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第講5函數(shù)的奇偶性、周期性(第一課時(shí))第二章函數(shù)1考點(diǎn)搜索●奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念●周期函數(shù)●判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法●函數(shù)奇偶性的應(yīng)用●奇偶性、周期性與單調(diào)性在不等式中的運(yùn)用高2高考猜想函數(shù)的奇偶性與周期性是高考??純?nèi)容之一.可能單獨(dú)考查,如判斷奇偶性、奇偶性的應(yīng)用,由解析式求最小正周期,由最小正周期確定解析式中相關(guān)字母的值及周期性的應(yīng)用等,也可能與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合考查;考試題型可能是客觀題和基礎(chǔ)題,也可能是難度較大的綜合題.3一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征1.若f(x)的定義域
,且f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),則函數(shù)f(x)叫做
(或
).2.
奇函數(shù)的圖象關(guān)于
對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于
對(duì)稱,反之亦然.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)奇函數(shù)原點(diǎn)y軸4二、奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)1.
若f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=
.2.
若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=
,反之亦然.0f(|x|)53.
在定義域的公共部分,兩奇函數(shù)的積(或商)為
函數(shù);兩偶函數(shù)的積(或商)為
函數(shù);一奇一偶函數(shù)的積(或商)為
函數(shù);兩奇函數(shù)(或兩偶函數(shù))的和、差為
函數(shù)(或
函數(shù)).偶偶奇奇偶6三、函數(shù)的周期性1.
如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)于y=f(x)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都有成立,那么y=f(x)叫做周期函數(shù),T叫做y=f(x)的一個(gè)周期,nT(n∈Z)均是該函數(shù)的周期,我們把周期中的
叫做函數(shù)的最小正周期.2.
若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x),其中a>0,則f(x)的最小正周期為
.最小正數(shù)偶f(x+T)=f(x)2a71.若是奇函數(shù),則a=
.解法1:f(-x)=-f(x)故解法2:82.若函數(shù)f(x)=2sin(3x+θ),x∈[2α-5π,3α]為偶函數(shù),其中θ∈(0,π),則α-θ的值是
.函數(shù)f(x)=2sin(3x+θ),x∈[2α-5π,3α]為偶函數(shù),其中θ∈(0,π)2α-5π+3α=0,93.函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件若f(1)=-5,則f[f(5)]=
.由得所以f(5)=f(1)=-5,則10題型一::函數(shù)奇奇偶性的的判斷1.判斷下列列函數(shù)的的奇偶性性:(1)(2)(3)f(x)=x2+x(x<0)x2-x(x>0);11(4)(5)(6)12(1)得定義域域?yàn)椋?1,1),關(guān)于原原點(diǎn)不對(duì)對(duì)稱,故故f(x)為非奇非非偶函數(shù)數(shù).(2)由1-x2>0|x-2|-2≠0,得x∈(-1,0)∪∪(0,1).這時(shí),,顯然,,f(-x)=-f(x),所以以f(x)為奇函函數(shù).13(3)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).綜上,,f(-x)=f(x),所以以f(x)為偶函函數(shù).(4)由1-x2≥0x2-1≥≥0x2=1x=±1.此時(shí),,f(x)=0,x=±1.所以f(x)既是奇奇函數(shù)數(shù)又是是偶函函數(shù).14(5)的定義義域是是R.又f(-x)+f(x)所以是是奇函函數(shù).15(6)因?yàn)闀r(shí)時(shí),1+sinx+cosx=2;時(shí),1+sinx+cosx=0,所以的的定義義域不不對(duì)稱稱,故是是非奇奇非偶偶函數(shù)數(shù).16點(diǎn)評(píng)::利用定定義法法判斷斷函數(shù)數(shù)的奇奇偶性性的要要點(diǎn)是是:①①判斷斷定義義域是是不是是關(guān)于于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱稱.若不關(guān)關(guān)于原原點(diǎn)對(duì)對(duì)稱,,則函函數(shù)是是非奇奇非偶偶函數(shù)數(shù);②②比較較f(-x)與f(x)是相等等還是是相反反關(guān)系系,有有些函函數(shù)有有時(shí)須須化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后才才可判判斷.注意還還有一一類函函數(shù)既既是奇奇函數(shù)數(shù),也也是偶偶函數(shù)數(shù),如如第(4)小題中中的函函數(shù).17判斷下下列函函數(shù)的的奇偶偶性::(1)(2)(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)18(1)函數(shù)的的定義義域?yàn)闉?-∞∞,-1)∪(1,+∞),且所以f(-x)=-f(x),所以以f(x)為奇函函數(shù).19(2)函數(shù)f(x)的定義義域?yàn)闉?-∞∞,0)∪∪(0,+∞),所以f(x)為偶函函數(shù),,20(3)因?yàn)閒(x)的定義義域?yàn)闉镽,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函函數(shù).(4)f(x)的定義義域?yàn)闉閧1},關(guān)于于原點(diǎn)點(diǎn)不對(duì)對(duì)稱,,所以以f(x)是非奇奇非偶偶函數(shù)數(shù).21題型二二:利利用函函數(shù)的的奇偶偶性求求函數(shù)數(shù)值2.已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab≠0),若f(5)=5,則f(-5)=.由f(x)=ax3+bsinx+2,得f(x)-2=ax3+bsinx為奇函函數(shù),,又f(5)-2=3,所以f(-5)-2=-3,即得f(-5)=-1.-122點(diǎn)評(píng)::定義域域?yàn)镽的非奇奇非偶偶函數(shù)數(shù)f(x)可以表表示為為一個(gè)個(gè)奇函函數(shù)g(x)和一個(gè)個(gè)偶函函數(shù)h(x)的和.在已知知f(a)=g(a)+h(a)的情況況下,,則f(-a)=-g(a)+h(a),可得得出f(-a)=2h(a)-f(a).23已知函函數(shù)y=f(x)-1為奇函函數(shù),,且f(x)的最大大值為為M,最小小值為為N,則有有()A.M-N=4B.M-N=2C.M+N=2D.M+N=4由條件件知::函數(shù)數(shù)y=f(x)-1的最大大值為為M-1,最小小值為為N-1,且M-1+N-1=0,所以以M+N=2,故選選C.C24題型三三:函函數(shù)的的奇偶偶性質(zhì)質(zhì)的應(yīng)應(yīng)用3.已知定定義域域?yàn)镽的函數(shù)數(shù)是是奇奇函數(shù)數(shù).(1)求a,b的值;;(2)若對(duì)任任意的的t∈R,不等等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立立,求求k的取值值范圍圍.25(1)因?yàn)閒(x)是奇函函數(shù),,所以f(0)=0,即所以又由f(1)=-f(-1),知解得a=2.26(2)由(1)知易知f(x)在(-∞∞,+∞)上為減減函數(shù)數(shù).又因?yàn)闉閒(x)是奇函函數(shù),,所以以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等價(jià)于于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因?yàn)閒(x)為減函函數(shù),,由上上式推推得t2-2t>k-2t2.即對(duì)一一切t∈R有3t2-2t-k>0恒成立立,從而判判別式式Δ=4+12k<0,解得得所以k的取值值范圍圍為27點(diǎn)評(píng)::若奇函函數(shù)在在x=0處有定義,,則f(0)=0,對(duì)定義域域上任一非非零自變量量t,都有f(-t)=-f(t),利用這兩兩個(gè)性質(zhì)常常用來解決決含參奇函函數(shù)問題.28設(shè)定義在[[-2,2]上的偶函函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞遞減,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍圍.29因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),,所以f(-x)=f(x)=f(|x|),所以不等式式f(1-m)<f(m)f(|1-m|)<f(|m|).又當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)是減函數(shù),,所以|1-m|>|m|-2≤1-m≤2-2≤m≤2,解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍圍是301.判定函數(shù)奇奇偶性時(shí),,應(yīng)先確定定函數(shù)的定定義域是否否關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱,
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