正弦定理與余弦定理的應(yīng)用同步練習(xí)

正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（1）同步練習(xí)海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B．10eq\r(6)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里2．如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m \f(25\r(2),2)m3．某市在“舊城改造”工程中，計(jì)劃在如下圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境．已知這種草皮價(jià)格為a元/m2，則購(gòu)買這種草皮需要()A．450a元 B．225a元C．150a元 D．300a元4．有一長(zhǎng)為10m的斜坡，傾斜角為75°.在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)的長(zhǎng)度(單位：m)是()A．5 B．10C．10eq\r(2) D．10eq\r(3)5．一船以22eq\r(6)km/h的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東45°，1小時(shí)30分后航行到B處，在B處看燈塔S在船的南偏東15°，則燈塔S與B之間的距離為()A．66km B．132kmC．96km D．33km6．從某電視塔的正東方向的A處，測(cè)得塔頂仰角是60°；從電視塔的西偏南30°的B處，測(cè)得塔頂仰角為45°，A，B間距離是35m，則此電視塔的高度是________m.7．如圖在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走a米到B，又測(cè)得山頂P的仰角為γ，則山高為________．A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.

參考答案1.D如圖，∠A＝60°，∠B＝75°，則∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6).因?yàn)椤螦CB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根據(jù)正弦定理可知，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m，選A.3.CS△＝eq\f(1,2)×20×30×sin150°＝eq\f(1,2)×20×30×eq\f(1,2)＝150(m2)，∴購(gòu)買這種草皮需要150a元，故選C.4.C如圖，設(shè)將坡底加長(zhǎng)到B′時(shí)，傾斜角為30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的長(zhǎng)度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．∴坡底延長(zhǎng)10eq\r(2)m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0°.如圖，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，AB＝22eq\r(6)×eq\f(3,2)＝33eq\r(6)，由正弦定理eq\f(33\r(6),sin120°)＝eq\f(SB,sin45°)，∴SB＝66(km)．6.5eq\r(21)如圖所示，塔高為OC，則∠OAC＝60°，∠AOB＝180°－30°＝150°，∠CBO＝45°，AB＝35，設(shè)電視塔高度為hm，則OA＝eq\f(\r(3),3)h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(eq\f(\r(3),3)h)2＋h2－2×eq\f(\r(3),3)h×h×(－eq\f(\r(3),2))，解得h＝5eq\r(21).7.eq\f(asinα·sinγ－β,sinγ－α)m在△PAB中，已知∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，AB＝a，由正弦定理可得PA＝eq\f(asinγ－β,sinγ－α)，在Rt△PAQ中，PQ＝PAsinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).8.【解析】在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),