邊11.1.2-11.1.3三角形的高、中線、角平分線及三角形的穩(wěn)定性11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角11.2.2三角形的外角11.3多邊形及其內(nèi)角和教學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題11【知識(shí)精要】1．三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．2．三角形的表示通常用三個(gè)大寫字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用A、B、C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此三角形可記作△ABC，其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊，∠A、∠B、∠C分別表示三角形的三個(gè)內(nèi)角．3．三角形中的三種重要線段三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段．〔1〕三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．注意：①三角形的角平分線是一條線段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過(guò)角的頂點(diǎn)且平分此角的一條射線．②三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．③三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法一樣，可以用量角器畫，也可通過(guò)尺規(guī)作圖來(lái)畫．〔2〕三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．注意：①三角形有三條中線，且它們相交三角形內(nèi)部一點(diǎn)．②畫三角形中線時(shí)只需連結(jié)頂點(diǎn)及對(duì)邊的中點(diǎn)即可．〔3〕三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．注意：①三角形的三條高是線段②畫三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊上的高．〔二〕三角形三邊關(guān)系定理①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段即可〔三〕三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性．例如起重機(jī)的支架采用三角形構(gòu)造就是這個(gè)道理．三角形內(nèi)角和性質(zhì)的推理方法有多種，常見的有以下幾種：〔四〕三角形的內(nèi)角結(jié)論1：三角形的內(nèi)角和為180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°〔1〕構(gòu)造平角①可過(guò)A點(diǎn)作MN∥BC(如圖)②可過(guò)一邊上任一點(diǎn)，作另兩邊的平行線〔如圖〕〔2〕構(gòu)造鄰補(bǔ)角，可延長(zhǎng)任一邊得鄰補(bǔ)角〔如圖〕構(gòu)造同旁內(nèi)角，過(guò)任一頂點(diǎn)作射線平行于對(duì)邊〔如圖〕結(jié)論2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．表示：如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°〔因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°〕注意：①在三角形中，兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角如：在△ABC中，∠C=180°－〔∠A+∠B〕②在三角形中，三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角．如：△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．〔五〕三角形的外角1．意義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD為△ABC的一個(gè)外角，∠BCE也是△ABC的一個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角，大小相等．2．性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.如圖中，∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)3．外角個(gè)數(shù)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角〔相等〕，可見一個(gè)三角形共有六個(gè)外角．〔六〕多邊形①多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線②n邊形的內(nèi)角和為〔n－2〕×180°③多邊形的外角和為360°考點(diǎn)11.對(duì)下面每個(gè)三角形，過(guò)頂點(diǎn)A畫出中線，角平分線和高. 考點(diǎn)21、以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是().A．三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)B．三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)C．三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)D．三角形的三條高可能相交于外部一點(diǎn)2、以下四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖形是()3．如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC邊上的高，假設(shè)沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)D處，那么∠B等于〔〕A．25°B．30°C．45°D．60°4.如圖4，AB=AC=BD，那么∠1和∠2之間的關(guān)系是〔〕A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°5.如圖5，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且=4，那么等于()A．2B.1C.D.6.如圖7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中線。7.如圖6，BD=，那么BC邊上的中線為______，=__________。8.如圖，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一條角平分線，那么∠DAC=0，∠ADB=09.如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，那么根據(jù)圖形填空：⑴BE==；⑵∠BAD==⑶∠AFB==900；8題8題DCADDCBA10.如圖在△ABC中，∠ACB=900，CD是邊AB上的高。那么圖中與∠A相等的角是〔〕A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC11.在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是角平分線，求∠A及∠BDC的度數(shù)〔12.，如圖，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度數(shù)13.如圖，在△ABC中，D,E分別是BC，AD的中點(diǎn)，=4，求.__E_D_B_C_A考點(diǎn)31.關(guān)于三角形的邊的表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔〕A、三邊互不相等B、至少有兩邊相等C、任意兩邊之和一定大于第三邊D、最多有兩邊相等2.△ABC中，∠A=200，∠B=∠C，那么三角形△ABC是〔〕A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形3.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是個(gè)數(shù)有〔〕①如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是１∶２∶３，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角，那么這么三角形是直角三角形；③如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤假設(shè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，那么這個(gè)三角形是直角三角形；⑥在ABC中，假設(shè)∠A＋∠B=∠C，那么此三角形是直角三角形。BCADBCADE4.一個(gè)多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有個(gè)銳角5.如圖是一副三角尺拼成圖案，那么∠AEB＝_________°.考點(diǎn)41.以下每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是()A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm2.以下長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是〔〕A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，103.等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為3,7，那么它的周長(zhǎng)為()A、13B、17C、13或17D、不能確定4.△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范圍是________________.5.長(zhǎng)為11，8，6，4的四根木條，選其中三根組成三角形有種選法，它們分別是6.一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8㎝和3㎝，那么它的周長(zhǎng)為7.a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a-b+c|+|a-b-c|.考點(diǎn)51.不是利用三角形穩(wěn)定性的是()A、自行車的三角形車架B、三角形房架C、照相機(jī)的三角架D、矩形門框的斜拉條2.以以下列圖形中具有穩(wěn)定性的有〔〕A、正方形B、長(zhǎng)方形C、梯形D、直角三角形3.裝飾大世界出售以下形狀的地磚：eq\o\ac(○,1)正方形；eq\o\ac(○,2)長(zhǎng)方形；eq\o\ac(○,3)正五邊形；eq\o\ac(○,4)正六邊形。假設(shè)只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有〔〕A.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)B.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)C.eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)D.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)4.以以下列圖形中具有穩(wěn)定性有〔〕A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)5、如圖，一扇窗戶翻開后用窗鉤AB可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是()A、三角形的穩(wěn)定性B、兩點(diǎn)確定一條直線C、兩點(diǎn)之間線段最短D、垂線段最短6.橋梁拉桿，電視塔底座，都是三角形構(gòu)造，這是利用三角形的性；考點(diǎn)61.△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，那么∠B=0，∠C=02.如圖，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試說(shuō)明∠A與∠P的大小關(guān)系3如圖4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；考點(diǎn)71、等腰三角形的一個(gè)外角是120°，那么它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等邊三角形D.等腰鈍角三角形2、如果三角形的一個(gè)外角和與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和為180°，那么與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為()A.30°B.60°C.90°D.120°3、三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2∶3∶4，那么它的最大內(nèi)角的度數(shù)().A.90°B.110°C.100°D.120°4、如圖，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A、∠B>∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠AC、∠B+∠ACB<180°D、∠HEC>∠B5、假設(shè)一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是().A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、無(wú)法確定6、如圖，假設(shè)∠A=100°，∠B=45°，∠C=38°，那么∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°7、如圖，∠1=______.8、如圖，那么∠1=______,∠2=______,∠3=______,9、等腰三角形的一個(gè)外角為150°，那么它的底角為_______.10、如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度數(shù).考點(diǎn)81．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，這個(gè)多邊形是〔〕A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形2．一個(gè)多邊形內(nèi)角和是10800，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〔〕A、6B、7C、8D、93．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，它是〔〕A、四邊形B、五邊形C、六邊形D、八邊形4、一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和增加()A.180°B.360°C.(n-2)·180°D.n·1805、假設(shè)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相加是1800°，那么此多邊形是()A、八邊形B、十邊形C、十二邊形D、十四邊形6、正方形每個(gè)內(nèi)角都是______，每個(gè)外角都是_______。7、多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，那么從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出的對(duì)角線有條。8、六邊形共有_______條對(duì)角線，內(nèi)角和等于__________，每一個(gè)內(nèi)角等于_______。9、內(nèi)角和是1620°的多邊形的邊數(shù)是______。10、如果一個(gè)多邊形的每一外角都是24°，那么它是______邊形。11、將一個(gè)三角形截去一個(gè)角后，所形成的一個(gè)新的多邊形的內(nèi)角和________。12、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是5∶2，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______。13、一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,所得的新多邊形的內(nèi)角和為2520°,那么原多邊形有____條邊。14.一個(gè)十邊形中九個(gè)內(nèi)角的和的度數(shù)是12900，那么這個(gè)十邊形的另一個(gè)內(nèi)角為度15、.如圖，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°,∠DEF=80°．1〕觀察直線AB與直線DE的位置關(guān)系，你能得出什么結(jié)論并說(shuō)明理由；〔2〕試求∠AFE的度數(shù)．16、閱讀材料，并填表：_(3)_(2)_(1)B_A__(3)_(2)_(1)B_A_C_P_1_P_1_C_A_B_P_2_P_2_B_A_C_P_1_P_3完成下表△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123…1002構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)35…考點(diǎn)91.以下正多邊中，能鋪滿地面的是〔〕A、正方形B、正五邊形C、等邊三角形D、正六邊形2.以下正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是〔〕A、正六邊形和正三角形B、正三角形和正方形C、正八邊形和正方形D、正五邊形和正八邊形3.以下正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是().A.正六邊形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八邊形和正方形D.正五邊形和正八邊形4.用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有()種.A、1B、2C、3D、45.某裝飾公司出售以下形狀的地磚：①正方形；②長(zhǎng)方形；③正五邊形；④正六邊形.假設(shè)只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有()種.A、1B、2C、3D、46.小李家裝修地面，已有正三角形形狀的地磚，現(xiàn)打算購(gòu)置另一種不同形狀的正多邊形地磚，與正三角形地磚在同一頂點(diǎn)處作平面鑲嵌，那么小李不應(yīng)購(gòu)置的地磚形狀是()A、正方形B、正六邊形C、正八邊形D、正十二邊形7.用正三角形和正四邊形作平面鑲嵌，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍，可以有___個(gè)正三角形和___個(gè)正四邊形。__第1個(gè)_第3個(gè)_第?2個(gè)(2)第n個(gè)圖案中有白色地磚_______塊.__綜合101.如圖，在△ABC中，∠B,∠C的平分線交于點(diǎn)O.ABCO(1)假設(shè)∠A=500ABCO(2)設(shè)∠A=n0〔n為數(shù)〕，求∠BOC的度數(shù).AABCD2.某零件如以下列圖，圖紙要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，當(dāng)檢驗(yàn)員量得∠BDC=145°，就斷定這個(gè)零件不合格，你能說(shuō)出其中的道理嗎3.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分線,AD、CE交于F點(diǎn).當(dāng)∠BAC=80°,∠B=40°時(shí),求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度數(shù).4.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的面積；(2)CD的長(zhǎng)；〔3〕作出△ABC的邊AC上的中線BE，并求出△ABE的面積；〔4〕作出△BCD的邊BC邊上的高DF，當(dāng)BD=11cm時(shí)，試求出DF的長(zhǎng)。5.在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度數(shù).6.如以下列圖，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度數(shù)．7.如圖：AB∥CD，直線交AB、CD分別于點(diǎn)E、F，點(diǎn)M在EF上，N是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)N不與F重合〕〔1〕當(dāng)點(diǎn)N在射線FC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，說(shuō)明理由〔2〕當(dāng)點(diǎn)N在射線FD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與有什么關(guān)系并說(shuō)明理由.8.圖1-4-27，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分線BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度數(shù).9.：如圖5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB邊上的中線對(duì)嗎?說(shuō)明理由．10.：如圖5—131，在△ABC中有D、E兩點(diǎn)，求證：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．11.如圖18，AB∥CD，AD∥BC，∠A的2倍與∠C的3倍互補(bǔ)，BE平分∠ABC，求∠A，∠DEB的度數(shù)

12.如圖19，，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB與DF平行嗎為什么13.如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．〔1〕∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度數(shù)；〔2〕在△BED中作BD邊上的高；(3〕假設(shè)△ABC的面積為40，BD=5，那么點(diǎn)E到BC邊的距離為多少(1)11⑵⑶(1)11⑵⑶⑵⑵⑶(1)15.探究規(guī)律：如圖，直線∥，A、B為直線上的兩點(diǎn)，C、P為直線上的兩點(diǎn)?！?〕請(qǐng)寫出圖中面積相等的各對(duì)三角形：______________________________?！?〕如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在上移動(dòng)，那么無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：與△ABC的面積相等；理由是：nnmOBAPC八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形單元測(cè)試題選擇題1．以下長(zhǎng)度的三條線段中，能組成三角形的是〔〕A、3cm，5cm，8cmB、8cm，8cm，18cmC、0.1cm，0.1cm，0.1cmD、3cm，40cm，8cm2．假設(shè)三角形兩邊長(zhǎng)分別是4、5，那么周長(zhǎng)c的范圍是〔〕A.1<c<9B.9<c<14C.10<c<18D.無(wú)法確定3．假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其周長(zhǎng)滿足，那么這樣的三角形有〔〕A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)4．一個(gè)多邊形內(nèi)角和是10800，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〔〕A、6B、7C、8D、95．，如圖，AB∥CD，∠A=70°，∠B=40°，那么∠ACD=〔〕A、55°B、70°C、40°D、110°第5題圖DC第5題圖DCBA第6題圖第6題圖第7題圖第7題圖6．如以下列圖，△ABC為直角三角形，∠B=90°，假設(shè)沿圖中虛線剪去∠B，那么∠1+∠2等于〔〕A、90°B、135°C、270°D、315°2_B_C_A_2_B_C_A_O1A、90°B、130°C、270°D、315°8．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，那么∠BOC等于〔〕第8題圖A.95°B.120°C.135°D.無(wú)法確定第8題圖9．在△ABC中，D，E分別為BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC,那么圖中面積相等的三角形有〔〕A.4對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.7對(duì)10．能把一個(gè)任意三角形分成面積相等的兩局部是〔〕A.角平分線B.中線C.高D.A、B、C都可以11．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為，這個(gè)三角形一定是〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形12．如圖四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是〔〕ABCDABCD13．三角形的一個(gè)外角是銳角，那么此三角形的形狀是〔〕A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無(wú)法確定二、選擇題1.銳角三角形的三條高都在，鈍角三角形有條高在三角形外，直角三角形有兩條高恰是它的。2.假設(shè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和8cm，那么它的周長(zhǎng)是。3.要使六邊形木架不變形，至少要再釘上根木條。4.在△ABC中，假設(shè)∠A=∠C=∠B，那么∠A=，∠B=，這個(gè)三角形是。5.如圖2，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE=ED=DC，∠1=∠2，那么eq\o\ac(○,1)AD是△ABC的邊上的高，也是的邊BD上的高，還是△ABE的邊上的高；eq\o\ac(○,2)AD既是的邊上的中線，又是邊上的高，還是的角平分線。6.假設(shè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6cm和8cm，且第三邊的邊長(zhǎng)為偶數(shù)，那么第三邊長(zhǎng)為。7.a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a－b＋c|＋|a－b-c|=_____________。8.等腰三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為2cm和7cm，那么三角形的周長(zhǎng)是.9.在以下條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有第15題圖第15題圖10.如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的值為 11.如圖，假設(shè)∠A＝70°，∠ABD＝120°，那么∠ACE＝第11題圖1第11題圖1234第10題圖12.如圖，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，那么∠E=BBEACD三、解答以下各題1．如圖直線AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D。〔7分〕

2．如圖，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CABDEFCD⊥CABDEF3.如圖在△ABC，AD是高線，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC=50°，∠C=70°,求∠DAC與∠BOA的度數(shù)。4如圖，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各內(nèi)角的度數(shù).5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，外角∠EAB，∠ABF的平分線AD、BD相交于點(diǎn)D，求∠D的度數(shù).DD6．如圖9：∠ACD是△ABC的外角，BE平行∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點(diǎn)E。求證：〔1〕∠E＝∠A.第十二講全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定閱讀與思考全等與全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)教學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題11【知識(shí)精要】能夠____________的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。用符號(hào)“≌〞表示全等。全等三角形的性質(zhì)：_______相等、_______相等、_______相等、___________相等。全等三角形的判定：①邊邊邊〔SSS〕_____________________________________________________________②邊角邊〔SAS〕_____________________________________________________________③角邊角〔ASA〕_____________________________________________________________④角角邊〔AAS〕_____________________________________________________________⑤斜邊直角邊〔HL〕___________________________________________________________4、角平分線的做法⑴以O(shè)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；⑵分別以M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，在∠AOB的內(nèi)部?jī)苫〗挥邳c(diǎn)C；⑶過(guò)O、C兩點(diǎn)作射線OC，那么射線OC就是所求的角的平分線。作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMC≌△ONC〔SSS〕5、角平分線的性質(zhì)：________________________________________________________。即角平分線→距離相等6、角平分線的判定：_________________________________________________________。即距離相等→角平分線【方法破譯】證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵,就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，在根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，在設(shè)法對(duì)它們進(jìn)展證明；證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)展證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這是需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移，翻轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，等倍延長(zhǎng)中線，截取等等.有角平分線時(shí)通常通過(guò)以下幾種情況構(gòu)造全等三角形?！窘?jīng)典考例】如圖，AB∥EF∥CD,∠ABC＝90°,AB＝CD.那么圖中有全等三角形﹙﹚A.5對(duì)B.4對(duì)C.3對(duì)D.2對(duì)【變式題組】以下判斷中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等如圖，AB＝DC，AE＝DF，CE＝FB，求證：AF＝DE?！咀兪筋}組】如圖，AD﹑BE是銳角△ABC的高,相交于點(diǎn)O,假設(shè)BO＝AC,BC＝7,CD＝2,那么AO的長(zhǎng)為()A．2B.3C.4D.5〔第1題圖〕〔第2題圖〕〔第3題圖〕2.如圖，在△ABC中,AB＝AC，∠BAC=90°，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，那么BD=〔〕.3.:如上圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,過(guò)E點(diǎn)作AC的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:AB=FC.例3.如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置,點(diǎn)B(E),C,D在同一條直線上時(shí),∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是.⑵當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí),⑴中的結(jié)論成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由_________.圖①圖②圖③【變式題組】1.如圖,D,E分別為△ABC的AC,BC邊上的中點(diǎn),將此三角形沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處,假設(shè)∠CDE=48°,那么∠PAD等于()A.42°B.48°C.52°D.58°2.如圖,Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CF第1題圖第2題圖第3題圖3.一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如以以下列圖形式，使點(diǎn)B,F,C,D,在同一直線上.⑴求證：AB⊥ED：⑵假設(shè)PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形,并證明.【例4】，如圖，BD，CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB。求證：⑴AP=AQ；②AP⊥AQ.【例5】如圖，OD平分∠AOB,在OA，OB邊上截取OA=OB，PM⊥BD,PN⊥AD.求證：PM=PN.【變式題組】如圖,CP,BP分別平分△ABC的外角∠BCM,∠CBN.求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.如圖,BD平分∠ABC,AB=BC,點(diǎn)P是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),PM⊥AD,PN⊥CD.求證:PM=PN.☆【例6】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求證:CE=BD☆【變式題】如圖,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線,AD,CE相交于點(diǎn)F.⑴請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;⑵求證:AE+CD=AC.【根基演練】一、選擇題1．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊B．全等三角形兩對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角C．如果兩個(gè)三角形都與另一個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形也全等D．等邊三角形都全等2.在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，假設(shè)證⊿ABC≌⊿A/B/C/還要從以下條件中補(bǔ)選一個(gè)，錯(cuò)誤的選法是〔〕A.∠B=∠B/B.∠C=∠C/C.BC=B/C/D.AC=A/C/3.以下各組條件中，不能判定△ABC≌△ABC的一組是〔〕A、∠A=∠A,∠B=∠B,AB=ABB、∠A=∠A，AB=AB，AC=ACC、∠A=∠A，AB=AB，BC=BCD、AB=AB,AC=AC,BC=BC4．如圖,小明把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是〔〕A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去5．如圖.從以下四個(gè)條件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，那么最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．有以下條件：①一銳角與一邊對(duì)應(yīng)相等；②兩邊對(duì)應(yīng)相等；③兩銳角對(duì)應(yīng)相等。其中能判斷兩直角三角形全等的是〔〕ABCEDGFA．①ABCEDGF7．如以下列圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊上的高，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)F、E，EG⊥BC于G，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．∠C=∠ABCB.BA=BGC.AE=CED.AF=FD8．如果兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角〔〕A、相等B、不相等C、互余D、互補(bǔ)或相等9．以下命題中：⑴形狀一樣的兩個(gè)三角形是全等形；⑵在兩個(gè)三角形中，相等的角是對(duì)應(yīng)角，相等的邊是對(duì)應(yīng)邊；⑶全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等，其中真命題的個(gè)數(shù)有()A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、0個(gè)10．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，那么S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于〔〕A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰511.兩個(gè)三角形只有以下元素對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)三角形全等的是〔〕A.兩角和一邊B.兩邊及夾角C.三個(gè)角D.三條邊12.以下說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是〔〕A.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；B.一條邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C.有兩個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等13．以下命題中正確的選項(xiàng)是〔〕A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中線相等C．全等三角形的角平分線相等D．全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等14．以下各條件中，不能作出惟一三角形的是〔〕A．兩邊和夾角B．兩角和夾邊C．兩邊和其中一邊的對(duì)角D．三邊15.以下說(shuō)法中：①如果兩個(gè)三角形可以依據(jù)“AAS〞來(lái)判定全等，那么一定也可以依據(jù)“ASA〞來(lái)判定它們?nèi)龋虎谌绻麅蓚€(gè)三角形都和第三個(gè)三角形不全等，那么這兩個(gè)三角形也一定不全等；③要判斷兩個(gè)三角形全等，給出的條件中至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等．正確的選項(xiàng)是ADCB圖16EF〔〕A．①和②B．②和③ADCB圖16EF16．如圖16，AD是的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，連結(jié)BF，CE．以下說(shuō)法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正確的有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)17．直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個(gè)三角形的關(guān)系是〔〕A．形狀一樣B．周長(zhǎng)相等C．面積相等D．全等EDACB圖18EDACB圖18A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠DAE=40°D．∠C=30°19.如圖,△ABC中,AB=AC.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,那么以下結(jié)論中:①AD上任意一點(diǎn)到B,C的距離相等;②AD上任意一點(diǎn)到AB,AC的距離相等;③AD⊥BC且BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正確的選項(xiàng)是().A.②③B.②④C.②③④D.①②③④20.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=30°,∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交與E點(diǎn),那么∠AEB的度數(shù)為().A.50°B.45°C.40°D.35°21.如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,給出以下結(jié)論:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是()A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④第19題圖第20題圖第21題圖二、填空題1.，如圖：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說(shuō)明ΔABC≌ΔDEF(1)假設(shè)以“SAS〞為依據(jù)，還要添加的條件為______________；(2)假設(shè)以“ASA〞為依據(jù)，還要添加的條件為______________；2.如圖:AE∥BF,∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的條件是__________。3題圖ENCBAMCE3題圖ENCBAMCEFBAD2題圖1題圖4．如以下列圖：要測(cè)量河岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標(biāo)桿，然前方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處90°沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測(cè)得A、B的距離為_____米。5．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,AE＝3,CF＝4,ABDC那么SABDC6．如以下列圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，假設(shè)AB=2，AC=4，那么AD的取值范圍是7．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分線交BC于D，且BD︰DC=5︰3，那么D到AB的距離為_____________．8.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD.假設(shè)AC=3,那么AE+DE=_________.9.①如圖,BA⊥AC,CD∥AB,BC=DE,且BC⊥DE,假設(shè)AB=2,CD=6,那么AE=__________.第9題圖第10題①圖第10題②圖②.如圖，BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC﹑AC和AB的垂線QM﹑QN和QK,垂足分別為M﹑N﹑K,那么QM﹑QN﹑QK的關(guān)系是____________.三、解答題11．AC=FE，BC=DEA、D、B、FABC≌△FDE應(yīng)增加什么條件并根據(jù)你所增加的條件證明：ABC≌△FDE。111題圖ABCDMNABCDMNO1212題圖13.如圖,AC⊥BC,DF⊥F,AB=DE,B、E、C、F，在同一直線上，且BE=CF,求證:AB∥DE113題圖14.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，AB與CD相等嗎請(qǐng)你說(shuō)明理由.114題圖15.:如圖,點(diǎn)B,E,C,F在同一直線上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求證:ΔABC≌ΔDEF16.如圖，．求證：．17.如以下列圖，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求證：BE=DF。18.如圖,AB=CD,AB∥CD,BC=12cm,同時(shí)有P,Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā),沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行時(shí)間t為多少時(shí),△APB≌△DQC.19.如圖，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE。(1)請(qǐng)說(shuō)明∠1=∠C(2)猜想并說(shuō)明DE和DC有何特殊關(guān)系20.如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．ADECBFADECBF21.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過(guò)C作CF⊥AE,垂足為F,過(guò)B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D.⑴求證:AE=CD;⑵假設(shè)AC=12cm,求BD的長(zhǎng).22.如圖在和中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上,有下面四個(gè)論斷：〔1〕AD=CB，〔2〕AE=CF，〔3〕，〔4〕AD//BC.請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，并寫出解答過(guò)程.AAEBCFD22題圖23.如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AM⊥CD于點(diǎn)M，求證：CM=DM。24.AB⊥BC，AD⊥DC，且BC=DC，求證：∠ABD＝∠ADB25.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：〔1〕△ABC≌△ADC；〔2〕BO＝DO．DDCBAO123426.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E。求證：∠ACE=∠B+∠ECD27．〔2008年泰安市〕兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．圖1圖2圖1圖2DCEAB〔2〕證明：DC⊥BE．【能力提升】1、以下各圖中，不一定全等的是〔〕A．有一個(gè)角是45°腰長(zhǎng)相等的兩個(gè)等腰三角形B.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形C.有一個(gè)角是100°，腰長(zhǎng)相等的兩個(gè)等腰三角形D.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形。2、如圖，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，那么圖中全等三角形的組數(shù)是〔〕A.3B.4C.5D.63、〔山東濰坊〕如圖,△ABC的六個(gè)元素,那么下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是〔〕A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙4、如圖，中，，，是高和的交點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)度為〔〕DCBAEHA．B．4C． D．5DCBAEH5、(多項(xiàng)選擇)以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等6、〔多項(xiàng)選擇〕在△ABC與△DEF中，給出以下六個(gè)條件：〔1〕AB=DE；〔2〕BC=EF；〔3〕AC=DF；〔4〕∠A=∠D；〔5〕∠B=∠E；〔6〕∠C=∠F，以其中三個(gè)條件為，能判斷△ABC與△DEF全等的是〔〕Ａ．〔1〕〔5〕〔2〕Ｂ．〔1〕〔2〕〔3〕Ｃ．〔4〕〔6〕〔1〕Ｄ．〔2〕〔3〕〔4〕7、如圖，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2B．1:3C．2:3D．1:48、以下說(shuō)法中：①如果兩個(gè)三角形可以依據(jù)“AAS〞來(lái)判定全等，那么一定也可以依據(jù)“ASA〞來(lái)判定它們?nèi)?；②如果兩個(gè)三角形都和第三個(gè)三角形不全等，那么這兩個(gè)三角形也一定不全等；③要判斷兩個(gè)三角形全等，給出的條件中至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等．④有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的的兩個(gè)直角三角形全等。正確的選項(xiàng)是〔〕A．①和②B．②和③C．①③④D．①②③9、如以下列圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，假設(shè)∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，那么∠α的度數(shù)為〔〕A．80°B．100°C．60°D．45°．10、如圖的△BDC′是將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊得到的，圖中〔包括實(shí)線，虛線在內(nèi)〕共有全等三角形〔〕A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)☆11、如圖，△ABC的三條角平分線AD、BE、CF交于點(diǎn)G，那么與∠EGC互余的角是〔〕A.∠CGD B．∠FAG C.∠ECG D.∠FBG12、如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，假設(shè)∠A∶∠C＝5∶3，那么∠DBC等于〔〕A．3O° B．25° C．20° D．15°第14題圖13、如圖，OA=OB,OC=OD,以下①∠A=∠B②DE=CE③連接DE，那么OE平分∠AOB,正確的選項(xiàng)是〔〕A.①②B.②③C.①③D.①②③14、如以以下列圖，AC與BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周長(zhǎng)為25㎝，△AOD的周長(zhǎng)為17㎝，那么AB=〔〕A、4㎝B、8㎝C、12㎝D、無(wú)法確定15、：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么圖中共有全等三角形〔〕A．5對(duì)B．4對(duì)C．3對(duì)D．2對(duì)ADEADECB16題FG17題圖18題圖16、如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE,∠1=∠2=∠3,那么DE的長(zhǎng)等于〔〕。A.DCB.BCC.ABD.AE+AC17、如右圖，在中，平分，于，假設(shè)，那么的周長(zhǎng)為．18、在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：∠B=∠C=90，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖，那么∠EAB是多少度大家一起熱烈地討論交流，小英第一個(gè)得出正確答案，是______．19、如圖,點(diǎn)P在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AC=AD20如圖,在正方形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),F是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AF=AE,△ABE≌△ADF.⑴在圖中,可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；⑵線段BE與DF有什么關(guān)系證明你的結(jié)論.21、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠EDF+∠BAF=180°，求證：DE=DF。22、如圖，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于E，求證：BC垂直且平分DE.23、如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：〔1〕AD=AG，〔2〕AD與AG的位置關(guān)系如何。24.如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求證：BE+DF=AE。25.在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑴的位置時(shí),求證:DE＝AD＋BE⑵當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑵的位置時(shí),求證:DE＝AD－BE;⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑶的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系.【挑戰(zhàn)自我】1.以下有四個(gè)命題，其中真命題的是〔〕A.兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等B.兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2在△ABC中,高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BH=AC，那么∠ABC=______.3如圖,EB交AC與點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)D,AB交FC于點(diǎn)N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.給出以下結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN=△ABN;④CD=DB.其中正確的結(jié)論有___________.(填序號(hào))第5題圖第4題圖第3題圖4.如圖,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的平分線,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).:DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的長(zhǎng)為χ(cm),那么χ的范圍是___________.5如圖,AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分別為E﹑F﹑G,且PF=PG=PE,那么∠BPD=_______.6.如圖,AB∥CD,O為∠CAB﹑∠ACD的平分線的交點(diǎn),OE⊥AC,且OE=2,那么兩平行線AB﹑CD間的距離等于_______.第6題圖第7題圖7.如圖,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足為P,EF的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于G,求證:∠G=(∠ACB-∠B).8.如圖,△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:AB-AC＞DB-DC.9.如圖,△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P﹑Q分別在BC﹑AC上,并且AP﹑BQ分別在∠BAC,∠ABC的角平分線上,求證:BQ+AQ=AB+BP.10.如圖,在凸四邊形ABCD中,E為△ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.求證：∠CED=90°.11將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F。⑴求證：AF+EF=DE;⑵假設(shè)將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在⑴中猜想的結(jié)論是否仍然成立；⑶假設(shè)將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③，你認(rèn)為⑴中猜想的結(jié)論還成立嗎假設(shè)成立，寫出證明過(guò)程；假設(shè)不成立，請(qǐng)寫出AF，EF和DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。圖①圖②圖③12.如圖，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°.AH⊥BC于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G。求證：GD=GE。第十三講軸對(duì)稱13.1軸對(duì)稱13.2畫軸對(duì)稱圖形13.3等腰三角形13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題13【知識(shí)精要】1、如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。說(shuō)明：軸對(duì)稱圖形是一個(gè)______圖形，它被對(duì)稱軸分成的兩局部_______；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是___條，也可以是___條，甚至是________條。2、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果___________________________________，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是_________，折疊后_________________是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。說(shuō)明：軸對(duì)稱的前提是_________________________________________。3、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么__________相等，_______相等。4、性質(zhì)1：___________________________________________________________________。性質(zhì)2：____________________________________________________________________。5、線段垂直平分線的性質(zhì)：______________________________________________________。6、線段垂直平分線的判定：_____________________________________________________。7、由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換。作軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是________________________________________。8、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)：______不變，_______互為______；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)：_____不變，________互為_______。9、知識(shí)點(diǎn)關(guān)鍵構(gòu)造全等三角形的方法等腰三角形的定義________________________頂角與底角關(guān)系邊的多解分析構(gòu)造等腰三角形的方法①平行線構(gòu)造②三線合一的構(gòu)造③截長(zhǎng)補(bǔ)短法等腰三角形的性質(zhì)：⑴_(tái)__________；⑵____________底邊上中線、高、頂角平分線是常用輔助線等腰三角形的判定：⑴定義；⑵等角對(duì)等邊等邊三角形的性質(zhì)⑴_(tái)______；⑵______________；⑶___________________由60°角猜想30°角的直角三角形與等邊三角形構(gòu)造等邊三角形的方法①60°角構(gòu)造②120°角構(gòu)造等邊三角形的判定：⑴定義；⑵三個(gè)角都相等的三角形；⑶有一個(gè)角是60°的等腰三角形【方法破譯】當(dāng)條件中出現(xiàn)了等腰三角形﹑角平分線﹑高〔或垂線〕，或求幾條折線段的最小值等情況時(shí),通?？紤]作軸對(duì)稱變換,以“補(bǔ)齊〞圖形,集中條件.等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法:⑴從定義入手,證明一個(gè)三角形有兩條邊相等;⑵從角入手,證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,依據(jù)是等腰三角形判定定理;等角對(duì)等邊.構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線+平行線=等腰三角形⑵角平分線+垂線(或高)=等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形⑴⑵⑶⑷【經(jīng)典考例】【例1】如圖,將一個(gè)直角三角形紙片ABC(∠ACB=90°),沿線段CD折疊,使點(diǎn)B落在B1處,假設(shè)∠ACB1=70°,那么∠ACD=()A.30°B.20°C.15°D.10°【例2】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,EF是AD的垂直平分線,E為垂足,EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:∠B=∠CAF.【變式題組】如圖,點(diǎn)D在△ABC的BC邊上,且BC=BD+AD,那么點(diǎn)D在______的垂直平分線上.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC于E,且AE=EC,假設(shè)AB=3cm,那么DC=_______cm。如圖,在△ABC中,∠BAC=126°,DE,FG分別為AB,AC的垂直平分線,那么∠EAG=________.△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線交AC于F,假設(shè)AB=12cm,△BCF的周長(zhǎng)為20cm,那么△ABC的周長(zhǎng)是_________cm.第1題圖第2題圖第3題圖【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，D在BC的上，且AD=BD，AC=CD，求∠B的度數(shù)?！咀兪筋}】1.如以下列圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度數(shù)。2.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度數(shù).3.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA.求∠A的大小.☆【例4】如圖，在△ABC中，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D，求證：DE=DF。☆【例5】如圖，△ABD為等邊三角形，∠BCA=60°，求證：AC=BC+CD☆【例6】如圖，△ABC中，∠A=90°，CA=AB，CE⊥EB于E，BE平分∠CBA交EB于D.求證：BD=2CE。AAEDCB【例7】坐標(biāo)原點(diǎn)O在點(diǎn)A(2,-2),B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn).假設(shè)△AOB是等腰三角形,那么這樣的點(diǎn)B一共有()個(gè)A.4B.5C.6D.8【變式題組】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),A(3,-3),點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),那么使△AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)2.如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn),∠BEG＞60°,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊,使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處,連接AH,那么與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為〔〕A.4B.3C.2D.13.如以下列圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=4，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合〕，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有〔〕A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)☆【例8】在兩個(gè)全等的含30°﹑60°角的三角板ADE和三角板ABC如以下列圖放置，E﹑A﹑C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME﹑MC.試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由.【變式題組】2.如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°,D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF交AD于C⑴求證:AD⊥CF;⑵連接AF,試判斷△ACF的形狀,并說(shuō)明理由.【根基演練】一、選擇題1．以以下列圖案是軸對(duì)稱圖形的有〔〕A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)2．將寫有字“B〞的字條正對(duì)鏡面，那么鏡中出現(xiàn)的會(huì)是〔〕A、B、C、D、3．以下英文字母屬于軸對(duì)稱圖形的是〔〕〔A〕N〔B〕S〔C〕H〔D〕F4．以以下列圖形中對(duì)稱軸最多的是〔〕〔A〕圓〔B〕正方形〔C〕等腰三角形〔D〕線段第6題5．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕第6題A、等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B、頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等C、等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D、等腰三角形的兩個(gè)底角相等6．如圖，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，假設(shè)BC=8cm，AB=10cm，那么△EBC的周長(zhǎng)為〔〕A、16cmB、28cmC、7．等腰三角形的一個(gè)角是80°，那么它的底角是〔〕A、50°或80°B、80°C、50°D、20°或80°8.束光線從點(diǎn)Ａ〔３，３〕出發(fā)，經(jīng)過(guò)ｙ軸上點(diǎn)Ｃ反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｂ〔１，０〕那么光線從Ａ點(diǎn)到Ｂ點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是〔〕Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７

9．等腰三角形的一個(gè)角是40°，那么它的頂角是〔〕〔A〕40°〔B〕100°〔C〕40°或100°〔D〕70°或50°10．假設(shè)等腰三角形腰上的高是腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的底角是〔〕A、75°或15°B、75°C、15°D、75°和30°11、以下命題中真命題的個(gè)數(shù)是〔〕。①如果等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到底邊兩端距離相等，那么過(guò)這個(gè)點(diǎn)與頂點(diǎn)的直線必垂直于底邊；②如果把等腰三角形的底邊向兩個(gè)方向延長(zhǎng)相等的線段，那么延長(zhǎng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離相等；③等腰三角形底邊中線上一點(diǎn)到兩腰的距離相等；④等腰三角形高上一點(diǎn)到底邊的兩端點(diǎn)的距離相等。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)12、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，〔2，-2〕，在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，那么符合重要條件的點(diǎn)有〔〕。A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)13、A〔2，3〕，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B，B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)是C，那么相當(dāng)于將A經(jīng)過(guò)〔〕的平移到了C。A、向左平移4個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位。B、向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位。C、向右平移4個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位。D、向下平移6個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位。14、P〔x，y〕的坐標(biāo)滿足等式〔x-2〕2+|y-1|=0,且點(diǎn)P與P′〔x′,y′〕關(guān)于y軸對(duì)稱，那么x′，y′的對(duì)應(yīng)值為〔〕A、-2，1B、2，-1C、2，1D、-2，-115、桌面上有A、B兩球，假設(shè)要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，那么如以下列圖8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有〔〕個(gè).〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕616、以下語(yǔ)句中正確的有〔〕句.①關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定能重合；②兩個(gè)能重合的圖形一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；③一個(gè)軸對(duì)稱圖形不一定只有一條對(duì)稱軸；④兩個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在對(duì)稱軸的兩側(cè).〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕417、∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,P1與P關(guān)于OB對(duì)稱,P2與P關(guān)于OA對(duì)稱,那么P1,O,P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是()(A)直角三角形(B)鈍角三角形(C)等腰三角形(D)等邊三角形二、填空題1、△ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，那么△ABC的形狀是。第3題第2題2、如圖，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么圖中等腰三角形有________個(gè).第3題第2題3、如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，那么△4、點(diǎn)A〔a，-2〕和B〔3，b〕當(dāng)滿足條件時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱?！驳?題〕CBDEA5、A〔m,-n〕，那么A到x軸距離為，到y(tǒng)軸距離為。與點(diǎn)A〔第7題〕CBDEA6、A〔2，b〕，B〔a,-4〕，假設(shè)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，那么a，b為和；假設(shè)AB∥x軸，那么a，b；假設(shè)AB∥y軸，那么a，b。7、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論：〔1〕BD平分∠ABC；〔2〕AD=BD=BC；〔3〕△BDC的周長(zhǎng)等于AB+BC；〔4〕D是AC中點(diǎn)。其中正確的命題序號(hào)是。三、作圖題1、如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河岸a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站M，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站M建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)〔保存作圖痕跡〕2、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，〔1〕作出AB邊的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，ACACB〔2〕以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周長(zhǎng)等于AB+BC；④D點(diǎn)是AC中點(diǎn)；3、如圖14-9所示，△ABC和直線MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱.〔不要求寫作法，只保存作圖痕跡〕4、(1)如以下列圖編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)三角形中，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為；關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為；6題圖(2)在圖4中，畫出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C6題圖四、解答題1、如圖，要在公路MN旁修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站P，分別向A、B兩個(gè)開發(fā)區(qū)運(yùn)貨?！?〕假設(shè)要求貨站到A、B兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應(yīng)建在那里〔2〕假設(shè)要求貨站到A、B兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離和最小，那么貨站應(yīng)建在那里〔分別在圖上找出點(diǎn)P，并保存作圖痕跡，寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明.〕第〔2〕題圖M第〔2〕題圖MN.A.B第〔1〕題圖MN.A.BABCDFE2、如圖：△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上有一個(gè)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=ABCDFE3、如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B+∠C=120°,求∠BAD的度數(shù).4、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=CF.求證：AD⊥BC．5、如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，求證：DF=EF．6、如圖:△ABC和△ADE是等邊三角形.證明：BD=CE.7、如圖：等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)。8、如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出以下四個(gè)條件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.〔1〕上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形〔用序號(hào)寫出所有情形〕；〔2〕選擇第〔1〕小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形.9、如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，求證：AD垂直平分EF?！灸芰μ嵘?、如圖，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪下，那么所得圖形大致是〔〕2、以下各對(duì)字母中，前后不能構(gòu)成