數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)

數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)第一部分?jǐn)?shù)學(xué)建模概況

唐代大詩人王之渙有一首著名詩篇：白日依山盡

黃河入海流

欲窮千里目

更上一層樓

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，要站在多高的“一層樓”上呢?

以地球中心為原點(diǎn)，向上方向?yàn)榭v軸建立直角坐標(biāo)系．從地球表面算起，設(shè)應(yīng)站高度為x，那么根據(jù)題設(shè)，該點(diǎn)到地球表面的切線長應(yīng)為500km．

則依據(jù)題意，并利用勾股定理有解得解決問題的思路、方法、步驟：做出了合理的簡化：1.人眼能看很遠(yuǎn)；2.樓房可以修的很高；3.地球近似為球體。進(jìn)行了抽象：用數(shù)學(xué)符號表示相關(guān)變量應(yīng)用數(shù)學(xué)物理知識、方法建立了方程（模型）：利用數(shù)學(xué)工具求解（方程）回答現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）一般地說，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用一些適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。1.

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的語言去近似地刻畫實(shí)際問題，并加以解決。樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只，這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題。正確答案應(yīng)該是9只，是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不重要了，重要的是過程。真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題。體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的案例：“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是?！薄皹屄曈卸啻?？”“80－100分貝?！薄澳蔷褪钦f會震的耳朵疼？”“是?！薄霸谶@個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯?！薄澳_定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有?！薄坝袥]有關(guān)在籠子里的？”“沒有?！薄斑吷线€有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有?！薄坝袥]有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有?！薄按蝤B的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只?！薄坝袥]有傻的不怕死的？”“都怕死。”“會不會一槍打死兩只？”“不會?！薄八械镍B都可以自由活動嗎？”“完全可以?！薄叭绻幕卮饹]有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩?！辈皇情_玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂智者千慮，絕無一失！

建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：

可靠性和使用性

建模的一般方法：◆機(jī)理分析◆測試分析方法

機(jī)理分析：根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。

2.

數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟

測試分析方法：

將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。

在實(shí)際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實(shí)際不符合實(shí)際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會效益實(shí)際問題抽象、簡化、假設(shè)確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并用數(shù)學(xué)方法、計算機(jī)求解用實(shí)際問題的實(shí)測數(shù)據(jù)等來檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型建模過程示意圖2.

數(shù)學(xué)建模步驟3.

數(shù)學(xué)模型及其分類模型

數(shù)學(xué)模型是模型的一種形式，屬理想模型（又稱為抽象模型），是將現(xiàn)實(shí)事物設(shè)定在一種理想狀態(tài)，依據(jù)對事物所關(guān)心的目標(biāo)，找出相關(guān)的主要因素，分析其內(nèi)在聯(lián)系，將目標(biāo)及全部相關(guān)因素符號化、數(shù)量化；用數(shù)學(xué)的方法把這種關(guān)系表述出來（圖形、圖像、數(shù)表、解析式），這種數(shù)學(xué)表述形式就是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的分類：

◆按研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、概率模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等?！舭囱芯繉ο蟮膶?shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會模型等。3.

數(shù)學(xué)模型及其分類

競賽的規(guī)模越來越大數(shù)量逐年增大覆蓋面越來越大競賽的水平不斷地提高賽題水平的提高學(xué)生參賽水平的提高

越來越受到各個高校和學(xué)生的重視

一次參賽，終身受益衡量一個大學(xué)培養(yǎng)質(zhì)量的重要指標(biāo)

賽題越來越復(fù)雜（綜合性、實(shí)用性、即時性）海量數(shù)據(jù)處理全國高校規(guī)模最大的學(xué)生課外科技活動！4.

CUMCM概況與趨勢歷年全國數(shù)學(xué)建模賽題及常用方法剖析賽題

解法93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計擬合、規(guī)劃93B足球隊排名

矩陣論、圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃94A逢山開路

圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃94B鎖具裝箱問題

圖論、組合數(shù)學(xué)95A飛行管理問題非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、層次分析法、PETRI方法、圖論方法、排隊論方法

96A最優(yōu)捕魚策略

微分方程、優(yōu)化96B節(jié)水洗衣機(jī)非線性規(guī)劃97A零件的參數(shù)設(shè)計田口方法、非線性規(guī)劃97B截斷切割的最優(yōu)排列動態(tài)規(guī)劃、圖論模型、隨機(jī)模擬98A一類投資組合問題多目標(biāo)優(yōu)化、非線性規(guī)劃、模糊線性規(guī)劃

98B災(zāi)情巡視的最佳路線圖論、組合優(yōu)化、線性規(guī)劃99A自動化車床管理

隨機(jī)優(yōu)化、計算機(jī)模擬99B鉆井布局0-1規(guī)劃、圖論、非線性規(guī)劃

00ADNA序列分類

模式識別、歐氏距離、馬氏距離分類法、Fischer判別模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法00B鋼管訂購和運(yùn)輸

組合優(yōu)化、運(yùn)輸問題01A血管三維重建曲線擬合、曲面重建01B工交車調(diào)度問題多目標(biāo)規(guī)劃02A車燈線光源的優(yōu)化

非線性規(guī)劃02B彩票問題單目標(biāo)決策03ASARS的傳播

微分方程、差分方程03B露天礦生產(chǎn)的車輛安排整數(shù)規(guī)劃、運(yùn)輸問題04A奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化04B電力市場的輸電阻塞管理數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化05A長江水質(zhì)整體評價模糊數(shù)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，曲線擬合05BDVD在線租賃整數(shù)規(guī)劃06A出版社資源優(yōu)化配置統(tǒng)計分析（海量數(shù)據(jù)統(tǒng)計、篩選）、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化06B艾滋病治療效果評價與預(yù)測聚類分析，模糊數(shù)學(xué)評價，數(shù)據(jù)處理(1).從問題的實(shí)際意義分析

從問題的實(shí)際意義方面分析,大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會事業(yè)等七個大類。

工業(yè)類：電子通信、機(jī)械加工與制造、機(jī)械設(shè)計與控制等行業(yè),共有8個題，約占31%。農(nóng)業(yè)類：１個題，占4%。工程設(shè)計類:

3個題，占11%。交通運(yùn)輸類：3個題，占11%經(jīng)濟(jì)管理類：3個題，占11%生物醫(yī)學(xué)類：4個題，占15%社會事業(yè)類:4個題，占15%(2).從所用方法上分析最優(yōu)化方法：一般函數(shù)優(yōu)化—用微積分的方法解決；規(guī)劃問題—線性規(guī)劃,非線性規(guī)劃,多目標(biāo)規(guī)劃,動態(tài)規(guī)劃,整數(shù)規(guī)劃,組合優(yōu)化(離散優(yōu)化))等（使用軟件求解）；數(shù)據(jù)處理方法：曲線擬合,數(shù)據(jù)回歸分析,插值，基于數(shù)據(jù)庫（Acess,Excel）的海量數(shù)據(jù)的篩選等；概率統(tǒng)計方法：期望分析,排隊論,回歸分析,模式識別,判別分析；圖論方法：最短路問題,最大流問題,最小生成樹；微分方程方法：穩(wěn)定性分析,預(yù)測；模糊數(shù)學(xué)：模糊聚類分析,模糊層次分析,模糊規(guī)劃計算機(jī)技術(shù)：圖像處理,隨機(jī)模擬,各種算法實(shí)現(xiàn),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。離散方法：層次分析法,決策分析,對策論；

從各年賽題所用方法看，以下幾種方法出現(xiàn)頻率最高：最優(yōu)化方法約占總數(shù)的80%大部分題目都可以用兩種以上的方法來解決。數(shù)據(jù)處理方法概率統(tǒng)計方法約占總數(shù)的50%(3).從問題的題型上分析1)“即時性”較強(qiáng)的問題約占35%:1993B：足球隊排名問題；1998B：災(zāi)情巡視路線問題；2000A：DNA序列分類問題；2000B：鋼管訂購與運(yùn)輸問題；2001B：公交車的調(diào)度問題；2002B：彩票中的數(shù)學(xué)問題；2003A：SARS的傳播問題；2004A：奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計問題2004B：電力市場的輸電阻塞管理問題2005A:長江水質(zhì)評價2)理論性較強(qiáng)的問題約占46%:94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;3)實(shí)用性較強(qiáng)的問題約占46%:93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B；06A,06B4)算法要求強(qiáng)的約占19%:95A,97B,99B,00A,00B;5)數(shù)據(jù)量較大的問題約占31%:00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B，05B,06A,06B.

從近幾年的競賽題目來看，題目的水平在不斷提高、難度在增加、實(shí)用性在增強(qiáng);特別是綜合性和開放性也在增強(qiáng)，這是一大潮流，從發(fā)展趨勢上來看，有逐步走向國際化的趨勢，同國際接軌是必然的；隨著計算機(jī)技術(shù)和工具軟件(Matlab,SAS,Lingo等)功能的增強(qiáng),數(shù)據(jù)信息量（海量）也在逐步地增大，這也是現(xiàn)代應(yīng)用的特點(diǎn)之一。第二部分專題+案例專題1：優(yōu)化模型與優(yōu)化工具無約束優(yōu)化問題線性規(guī)劃問題整數(shù)規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題

Lingo9Matlab6.5一、優(yōu)化模型的一般形式

實(shí)際問題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決策變量個數(shù)n和約束條件個數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析有約束問題和無約束問題。靜態(tài)問題和動態(tài)問題。線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等。二、優(yōu)化模型的分類

線性規(guī)劃（LP）特點(diǎn)：

目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是決策變量的線性函數(shù)。5.根據(jù)變量具有確定值還是隨機(jī)值

確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。4.根據(jù)決策變量的允許值整數(shù)規(guī)劃（0-1規(guī)劃）和實(shí)數(shù)規(guī)劃。1.確定決策變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。三、建立優(yōu)化模型的一般步驟四、若干優(yōu)化模型案例

其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2,options)（3）[x,fval]=fminbnd（...）（4）[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）（5）[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）1無約束優(yōu)化問題及Matlab求解描述退出條件:exitflag>0,表目標(biāo)函數(shù)收斂于解x處exitflag=0,表已達(dá)到函數(shù)評價或迭代的最大次數(shù)exitflag<0,表目標(biāo)函數(shù)不收斂

包含優(yōu)化結(jié)果信息的輸出結(jié)構(gòu).Iterations:迭代次數(shù)Algorithm:所采用的算法FuncCount:函數(shù)評價次數(shù)

由優(yōu)化函數(shù)求得的值.若exitflag>0,則x為解;否則,x不是最終解,它只是迭代制止時優(yōu)化過程的值。優(yōu)化函數(shù)的輸出變量的含義：xexitflagoptions案例1對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解:先編寫M文件box.m如下:

functionf=box(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序?yàn)閎ox_main.m:

[x,fval]=fminbnd(‘box',0,1.5);xmax=xfmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時水槽的容積最大,最大容積為2立方米。案例2

有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠在河的另一側(cè)的B處，B處距甲所在河岸的垂直距離為35公里，乙廠到河岸的垂足D與A相距50公里，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為30元和50元每公里，問供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最?。縳DCBA先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。據(jù)題意和平面幾何知識知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能能使費(fèi)用最省。設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x公里，如右圖所示，則BD=35，AC=50-x，于是

又設(shè)總的水管費(fèi)用為f元，由題意得管道總費(fèi)用模型如下：解答：xDCBA求該函數(shù)的最小值。

先定義目標(biāo)函數(shù)plant.m：functionf=plant(x)f=30*(50-x)+50*sqrt(x^2+35^2);主程序?yàn)閜lant_main.m:fplot('plant',[0,50])[x,fval]=fminbnd('plant',0,50)輸出圖形見右圖，最優(yōu)解和最優(yōu)值為：fval=2900注：fplot表示繪制字符串fun指定的函數(shù)在[xmin,xmax]的圖形.2線性規(guī)劃模型

線性規(guī)劃(LP)研究的實(shí)際問題多種多樣的，它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理、優(yōu)化設(shè)計與控制等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。如資源分配問題、生產(chǎn)計劃問題、物資運(yùn)輸問題、合理下料問題、庫存問題、勞動力安排問題、最優(yōu)設(shè)計問題等等。線性規(guī)劃模型的求解方法目前仍以單純形法為主要方法，該方法于1947年由美國數(shù)學(xué)家丹茨格（G.B.Dantzig）提出，經(jīng)過60多年的發(fā)展完善，已經(jīng)形成比較成熟的算法，同時配合計算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用使得該方法得到空前的普及應(yīng)用。目前，大多數(shù)數(shù)學(xué)軟件都可以求解一般線性規(guī)劃模型，這一節(jié)主要采用Matlab和Lindo軟件。

每種蔬菜含有的營養(yǎng)素成份是不同的，從醫(yī)學(xué)上知道每人每周對每種營養(yǎng)成分的最低需求量以及各種蔬菜所含各種營養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)。某醫(yī)院營養(yǎng)室在制定下一周菜單時，需要確定表1中所列8種蔬菜的供應(yīng)量，以便使費(fèi)用最小而又能滿足營養(yǎng)素等其它方面的要求。規(guī)定小白菜、豆芽的供應(yīng)一周內(nèi)不多于20千克，胡蘿卜供應(yīng)一周內(nèi)不低于10千克，不高于35千克，其它蔬菜的供應(yīng)在一周內(nèi)不多于30千克，每周共需供應(yīng)150千克蔬菜，為了使費(fèi)用最小又滿足營養(yǎng)成分等其它方面的要求，問在下一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)如何合理的安排食譜？案例3食譜問題表1各種蔬菜的營養(yǎng)成分表成份蔬菜熱量（卡）水分（克）維生素A（IU）維生素C（毫克）鉀（毫克）纖維（克）市場單價（元/千克）小白菜1395.778140.02401.82菠菜2293.021069.04602.44胡蘿卜3889.751004.02902.65小黃瓜1795.2934.0900.93豆芽3390.60183.61901.76玉米11174.286.02404.67香菇4088.500.22803.912蕃茄2692.927821.02101.26人體最低需求量/周12000（卡）17500（克）24500（IU）420（毫克）2100（毫克）175（克）備注：此表為100克蔬菜所含的營養(yǎng)成分，IU表示國際單位

。決策變量：設(shè)xi(i=1,…,8)分別表示在下一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)供應(yīng)的小白菜、菠菜、胡蘿卜、小黃瓜、豆芽、玉米、香菇及蕃茄的量（千克）。費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)為：根據(jù)人體每周對各種營養(yǎng)成分的需求量，可以得到如下需求約束：模型建立需要注意的是，表中數(shù)據(jù)是每100克食物中所含營養(yǎng)成分的的量，而變量是以千克為單位，所以數(shù)據(jù)要作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化處理，這里很明顯就是各式兩邊除以10即可。另外對食物需求的上限和下限有如下約束：食物總供應(yīng)量限制：小白菜、豆芽的供應(yīng)一周內(nèi)不多于20千克，胡蘿卜不低于10千克，不高于35千克，其它蔬菜的不多于30千克，每周共需供應(yīng)150千克蔬菜模型建立食譜搭配問題的線性規(guī)劃模型模型建立min2x1+4x2+5x3+3x4+6x5+7x6+12x7+6x8st13x1+22x2+38x3+17x4+33x5+111x6+40x7+26x8>120095.7x1+93x2+89.7x3+95.2x4+90.6x5+74.2x6+88.5x7+92.9x8>1750781x1+2106x2+5100x3+93x4+8x6+278x8>245040x1+9x2+4x3+4x4+183.6x5+6x6+0.2x7+21x8>42240x1+460x2+290x3+90x4+190x5+240x6+280x7+210x8>210x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=150x1<20x5<20x3>10x3<35x2<30x4<30x6<30x7<30x8<30end模型求解

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP22OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOST運(yùn)行后得到如下結(jié)果：可見最佳的食物搭配方案為一周安排20千克小白菜，30千克菠菜，35千克胡蘿卜，30千克小黃瓜，5千克豆芽和30千克蕃茄，方案最小費(fèi)用為635元。小白菜菠菜胡蘿卜小黃瓜豆芽玉米香菇蕃茄結(jié)果分析ROWSLACKORSURPLUSDUALRICESNO.ITERATIONS=22結(jié)果分析x1<20x5<20x3>10x3<35x2<30x4<30x6<30x7<30x8<30小白菜豆芽胡蘿卜胡蘿卜小黃瓜菠菜玉米香菇蕃茄可見最佳的食物搭配方案為一周安排20千克小白菜，30千克菠菜，35千克胡蘿卜，30千克小黃瓜，5千克豆芽和30千克蕃茄，方案最小費(fèi)用為635元。minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].MATLAB優(yōu)化工具箱解數(shù)學(xué)規(guī)劃（一）線性規(guī)劃3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval。clearf=[245367126];A=-[13223817331114026;95.79389.795.290.674.288.592.9;7812106510093080278;40944183.660.221;24046029090190240280210;1.82.42.60.91.74.63.91.2];b=-[1200175024504221017.5]';aeq=[11111111];beq=[150];vlb=[001000000]';vub=[2030353020303030]';[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,vlb,vub)Matlab求解Optimizationterminatedsuccessfully.x=fval=exitflag=1output=iterations:19cgiterations:0algorithm:'lipsol'X120.000000X230.000000X335.000000X430.000000X55.000000X60.000000X70.000000X830.000000Lindo6.1求解結(jié)果豆芽番茄對比用Matlab和Lindo求解的結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個最優(yōu)解不一樣，主要是豆芽和蕃茄的量不一樣，但最優(yōu)值是一致的。導(dǎo)致這種結(jié)果的原因是不同軟件使用算法的細(xì)節(jié)上有差異（初值，基變量選擇），這從兩個軟件求解過程迭代的次數(shù)不同可見，同時由于線性規(guī)劃問題可能存在多個最優(yōu)解，而一般情況下軟件只能給出一個解，這就使得不同軟件求出的最優(yōu)解可能具有算法上或精度上的差異。兩種軟件對比兩種軟件求解線性規(guī)劃問題在格式上也有很大差別，Lindo語句在形式上和模型具有較大的相似性，使得輸入比較直觀，但如果約束條件多，變量多，可能程序會很羅嗦冗長，而Matlab所有數(shù)據(jù)需用矩陣形式輸入，形式比較簡單緊湊，也易于修改，但開始需要對模型進(jìn)行變形整理，化成標(biāo)準(zhǔn)形式。靈敏度分析、整數(shù)規(guī)劃求解等等。3整數(shù)規(guī)劃模型實(shí)際問題中經(jīng)常遇到貨物是不可分割的，如人，動物，整體裝配的設(shè)備等，這時候除了題目本身的約束外，還要加上決策變量的整數(shù)約束，這就是這節(jié)要介紹的整數(shù)規(guī)劃問題（IntegerPrograming）。整數(shù)規(guī)劃又可分為線性整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃，這一節(jié)只介紹整線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃中如果所有決策變量都是整數(shù)，則稱為純整數(shù)規(guī)劃；若只有部分變量為整數(shù)，則稱為混合整數(shù)規(guī)劃；若決策變量只能取0或1，則稱為0-1規(guī)劃。求解整數(shù)規(guī)劃的算法主要是分枝定界法和割平面法，這兩種方法都是以求解線性規(guī)劃的方法為基礎(chǔ)。而0-1規(guī)劃的求解使用隱枚舉法，它不需要用單純形法先求解線性規(guī)劃，而是依次檢查變量等于0或1的某種組合，以便使目前最好的可行解不斷加以改進(jìn)，最終獲得最優(yōu)解。

整數(shù)規(guī)劃的求解主要使用Lindo和Lingo軟件。案例4鐵路平板車裝貨問題有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度(t，以厘米計)及重量(w，以公斤計)是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。下圖中每輛平板車有10.2米長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣)，載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對C5,C6,C7類的包裝箱的總數(shù)有一定的限制：這類箱子所占的空間(厚度)不能超過302.7厘米。試把包裝箱裝到平板車上去使得浪費(fèi)的空間最小。問題描述C1C2C3C4C5C6C7t厘米48.752.061.372.048.752.064.0W公斤200030001000500400020001000件數(shù)8796648七種規(guī)格的包裝箱參數(shù)所有包裝箱的總重量為89噸，大于兩輛平板車的總載重量80，所以只能選擇性的裝載貨物.

浪費(fèi)空間是指平板車可裝車長度與每輛車所有包裝箱厚度總和的差值，可以等效的把浪費(fèi)空間最小轉(zhuǎn)化成兩輛車裝車總量最大.包裝箱的重量和厚度受到平板車裝載條件的限制以及貨物總量的限制.

問題分析貨物是不可拆分的，所以這是一個典型的整數(shù)線性規(guī)劃問題.兩輛平板車之間存在相互的制約關(guān)系，在考慮一輛平板車時，必須同時考慮第二輛平板車.問題分析對題目中“由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對C5,C6,C7類的包裝箱的總數(shù)有一定的限制：這類箱子所占的空間(厚度)不能超過厘米?！笨梢岳斫獬擅枯v車這三類貨物的裝車總數(shù)不超過厘米，也可以是兩輛車裝載三類貨物的總量不超過厘米.

模型假設(shè)1.各個貨物之間排列時靠在一起,包裝箱之間的空隙不計；2.裝載的過程中不考慮貨物在車上的排列次序及各個貨物的重量分布，排除因局部過重而造成平板車失衡的情況；3.鐵路平板車只能放置一列包裝箱；4.兩輛平板車裝載C5,C6,C7三類包裝箱的總厚度不超過302.7厘米。

模型建立決策變量設(shè)xij表示第i輛平板車裝載Cj包裝箱的件數(shù),i=1,2;j=1,2,…,7.

分別表示包裝箱的厚度、單個重量和可供裝車的件數(shù).參數(shù)變量裝車總厚度記為T，則目標(biāo)函數(shù)可表示為：

目標(biāo)函數(shù)約束條件各種包裝箱可供裝車數(shù)量的限制：平板車載重限制：厚度限制：模型建立約束條件兩輛車對包裝箱C5,C6,C7的特殊限制：所有決策變量都是整數(shù)變量:

模型求解該整數(shù)規(guī)劃模型可以利用Lindo和Lingo求解。求解之前注意到20.4-3.027=17.373m，而前4類貨物的總長度恰為17.373m。因此在滿足約束條件的情況下，應(yīng)盡量將C1~C4四類箱子裝完，以保證兩輛車?yán)速M(fèi)的空間最小。所以在求解時將前四類箱子的數(shù)量約束改成等式。stx11+x21=8x12+x22=7x13+x23=9x14+x24=6x15+x25<6x16+x26<4x17+x27<82x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17<402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27<400.487x11+0.52x12+0.613x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17<10.2endgin14在Lindo6.1中輸入程序代碼：包裝箱可供裝車數(shù)量的限制平板車載重限制厚度限制特殊限制整數(shù)即最優(yōu)的裝車方案為：x11=0,x12=7,x13=9,x14=0,x15=0,x16=2,x17=0;x21=8,x22=0,x23=0,x24=6,x25=3,x26=1,x27=0。最優(yōu)值為20.394，浪費(fèi)的空間僅有0.6cm。此時兩輛車裝車總長度均為10.197m，裝車總重分別為34t和33t，裝載C5，C6，C7三類貨物總長度分別為1.04m和1.981m。OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000X12X13X140.000000X150.000000X162.000000X170.000000計算結(jié)果：ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICESNO.ITERATIONS=155747計算結(jié)果：結(jié)果分析注意：題目中C1與C5，C2與C6厚度相同，導(dǎo)致可能存在多個解。通過不斷求解這種實(shí)驗(yàn)方式來體驗(yàn)多個解的存在性！OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOSTNO.ITERATIONS=300985繼續(xù)求解會得到不同的最優(yōu)解，而且呈現(xiàn)一定的周期性重復(fù)，但最優(yōu)值都是20.394。其原因就在于模型有多個解，但Lindo一次只能給出一個最優(yōu)解。雖然每次求解可能有不同解，但并不是說一直進(jìn)行下去就會求出所有解?？梢岳米顑?yōu)解已知(20.394)，通過計算機(jī)編程枚舉得出如下所有可能解：第一輛第二輛x11x12x13x14x15x16x17x21x22x23x24x25x26x27079002080063100564020823231006900308106300076400080323300664010813232014433307353000154332072530101643310715302024432306353100250533062910002543220625311026432106153120274320060531303091320570501031913105605020329130055050303443130535320035052305291100354312052532103605220519111036431105153220370521050911203743100505323040533304743000409122047051104191210460512041533204643010425331045430204291200450513043533004443030該模型的計算量較大，每次迭代次數(shù)達(dá)到數(shù)十萬次，尋找改進(jìn)的、簡化的計算方法和技巧是值得我們進(jìn)一步思考的。如果將兩輛車裝載后三類貨物總厚度不超過改成每輛車裝載不超過此值，則情況如何？結(jié)果分析這30組解中，所有的裝車方案都是值得推薦的嗎?現(xiàn)實(shí)中還應(yīng)考慮兩輛平板車的載重量、占用空間差別均不應(yīng)太大。需要進(jìn)行結(jié)果篩選。該問題和自來水輸送以及飛機(jī)裝貨問題一樣屬于運(yùn)輸問題，只不過是運(yùn)輸問題的一種變形，運(yùn)籌學(xué)中通常將這類問題稱為背包問題，由于有長度、重量兩項(xiàng)約束，所以稱為二維背包問題，可以利用數(shù)學(xué)規(guī)劃或動態(tài)規(guī)劃求解。小結(jié)每組解中第7種貨物都沒有選！這是88年一道MCM競賽題，在當(dāng)時軟件還不發(fā)達(dá)時是有較大難度的!生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)送到一些需求點(diǎn)，怎樣安排輸送方案使運(yùn)費(fèi)最小，或利潤最大；小結(jié)：運(yùn)輸問題(TransportationProblem)各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。案例5：人力資源配置問題

某城市有一晝夜服務(wù)的公交線路，經(jīng)過長期觀察統(tǒng)計，每天各時間區(qū)段內(nèi)需司機(jī)和乘務(wù)人員總數(shù)如下表。班次時間區(qū)段所需人數(shù)16：00~10：0050210：00~14：0060314：00~18：0050418：00~22：0040522：00~2：002062：00~6：0030問題描述設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時間區(qū)段一開始時上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路至少配備多少名司機(jī)和乘務(wù)人員才能滿足實(shí)際需要？模型建立設(shè)xi為第i時段所需的人數(shù)，由于從第i時段開始上班的人在第i+1時段會繼續(xù)上班（注意如果i取6，則i+1應(yīng)取1）目標(biāo)函數(shù)約束條件班次時間區(qū)段16：00~10：00210：00~14：00314：00~18：00418：00~22：00522：00~2：0062：00~6：00模型求解直接輸入方式:

model:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1+x6>50;x1+x2>60;x2+x3>50;x3+x4>40;x4+x5>20;x5+x6>30;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);endGlobaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:130.0000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:7VariableValueReducedCostX150.000001.000000X210.000001.000000X340.000001.000000X40.0000001.000000X530.000001.000000X60.0000001.000000計算結(jié)果：注意與Lindo的相似性和區(qū)別Lingo程序(方式一):

模型求解Lingo程序（方式二）：model:sets:time/1..6/:required,driver;endsetsdata:required=605040203050;enddatamin=@sum(time:driver);!各時段需求約束;@for(time(i):driver(i)+driver(@wrap(i+1,6))>=required(i));!各變量整數(shù)約束;@for(time:@gin(driver));end注：在集合循環(huán)函數(shù)中，當(dāng)達(dá)到集合的最后（或第一個）成員后，可以用@wrap函數(shù)把索引轉(zhuǎn)到集合的第一個（或最后一個）成員。@wrap(i,N)的返回值當(dāng)i位于區(qū)間[1,N]內(nèi)時返回i，否則返回j=i-k*N，k為整數(shù)，且j位于區(qū)間[1,N]內(nèi)。如@wrap(2,5)返回值為2，@wrap(16,5)返回值為1。在這里的作用是讓@wrap(7,6)返回到1。編程方式定義原始集time,6個成員，兩個屬性數(shù)據(jù)部分Globaloptimalsolutionfound.Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:6VariableValueReducedCost求解結(jié)果即6個班次依次需要的司乘人員數(shù)量分別為：x1=50；x2=10；x3=40；x4=0；x5=30；x6=0。共計至少需要130名司乘人員。生產(chǎn)中通過切割、剪裁、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小原料下料問題按照工藝要求，確定下料方案，使所用材料最省，或利潤最大案例6：下料問題（一維）問題.如何下料最節(jié)省?原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根工地需求節(jié)省的標(biāo)準(zhǔn)是什么？問題描述某建筑工地需要一批不同型號的鋼管，其中4m的50根，6m的20根，8m的15根。現(xiàn)在從鋼管廠進(jìn)貨的原料都是19m的，需要對這些原料進(jìn)行合理的切割。問怎樣切割使得既滿足工地需求，又使浪費(fèi)材料最??？按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應(yīng)小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)??？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數(shù)最少模式

4米鋼管根數(shù)6米鋼管根數(shù)8米鋼管根數(shù)余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問題1兩種標(biāo)準(zhǔn)1.原料鋼管剩余總余量最小xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標(biāo)1（總余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

模式4米根數(shù)6米根數(shù)8米根數(shù)余料14003231013201341203511116030170023需求502015最優(yōu)解：x2=12,x5=15,其余為0；最優(yōu)值：27。整數(shù)約束：xi為整數(shù)model:sets:pattern/1..7/:residu,number;type/1..3/:required;link(pattern,type):aa;endsetsdata:residu=3133113;required=502015;aa=400310201120111030002;enddata!目標(biāo)函數(shù)(總余量最小)min=@sum(pattern:residu*number);!工地需求;@for(type(i):@sum(pattern(j):aa(j,i)*number(j))>required(i));!各變量整數(shù)約束;@for(pattern:@gin(number));end鋼管切割問題的Lingo程序當(dāng)余料沒有用處時，通常以總根數(shù)最少為目標(biāo)目標(biāo)2（總根數(shù)）鋼管下料問題1約束條件不變最優(yōu)解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優(yōu)值：25。xi為整數(shù)按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米雖余料增加8米，但減少了2根與目標(biāo)1的結(jié)果“共切割27根，余料27米”相比小結(jié)：下料問題的建模確定下料模式構(gòu)造優(yōu)化模型規(guī)格不太多，可枚舉下料模式，建立整數(shù)線性規(guī)劃模型，否則要構(gòu)造整數(shù)非線性規(guī)劃模型，求解困難，可用縮小可行域的方法進(jìn)行化簡，但要保證最優(yōu)解的存在。一維問題（如鋼管下料）二維問題（如易拉罐下料）具體問題具體分析（比較復(fù)雜）

1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：4非線性規(guī)劃問題的matlab求解3.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限

fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。

fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。

fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。注意：案例71．先建立M-文件fun1.m定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun1(x);f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon1.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon1(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];ceq=[];3.主程序main.m為:x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun1',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon4')4.運(yùn)算結(jié)果為:x=exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]

某公司有6個建筑工地要開工，每個工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：千米）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個臨時料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連。（1）試制定每天的供應(yīng)計劃，即從A，B兩料場分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。（2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個臨時料場，改建兩個新的，日儲量各為20噸，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？案例8：供應(yīng)與選址一建立模型

記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,…,6;料場位置為(xj，yj)，日儲量為ej，j=1,2；從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij。當(dāng)用臨時料場時決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時料場時決策變量為：Xij，xj，yj。二使用臨時料場的情形

使用兩個臨時料場A(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運(yùn)送量不超過日儲量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃模型為：設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12計算結(jié)果為：x=[3.00005.00000.00007.00000.00001.00000.00000.00004.00000.00006.000010.0000]’三改建兩個新料場的情形

改建兩個新料場，要同時確定料場的位置(xj,yj)和運(yùn)送量Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃模型為：設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12

x1=X13,y1=X14,x2=X15,y2=X16

（1）先編寫M文件liaoch.m定義目標(biāo)函數(shù)。functionf=liaoch(x)a=[1.258.750.55.7537.25];b=[1.250.754.7556.57.75];d=[3547611];e=[2020];f1=0;fori=1:6s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);%計算料場A到各個工地距離f1=s(i)*x(i)+f1;%計算料場A到各個工地的噸千米總量Endf2=0;fori=7:12s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);%計算料場B到各工地距離f2=s(i)*x(i)+f2;%計算料場B到各個工地的噸千米總量endf=f1+f2;(2)取初值為線性規(guī)劃的計算結(jié)果及臨時料場的坐標(biāo):x0=[35070100406105127]';編寫主程序gying2.m.x0=[35471000005115.63484.86877.24797.7499]';A=[11111100000000000000001111110000];B=[20;20];Aeq=[100000100000000001000001000000000010000010000000000100000100000000001000001000000000010000010000];beq=[3547611]';vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];vub=[];[x,fval,exitflag]=fmincon('liaoch',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)(3)計算結(jié)果為：10.07076.38754.39435.75117.1867]’exitflag=1(4)若修改主程序gying2.m,取初值為上面的計算結(jié)果:x0=[3.00005.00000.07077.000000.9293003.929306.000010.07076.38754.39435.75117.1867]’得結(jié)果為:x=[3.00005.00000.30947.00000.01080.6798003.690605.989210.32025.53694.91945.82917.2852]’exitflag=1總的噸千米數(shù)比上面結(jié)果略優(yōu).(5)若再取剛得出的結(jié)果為初值,卻計算不出最優(yōu)解.(6)若取初值為:x0=[35471000005115.63484.86877.24797.7499]',則計算結(jié)果為:x=[3.00005.00004.00007.00001.0000000005.000011.00005.69594.92857.25007.7500]’exitflag=1總的噸千米數(shù)89.8835比上面結(jié)果更好.通過此例可看出fmincon函數(shù)在選取初值上的重要性。

在我們的生活中每天都面對各種各樣的大量的數(shù)據(jù)，比如科學(xué)研究，工程建設(shè)，股票信息，彩票數(shù)據(jù)，考試成績，經(jīng)濟(jì)開銷，時間，身高體重、三圍參數(shù)等等。怎樣從紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)當(dāng)中挖掘出有用的信息，是我們面臨的一大問題。數(shù)據(jù)處理是數(shù)學(xué)建模一項(xiàng)重要的內(nèi)容。問題的提出專題2：數(shù)據(jù)處理(擬合、插值、回歸)問題1.已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01

這個問題要從一組實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)出發(fā)揭示出自變量x與因變量y之間的關(guān)系，一般可以用一個近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)來表示。函數(shù)f(x)的產(chǎn)生辦法因觀測數(shù)據(jù)與要求的不同而異，通常可采用兩種方法：插值與數(shù)據(jù)擬合。1數(shù)據(jù)擬合2數(shù)據(jù)插值3回歸分析4聚類分析數(shù)據(jù)處理的常用方法簡介

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點(diǎn)（xi,yi)i=1,…,n,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

1.數(shù)據(jù)擬合(曲線擬合)+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近曲線擬合問題的提法擬合基函數(shù)第一步:確定擬合的函數(shù)類型其中為待定系數(shù)。第二步:確定的最小二乘準(zhǔn)則:要求n個已知點(diǎn)(xi

,yi)與曲線的距離(偏差)di的平方和最小。滿足上述要求的參數(shù)取值稱為該問題的最小二乘解。曲線擬合問題最常用的解法—最小二乘法的基本思路2.如果無現(xiàn)成的規(guī)則，則可以通過散點(diǎn)圖，結(jié)合曲線的形狀進(jìn)行分析，即建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?.通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；+++++++++++++++f=ae-bxf=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2擬合函數(shù)類型的確定1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合用MATLAB求解擬合問題1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…,am,

am+1](數(shù)組)輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)2.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計算：

y=polyval（a，x）用MATLAB作線性最小二乘擬合問題1藥物濃度問題

2擬合結(jié)果：2次擬合效果對比圖藥物濃度與時間關(guān)系32擬合結(jié)果：藥物濃度與時間關(guān)系3次擬合效果對比圖

Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x