【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 9.7直線和平面所成的角與二面角（第2課時(shí)）課件 理

第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體直線和平面所成的角與二面角第講7（第二課時(shí)）11.在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，

∠ACB=60°，PA=PB=PC，點(diǎn)P到平面ABC的距離為

AC.求二面角P-AC-B的大小.題型4

求二面角的大小2解法1：由條件知△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°.因?yàn)镻A=PB=PC，所以點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)E.取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，DE，PE.因?yàn)镻E⊥平面ABC，DE⊥AC(因?yàn)镈E∥AB)，所以AC⊥PD.所以∠PDE就是二面角P-AC-B的平面角.3又PE=AC，DE=AC(因?yàn)椤螦CB=60°)，所以，所以∠PDE=60°.故二面角P-AC-B的大小為60°.解法2：由條件知△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°.因?yàn)镻A=PB=PC，所以點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn).4設(shè)O為BC的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，DO，PO，則PO⊥平面ABC.建立如圖所示直角坐標(biāo)系設(shè)AC=a，則A(a，-a，0)，B(-a，0，0)，C(a，0，0)，D(a，-a，0)，P(0，0，a).所以=(-a，a，0)，=(-a，a，

a).因?yàn)锳B⊥AC，又PA=PC，所以PD⊥AC，5所以cos〈，〉即為二面角P-AC-B的余弦值.而cos〈，〉=

所以二面角P-AC-B的大小為60°.6點(diǎn)評(píng)：求二面角的大小有兩種方法：幾何法與向量法.本題解法1是利用幾何法來(lái)解決的，即按“一找、二證、三計(jì)算”三個(gè)步驟進(jìn)行；解法2是利用向量法來(lái)解決的，即通過(guò)求垂直于兩平面交線的直線的方向向量所成的角(需要注意是相等還是互補(bǔ)).7如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1.(1)證明：AB=AC;(2)設(shè)二面角A-BD-C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小.

解：(1)證法1：連結(jié)BE，因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱，所以∠B1BC=90°,8因?yàn)镋為B1C的中點(diǎn)，所以BE=EC.又DE⊥平面BCC1，

所以BD=DC(射影相等的兩條斜線段相等).

而DA⊥平面ABC，所以AB=AC(斜線段相等的射影相等)

證法2：取BC的中點(diǎn)F，證四邊形A

F

ED為平行四邊形，進(jìn)而證AF∥DE，所以AF⊥BC，得AB=AC.9(2)作AG⊥BD于G，連結(jié)GC，

則GC⊥BD，所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角，所以∠AGC=60°.不妨設(shè)AC=

，則AG=2,GC=4.在Rt△ABD中，由AD·AB=易得AD=.10設(shè)點(diǎn)B1到平面面BCD的距離離為h，B1C與平面面BCD所成的的角為為α.由S△B1BC·DE=S△BCD·h，得解得h=，又B1C=,所以sinα=,所以α=30°.即B1C與平面面BCD所成的的角為為30°°.112.在在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°°，D為AC的中點(diǎn)點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)點(diǎn)，連連結(jié)AE并延長(zhǎng)長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，將△ABC沿BD折成一一個(gè)大大小為為θ的二面面角A-BD-C.(1)證明明：平平面AEF⊥平面面BCD(2)當(dāng)θ為何值值時(shí)，，有AB⊥CD?題型4二面角角背景景下的的位置置關(guān)系系分析析12解：(1)證明：：因?yàn)闉椤鰽BC為直角三三角形形，∠ACB=30°，所以AB=AC.又D為AC的中點(diǎn)點(diǎn)，所以AD=AC，所以以AB=AD.因?yàn)镋為BD的中點(diǎn)點(diǎn)，所所以AE⊥BD，所以BD⊥AE，BD⊥EF，所以BD⊥平面AEF.又BD平面BCD，所以平平面AEF⊥平面BCD.13(2)作AO⊥EF，垂足足為O.因?yàn)槠狡矫鍭EF⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD.連結(jié)OB，則OB是AB在平面面BCD內(nèi)的射射影所以AB⊥CDBO⊥CD.延長(zhǎng)BO、CD相交于于H，設(shè)AB=2a，則AE=ABcos30°°=a.由△BEO∽△△BHD，得.14所以在Rt△△AOE中，cos∠AEO=.因?yàn)锽D⊥平面AEF，所以θ=∠∠AEF=π-∠AEO=ππ-arccos.15點(diǎn)評(píng)：：與二面面角有有關(guān)的的綜合合問(wèn)題題涉及及到空空間位位置關(guān)關(guān)系與與空間間角大大小關(guān)關(guān)系之之間的的綜合合.解決此此類問(wèn)問(wèn)題需需注意意幾個(gè)個(gè)轉(zhuǎn)化化：一一是三三維空空間向向二維維空間間的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化；；二是是空間間角向向線線線角的的轉(zhuǎn)化化；三三是線線面關(guān)關(guān)系向向線線線關(guān)系系的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化等等.16在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且且AE=BF.(1)求證證：A′F⊥C′E；(2)當(dāng)三三棱錐B′-BEF的體積取得得最大值時(shí)，求二二面角B′-EF-B的大小(結(jié)結(jié)果用反三角函數(shù)數(shù)表示).17解：(1)證明明：如圖，，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角角坐標(biāo)系.設(shè)AE=BF=x，則A′(a，0，a)，F(xiàn)(a-x，a，0)，C′(0，a，a)，E(a，x，0)，所所以=(-x，a，-a)，=(a，x-a，-a).因?yàn)?-xa+a(x-a)+a2=0，所以A′F⊥C′E.18(2)記BE=y，則x+y=a.故三棱錐錐B′-BEF的體積為為當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x=y=時(shí)，等號(hào)號(hào)成立.因此，三三棱錐B′-BEF的體積取取得最大大值時(shí)，BE=BF=.過(guò)B作BD⊥EF交EF于D，連結(jié)B′D，則B′D⊥EF.所以∠B′DB是二面角角B′-EF-B的平面角角.19在Rt△BEF中，因?yàn)闉锽E=BF=，BD是斜邊上上的高，，所以BD=.在Rt△B′DB中，故二面角角B′-EF-B的大小為為arctan201.二面角的的大小是是通過(guò)其其平面角角來(lái)度量量的.而二面角角的平面面角需具具有以下下三個(gè)特特點(diǎn)：①①頂點(diǎn)在在棱上；；②兩邊邊分別在在兩個(gè)面面內(nèi)；③③兩邊與與棱都垂垂直.2.作二面角角的平面面角主要要有如下下三種作作法:(1)特征法：：直接在在二面角角的棱上上取一點(diǎn)點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在在兩個(gè)半半平面中中作棱的的垂線，，得出平平面角.用定義法法時(shí)，要要認(rèn)真觀觀察圖形形的特性性.21(2)三垂線法法：已知知二面角角其中一一個(gè)面內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)到到另一個(gè)個(gè)面的垂垂線，用用三垂線線定理或或其逆定定理作出出平面角角.(3)垂面法：：已知二二面角內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)到到兩個(gè)面面的垂線線，過(guò)兩兩垂線作作平面與與兩個(gè)半半平面的的交線所所成的角角即為平平面角.由此可知知，二面面角的平平面角所所在的平平面與棱棱垂直.223.求二面角角的大小小有幾何何法和向向量法兩兩種