高頻考點和模擬試題匯編-立體幾何

...wd......wd......wd...專題八立體幾何第I卷〔選擇題〕一、選擇題1．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如以下列圖，那么該幾何體的側(cè)視圖為()【答案】D【解析】如以下列圖，點D1的投影為點C1，點D的投影為點C，點A的投影為點B.2．如以下列圖，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，那么該幾何體的體積為()A．6B．9C．12D．18【答案】B【解析】由三視圖可復原幾何體的直觀圖如以下列圖．此幾何體可通過分割和補形的方法拼湊成一個長和寬均為3，高為的長方體，所求體積V＝3×3×＝9.3．三棱柱A．B．C．D．【答案】C【解析】構(gòu)建長方體的棱長分別為3,4,12.體對角線長為，外接圓的半徑為，應選C【考點定位】此題考察空間幾何體模型的認識。4．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,以下命題中正確的選項是()A.假設(shè),,,那么B．假設(shè),,,那么C．假設(shè),,,那么D．假設(shè),,,那么【答案】D【解析】選項A中，m與n還可能平行或者異面，故錯；B中，m與n還可能異面，故錯；C中，還有可能平行或者相交，故錯；D中，故D正確.【考點定位】考察線面的位置關(guān)系5．某幾何函數(shù)的三視圖如以下列圖，那么該幾何的體積為()A、18+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【答案】A；【解析】上半局部體積為，下半局部體積，故總體積.【考點定位】此題考察三視圖以及簡單組合體的體積計算，考察學生的空間想象能力.6．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，那么球的體積為()A、cm3B、cm3QUOTEC、cm3D、cm3【答案】A；【解析】作出該球軸截面的圖像如以以下列圖所示，依題意，，設(shè)，故，因為，解得，故該球的半徑，所以.【考點定位】此題考察球體的體積公式，考察學生的空間想象能力.7．一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是〔1，0，1〕，〔1，1，0〕，〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可知：該四面體為正四面體，其中一個頂點在坐標原點，另外三個頂點分別在三個坐標平面內(nèi)，所以以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為選項A.【考點定位】本小題主要考察立體幾何中三視圖的有關(guān)知識，考察同學們的空間想象能力，屬中檔題.8．在空間中，過點作平面的垂線，垂足為，記。設(shè)是兩個不同的平面，對空間任意一點，,恒有，那么〔〕A.平面與平面垂直B.平面與平面所成的〔銳〕二面角為C.平面與平面平行D.平面與平面所成的〔銳〕二面角為【答案】A【解析】此題關(guān)鍵是搞清楚“在空間中，過點作平面的垂線，垂足為，記。〞這句話的意思，即，其中垂直，此題的關(guān)鍵和注意的地方是要對題目所描述的內(nèi)容正確理解；設(shè)所以，由得到：于，于，于，于，且恒成立，即與重合，即當時滿足；如以下列圖：【考點定位】此題是信息類題目，考察線面垂直和面面垂直的知識點，考察學生的自學能力和運用所學知識解決問題的能力；本解析為名師解析團隊原創(chuàng)，授權(quán)獨家使用，如有盜用，依法追責！9．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積是.【答案】【解析】由三視圖可知，直觀圖為一個圓柱體中間挖去一個正四棱柱?！究键c定位】此題考察三視圖及空間幾何體的體積計算。10．如果，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=〔〕A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】因為過EF做垂直于CD〔AB〕的平面垂直平分CD，所以該平面與過AB中點并與AB垂直的平面平行，平面和正方體的4個側(cè)面相交，由于EF和正方體的側(cè)棱不平行，所以它與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.同理與CE相交的平面有4個，共8個，選A.【考點定位】該題主要考察空間點、線、面的位置關(guān)系，考察空間直線與平面的平行與相交，考察空間想象能力和邏輯思維能力.11．棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積不可能等于〔〕A．B．C．D．【答案】C；【解析】正方體的正視圖面積應當介意1與之間，故C不正確.【考點定位】此題考察三視圖，考察學生的空間想象能力.12．某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如以下列圖，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，那么該球的外表積是_____【答案】【解析】由三視圖可知幾何體為球內(nèi)接一個正方體，所以正方體的體對角線為球的直徑，?！究键c定位】對于三視圖的考察主要考察學生的空間思維能力，要有較好的空間感。屬于中等難度。13．三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為，且側(cè)棱底面，其正視圖是邊長為的正方形，那么此三棱柱側(cè)視圖的面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】側(cè)視圖是個矩形.由，底面正三角形的邊長為2，所以其高為，即側(cè)視圖的長為，又三棱柱的高為2，即側(cè)視圖的寬為2，所以此三棱柱側(cè)視圖的面積為，選B.14．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么它的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取的半個圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長為，所以其外表積為底面半圓面積和圓錐的側(cè)面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，應選15．某幾何體的三視圖如以下列圖，且該幾何體的體積是，那么正視圖中的的值是〔〕A．2B.C.D.3【答案】C【解析】解:由三視圖可知,該幾何體是底面上底為1,下底為2,高為2的直角梯形的四棱錐,且棱錐的高為,底面積為,由得:應選C.16．某幾何體的三視圖如以下列圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的體積是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)三視圖分析可以發(fā)現(xiàn)該幾何體為臥倒的四棱柱,根據(jù)側(cè)視圖可得該四棱柱的底面為等腰梯形且底面面積為,從正視圖可以得到該四棱柱的高為,根據(jù)四棱柱體積計算公式可得,應選D.17．一個幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的直觀圖可以是〔〕【答案】D【解析】俯視圖的實線局部、虛線局部都是圓，由此可知該幾何體的上下兩局部都不可能是方形的，故只可能是D.18．一個幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A、B、C、D、【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形〔梯形上底為1，下底為2，直角腰為1〕，高為1的直棱柱，故其外表積為.選B.19．三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如以下列圖，那么其側(cè)視圖的面積為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】俯視圖的高為，此即側(cè)視圖的底，側(cè)視圖的高即為正視圖的高，所以其面積為.20．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為〔〕A．6B．C．D．3【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個橫向放倒的直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，由圖像該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故，所以.21．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為()221133正視圖側(cè)視圖俯視圖21A．B．C．D．【答案】C【解析】由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得.選C22．一個空間幾何體的三視圖如下左圖所示，那么該幾何體的外表積為〔〕A．48B．48+8C．32+8D．80【答案】B【解析】觀察三視圖可知，該幾何體為四棱柱，底面為梯形，兩底邊長分別為，高為，所以，底面梯形的腰長為，棱柱的高為.所以，該幾何體的外表積為，應選．第II卷〔非選擇題〕二、填空題23．一個棱錐的三視圖如圖，那么該棱錐的外接球的外表積為________．【答案】【解析】該棱錐的直觀圖如圖，取CD的中點E，BD的中點F，由三視圖知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝＝4，∠CBD＝90°.設(shè)O為該棱錐外接球的球心，半徑為R，由題知：BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3)2＋(R－4)2，解得R＝，故球的外表積為S＝4×π×()2＝.24．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】過E作⊥于，連接，過P作于，在同一個平面EE1D1內(nèi)，⊥E1D1，，那么，又，故，點P到直線CC1的距離就等于點Q到直線CC1的距離，當，距離最小，此時，.【考點定位】本小題考察了點到直線的距離求法，考察了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用和空間想象能力.25．如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，那么以下命題正確的選項是〔寫出所有正確命題的編號〕。①當時，為四邊形②當時，為等腰梯形③當時，與的交點滿足④當時，為六邊形⑤當時，的面積為【答案】①②③⑤【解析】〔1〕，S等腰梯形，②正確，圖如下：〔2〕，S是菱形，面積為，⑤正確，圖如下：〔3〕，畫圖如下：，③正確〔4〕，如圖是五邊形，④不正確；〔5〕，如以以下列圖，是四邊形，故①正確【考點定位】考察立體幾何中關(guān)于切割的問題，以及如何確定平面。26．假設(shè)某幾何體的三視圖〔單位：cm〕如以下列圖，那么此幾何體的體積等于________?！敬鸢浮?4【解析】三視圖問題關(guān)鍵是搞清楚幾何體的直觀圖的構(gòu)成，根據(jù)三視圖的信息確定直觀圖中的邊的長度和角的度數(shù)，然后利用體積公式求解。此題中的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，且俯視圖是直角三角形，所以原圖是直三棱柱被平面截后所剩余的幾何體。注意長對正，寬相等，高平齊的法那么。即由得此幾何體的直觀圖是一個底面是直角三角形且兩直角邊分別是3,4高是5的直三棱柱在上面截去一個三棱錐，三棱錐從一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，底面邊長分別是3,4高是3，如以下列圖，紅色為截去的三棱錐，所以體積為；【考點定位】此題考察三視圖知識、多面體的體積計算公式，考察學生的空間想象能力；27．某幾何體的三視圖如以下列圖,那么其體積為.【答案】【解析】由三視圖復原為實物圖得半個圓錐，其體積．【考點定位】此題主要考察了三視圖復原為實物圖的能力和圓錐的體積公式，屬于容易題28．如圖是某個四面體的三視圖，該四面體的體積為．【答案】12【解析】由三視圖知，該四面體底面積，高為，故體積．29．如圖，四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點，平面，，是中點．.【答案】試題【解析】(1)證明：由題意，∥，=∴四邊形為平行四邊形，所以.又∵，∴∥又平面，平面∴∥平面4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.6分〔2〕設(shè)求點到平面的距離為.因為V三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD即.12分30．如圖,設(shè)是一個高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點．試求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮俊窘馕觥糠?：設(shè)與平面所成角為。因為，〔2分〕所以．所以．〔4分〕。所以．〔6分〕因為〔8分〕所以,〔10分〕因此〔11分〕那么〔12分〕解法2：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建設(shè)空間坐標系。那么〔4分〕所以〔6分〕設(shè)是平面的一個法向量，易求得〔8分〕設(shè)為與平面所成的角，因為〔10分〕所以：〔11分〕〔12分〕31．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，.〔1〕證明:：；〔2〕證明：；〔3〕假設(shè)，且平面平面，求三棱錐體積.【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕詳見解析；〔3〕.【解析】〔1〕因為是等邊三角形，，所以，可得；〔2〕如圖，取中點，連結(jié)、，那么，，所以平面，所以；〔3〕作，垂足為，連結(jié)，因為，所以，，由，平面平面，故，因為，所以、、都是等腰直角三角形.由，得，的面積，因為平面，所以三棱錐的體積.32．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點，點在線段上且．〔1〕求證：平面；〔2〕設(shè)二面角的大小為，假設(shè)，求的長．【答案】(1)證明過程詳見解析;(2).【解析】〔1〕由，得，．又面，所以以分別為軸建設(shè)坐標系如圖．那么設(shè)，那么．設(shè)，得：．解得：，，，所以．5分所以,，．設(shè)面的法向量為，那么，?。驗?，且面，所以平面．9分〔2〕設(shè)面法向量為，因為，，所以，?。?1分由，得．，，所以．15分三、解答題33．如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，理由見解析【解析】解：(1)證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE∥PC.又因為DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，且QM＝QN＝EG，所以Q為滿足條件的點．34．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【答案】見解析【解析】(1)如圖，在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.35．如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE.【答案】見解析【解析】(1)如圖，連接OP，以點O為坐標原點，OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建設(shè)空間直角坐標系O－xyz，那么O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．由題意，得G(0,4,0)．因為＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE的一個法向量n＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.(2)設(shè)點M的坐標為(x0，y0,0)，那么＝(x0－4，y0，－3)．因為FM⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即點M的坐標是(4，－，0)．在平面直角坐標系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組．所以，在△AOB內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE.36．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1【答案】證明見解析，【解析】此題主要考察直線與直線的平行、直線與平面的垂直、三棱錐的體積計算等知識點。解答中需要注意線面平行中直線在平面外的交代，體積公式運用不要漏掉。此類問題屬于?？碱}之一，難度屬于容易題。因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．【考點定位】考察空間幾何體的相關(guān)計算，屬中檔題。37．如圖，四棱錐P-ABCD中，，，和都是等邊三角形.〔1〕證明：；〔2〕求二面角A-PD-C的大小.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】〔1〕解題的關(guān)鍵是輔助線的添加，取BC的中點E是入手點，然后借助三垂線定理進展證明；〔2〕利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角.求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。假設(shè)考慮用向量來求：要求出二個面的法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要注意兩個法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補即可?！?〕證明：取BC的中點E，連結(jié)DE，那么ABED為正方形.過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB,OD,OE.由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點O為正方形ABED對角線的交點，故，從而.3分因為O是BD的中點，E是BC的中點，所以O(shè)E//CD.因此.5分〔2〕解法一：由〔1〕知，，.故平面PBD.又平面PBD，所以.取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，那么FG//CD，F(xiàn)G//PD.連結(jié)AF，由為等邊三角形可得AF⊥PD.所以為二面角A-PD-C的平面角.8分連結(jié)AG，EG，那么EG//PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.設(shè)AB=2，那么，，故.在中，，，，所以.因此二面角A-PD-C的大小為.12分解法二：由〔1〕知，OE,OB,OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸的正方向建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標系O-xyz.設(shè)，那么，，，.，.，.設(shè)平面PCD的法向量為，那么，，可得，.取，得，故.8分設(shè)平面PAD的法向量為，那么，，可得.取m=1，得，故.于是.由于等于二面角A-PD-C的平面角，所以二面角A-PD-C的大小為.12分【考點定位】此題考察線線垂直的證明和二面角的求解，考察學生的空間想象能力和計算能力。38．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.〔1〕求證：AA1⊥平面ABC；〔2〕求二面角A1-BC1-B1的余弦值；〔3〕證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值.【答案】〔1〕見解析〔2〕〔3〕證明見解析，【解析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求〞的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第〔3〕題，求解有難度，可以空間向量完成.〔1〕因為為正方形，所以.因為平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，所以⊥平面ABC.〔2〕由〔1〕知，⊥AC,⊥AB.由題意知，所以.如圖，以A為原點建設(shè)空間直角坐標系,那么.設(shè)平面的法向量為，那么即令，那么，所以.同理可得，平面的法向量為.所以.由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.〔3〕設(shè)是直線上的一點，且.所以，解得，所以.由，即，解得.因為，所以在線段上存在點D，使得，此時.【考點定位】此題考察了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線和平面垂直的判定定理，考察了法向量、空間向量在立體幾何中的應用和二面角的求法，考察了空間想象能力和推理論證能力.39．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面,〔1〕求證：平面〔2〕假設(shè)直線與平面所成角的正弦值為，求的值〔3〕現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全一樣的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：假設(shè)拼成的新四棱柱形狀和大小完全一樣，那么視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的外表積為，寫出的解析式?！仓苯訉懗龃鸢?，不必說明理由〕【答案】〔1〕見解析〔2〕1〔3〕【解析】立體幾何第一問對于關(guān)系的決斷往往基于對公理定理推論掌握的比較熟練，又要善于做出一線輔助線加以證明，那么第二問就可以在其根基上采用坐標法處理角度或者距離問題，坐標法所用的公式就必需熟練掌握，第三問主要考察了學生的空間思維能力，要在平時多加練習。此題坐標法也很考驗學生的計算功底。〔1〕取中點，連接，四邊形為平行四邊形且在中，,即，又，所以平面，平面，又，平面〔2〕以為原點，的方向為軸的正方向建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標系，，，所以，，設(shè)平面的法向量，那么由得取，得設(shè)與平面所成角為，那么，解得．故所求的值為1〔3〕共有種不同的方案【考點定位】此題主要考察立體幾何中線線關(guān)系線面關(guān)系的判斷以及線面角的算法，并且通過第三問的設(shè)問又把幾何體的外表積與函數(shù)巧妙的結(jié)合起來，計算和空間思維要求比較高。屬于難題。40．如圖，平面四邊形中，為的中點，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點為．〔1〕證明：平面平面；〔2〕在線段上是否存在一點，使得平面假設(shè)存在，請確定點的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕求直線與平面所成角的正弦值．【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；〔3〕.【解析】〔1〕直二面角的平面角為，又，那么平面，所以．又在平面四邊形中，由數(shù)據(jù)易得，而，故平面，因為平面，所以平面平面〔4分〕〔2〕解法一：由〔1〕的分析易知，，那么以為原點建設(shè)空間直角坐標系如以下列圖．結(jié)合數(shù)據(jù)可得，，，，那么中點.平面，故可設(shè)，那么，平面，，又，由此解得，即，易知這樣的點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；〔8分〕解法二：〔略解〕如以下列圖，在中作，交于，因為平面平面，那么有平面．在中，結(jié)合數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識可以求得，故知所求點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；..〔8分〕〔3〕解法一：由〔2〕是平面的一個法向量，又，那么得，所以，記直線與平面所成角為，那么知，故所求角的正弦值為...〔12分〕解法二：〔略解〕如上圖中，因為，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，由此，在中作于，易證平面，連接，那么為直線與平面所成角，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得，故所求角的正弦值為...〔12分〕41．如圖,三棱柱中,,,.(1)證明:;(2)假設(shè),,求三棱柱的體積.【答案】(1)證明見詳解；(2)3．【解析】(1)取AB的中點,連接、、,因為CA=CB,所以,由于,,故為等邊三角形，所以,因為，所以平面.又，故.(2)由題設(shè)知都是邊長為2的等邊三角形，所以42．如圖，四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點，平面，，是中點．〔1〕證明：平面平面；〔2〕求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕【解析】(1)證明：且∥，2分那么平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.6分(2)『解法1』：延長、交于點，連結(jié)，那么平面，易證△與△全等，過作于，連，那么，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補角.易求，又，，由面積橋求得，所以所以所求角為，所以因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為『解法2』：以為原點，方向為軸，以平面內(nèi)過點且垂直于方向為軸以方向為軸，建設(shè)如以下列圖空間直角坐標系.那么，，，，，8分所以，，可求得平面的法向量為又，，可求得平面的法向量為那么，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為12分43．如圖,四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.〔1〕求證:EC⊥CD；〔2〕求證：AG∥平面BDE；〔3〕求：幾何體EG-ABCD的體積.【答案】(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;〔3〕【解析】〔1〕證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC,平面BCEG,EC⊥平面ABCD，3分又CD平面BCDA,故EC⊥CD4分〔2〕證明：在平面BCDG中，過G作GN⊥CE交BE于M，連DM，那么由知；MG=MN，MN∥BC∥DA,且MG∥AD,MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，AG∥DM6分∵DM平面BDE，AG平面BDE，AG∥平面BDE8分〔3〕解：10分12分44．如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，，.〔1〕求證：OD//平面VBC；〔2〕求證：AC⊥平面VOD；〔3〕求棱錐的體積.【答案】(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3)【解析】證明：〔1〕∵O、D分別是AB和AC的中點，∴OD//BC.〔1分〕又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.〔3分〕〔2〕∵VA=VB，O為AB中點，∴.〔4分〕連接，在和中，,∴≌VOC，∴=VOC=90，∴.〔5分〕∵,平面ABC,平面ABC,∴VO⊥平面ABC.〔6分〕∵平面ABC，∴.〔7分〕又∵，是的中點，∴.〔8分〕∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴AC平面DOV.〔9分〕〔3〕由〔2〕知是棱錐的高，且.〔10分〕又∵點C是弧的中點，∴，且，∴三角形的面積，〔11分〕∴棱錐的體積為，〔12分〕故棱錐的體積為.〔13分〕45．如圖1，在直角梯形中，，.把沿折起到的位置，使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，如圖2所示，點分別為棱的中點.〔1〕求證：平面平面；〔2〕求證：平面；〔3〕假設(shè)，求四棱錐的體積.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕證明見解析.〔3〕.【解析】〔1〕因為點在平面上的正投影恰好落在線段上所以平面，所以1分因為，所以是中點，