高頻考點(diǎn)和模擬試題匯編-立體幾何

...wd......wd......wd...專(zhuān)題八立體幾何第I卷〔選擇題〕一、選擇題1．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如以下列圖，那么該幾何體的側(cè)視圖為()【答案】D【解析】如以下列圖，點(diǎn)D1的投影為點(diǎn)C1，點(diǎn)D的投影為點(diǎn)C，點(diǎn)A的投影為點(diǎn)B.2．如以下列圖，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，那么該幾何體的體積為()A．6B．9C．12D．18【答案】B【解析】由三視圖可復(fù)原幾何體的直觀圖如以下列圖．此幾何體可通過(guò)分割和補(bǔ)形的方法拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬均為3，高為的長(zhǎng)方體，所求體積V＝3×3×＝9.3．三棱柱A．B．C．D．【答案】C【解析】構(gòu)建長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為3,4,12.體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，外接圓的半徑為，應(yīng)選C【考點(diǎn)定位】此題考察空間幾何體模型的認(rèn)識(shí)。4．設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,以下命題中正確的選項(xiàng)是()A.假設(shè),,,那么B．假設(shè),,,那么C．假設(shè),,,那么D．假設(shè),,,那么【答案】D【解析】選項(xiàng)A中，m與n還可能平行或者異面，故錯(cuò)；B中，m與n還可能異面，故錯(cuò)；C中，還有可能平行或者相交，故錯(cuò)；D中，故D正確.【考點(diǎn)定位】考察線(xiàn)面的位置關(guān)系5．某幾何函數(shù)的三視圖如以下列圖，那么該幾何的體積為()A、18+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【答案】A；【解析】上半局部體積為，下半局部體積，故總體積.【考點(diǎn)定位】此題考察三視圖以及簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算，考察學(xué)生的空間想象能力.6．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，那么球的體積為()A、cm3B、cm3QUOTEC、cm3D、cm3【答案】A；【解析】作出該球軸截面的圖像如以以下列圖所示，依題意，，設(shè)，故，因?yàn)?，解得，故該球的半徑，所?【考點(diǎn)定位】此題考察球體的體積公式，考察學(xué)生的空間想象能力.7．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是〔1，0，1〕，〔1，1，0〕，〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可知：該四面體為正四面體，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)分別在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，所以以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為選項(xiàng)A.【考點(diǎn)定位】本小題主要考察立體幾何中三視圖的有關(guān)知識(shí)，考察同學(xué)們的空間想象能力，屬中檔題.8．在空間中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，記。設(shè)是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)，,恒有，那么〔〕A.平面與平面垂直B.平面與平面所成的〔銳〕二面角為C.平面與平面平行D.平面與平面所成的〔銳〕二面角為【答案】A【解析】此題關(guān)鍵是搞清楚“在空間中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，記。〞這句話(huà)的意思，即，其中垂直，此題的關(guān)鍵和注意的地方是要對(duì)題目所描述的內(nèi)容正確理解；設(shè)所以，由得到：于，于，于，于，且恒成立，即與重合，即當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足；如以下列圖：【考點(diǎn)定位】此題是信息類(lèi)題目，考察線(xiàn)面垂直和面面垂直的知識(shí)點(diǎn)，考察學(xué)生的自學(xué)能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；本解析為名師解析團(tuán)隊(duì)原創(chuàng)，授權(quán)獨(dú)家使用，如有盜用，依法追責(zé)！9．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積是.【答案】【解析】由三視圖可知，直觀圖為一個(gè)圓柱體中間挖去一個(gè)正四棱柱?！究键c(diǎn)定位】此題考察三視圖及空間幾何體的體積計(jì)算。10．如果，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線(xiàn)CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=〔〕A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】因?yàn)檫^(guò)EF做垂直于CD〔AB〕的平面垂直平分CD，所以該平面與過(guò)AB中點(diǎn)并與AB垂直的平面平行，平面和正方體的4個(gè)側(cè)面相交，由于EF和正方體的側(cè)棱不平行，所以它與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.同理與CE相交的平面有4個(gè)，共8個(gè)，選A.【考點(diǎn)定位】該題主要考察空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，考察空間直線(xiàn)與平面的平行與相交，考察空間想象能力和邏輯思維能力.11．棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積不可能等于〔〕A．B．C．D．【答案】C；【解析】正方體的正視圖面積應(yīng)當(dāng)介意1與之間，故C不正確.【考點(diǎn)定位】此題考察三視圖，考察學(xué)生的空間想象能力.12．某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如以下列圖，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，那么該球的外表積是_____【答案】【解析】由三視圖可知幾何體為球內(nèi)接一個(gè)正方體，所以正方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑，?！究键c(diǎn)定位】對(duì)于三視圖的考察主要考察學(xué)生的空間思維能力，要有較好的空間感。屬于中等難度。13．三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為，且側(cè)棱底面，其正視圖是邊長(zhǎng)為的正方形，那么此三棱柱側(cè)視圖的面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】側(cè)視圖是個(gè)矩形.由，底面正三角形的邊長(zhǎng)為2，所以其高為，即側(cè)視圖的長(zhǎng)為，又三棱柱的高為2，即側(cè)視圖的寬為2，所以此三棱柱側(cè)視圖的面積為，選B.14．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么它的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取的半個(gè)圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以其外表積為底面半圓面積和圓錐的側(cè)面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，應(yīng)選15．某幾何體的三視圖如以下列圖，且該幾何體的體積是，那么正視圖中的的值是〔〕A．2B.C.D.3【答案】C【解析】解:由三視圖可知,該幾何體是底面上底為1,下底為2,高為2的直角梯形的四棱錐,且棱錐的高為,底面積為,由得:應(yīng)選C.16．某幾何體的三視圖如以下列圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的體積是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)三視圖分析可以發(fā)現(xiàn)該幾何體為臥倒的四棱柱,根據(jù)側(cè)視圖可得該四棱柱的底面為等腰梯形且底面面積為,從正視圖可以得到該四棱柱的高為,根據(jù)四棱柱體積計(jì)算公式可得,應(yīng)選D.17．一個(gè)幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的直觀圖可以是〔〕【答案】D【解析】俯視圖的實(shí)線(xiàn)局部、虛線(xiàn)局部都是圓，由此可知該幾何體的上下兩局部都不可能是方形的，故只可能是D.18．一個(gè)幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A、B、C、D、【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形〔梯形上底為1，下底為2，直角腰為1〕，高為1的直棱柱，故其外表積為.選B.19．三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如以下列圖，那么其側(cè)視圖的面積為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】俯視圖的高為，此即側(cè)視圖的底，側(cè)視圖的高即為正視圖的高，所以其面積為.20．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為〔〕A．6B．C．D．3【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)橫向放倒的直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，由圖像該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故，所以.21．某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為()221133正視圖側(cè)視圖俯視圖21A．B．C．D．【答案】C【解析】由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得.選C22．一個(gè)空間幾何體的三視圖如下左圖所示，那么該幾何體的外表積為〔〕A．48B．48+8C．32+8D．80【答案】B【解析】觀察三視圖可知，該幾何體為四棱柱，底面為梯形，兩底邊長(zhǎng)分別為，高為，所以，底面梯形的腰長(zhǎng)為，棱柱的高為.所以，該幾何體的外表積為，應(yīng)選．第II卷〔非選擇題〕二、填空題23．一個(gè)棱錐的三視圖如圖，那么該棱錐的外接球的外表積為_(kāi)_______．【答案】【解析】該棱錐的直觀圖如圖，取CD的中點(diǎn)E，BD的中點(diǎn)F，由三視圖知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝＝4，∠CBD＝90°.設(shè)O為該棱錐外接球的球心，半徑為R，由題知：BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3)2＋(R－4)2，解得R＝，故球的外表積為S＝4×π×()2＝.24．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】過(guò)E作⊥于，連接，過(guò)P作于，在同一個(gè)平面EE1D1內(nèi)，⊥E1D1，，那么，又，故，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離就等于點(diǎn)Q到直線(xiàn)CC1的距離，當(dāng)，距離最小，此時(shí)，.【考點(diǎn)定位】本小題考察了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求法，考察了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和空間想象能力.25．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，那么以下命題正確的選項(xiàng)是〔寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)〕。①當(dāng)時(shí)，為四邊形②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形③當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿(mǎn)足④當(dāng)時(shí)，為六邊形⑤當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】①②③⑤【解析】〔1〕，S等腰梯形，②正確，圖如下：〔2〕，S是菱形，面積為，⑤正確，圖如下：〔3〕，畫(huà)圖如下：，③正確〔4〕，如圖是五邊形，④不正確；〔5〕，如以以下列圖，是四邊形，故①正確【考點(diǎn)定位】考察立體幾何中關(guān)于切割的問(wèn)題，以及如何確定平面。26．假設(shè)某幾何體的三視圖〔單位：cm〕如以下列圖，那么此幾何體的體積等于________。【答案】24【解析】三視圖問(wèn)題關(guān)鍵是搞清楚幾何體的直觀圖的構(gòu)成，根據(jù)三視圖的信息確定直觀圖中的邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)，然后利用體積公式求解。此題中的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，且俯視圖是直角三角形，所以原圖是直三棱柱被平面截后所剩余的幾何體。注意長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊的法那么。即由得此幾何體的直觀圖是一個(gè)底面是直角三角形且兩直角邊分別是3,4高是5的直三棱柱在上面截去一個(gè)三棱錐，三棱錐從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，底面邊長(zhǎng)分別是3,4高是3，如以下列圖，紅色為截去的三棱錐，所以體積為；【考點(diǎn)定位】此題考察三視圖知識(shí)、多面體的體積計(jì)算公式，考察學(xué)生的空間想象能力；27．某幾何體的三視圖如以下列圖,那么其體積為.【答案】【解析】由三視圖復(fù)原為實(shí)物圖得半個(gè)圓錐，其體積．【考點(diǎn)定位】此題主要考察了三視圖復(fù)原為實(shí)物圖的能力和圓錐的體積公式，屬于容易題28．如圖是某個(gè)四面體的三視圖，該四面體的體積為．【答案】12【解析】由三視圖知，該四面體底面積，高為，故體積．29．如圖，四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點(diǎn)，平面，，是中點(diǎn)．.【答案】試題【解析】(1)證明：由題意，∥，=∴四邊形為平行四邊形，所以.又∵，∴∥又平面，平面∴∥平面4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.6分〔2〕設(shè)求點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)閂三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD即.12分30．如圖,設(shè)是一個(gè)高為的四棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點(diǎn)．試求直線(xiàn)與平面所成角的大小．【答案】【解析】法1：設(shè)與平面所成角為。因?yàn)?，?分〕所以．所以．〔4分〕。所以．〔6分〕因?yàn)椤?分〕所以,〔10分〕因此〔11分〕那么〔12分〕解法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建設(shè)空間坐標(biāo)系。那么〔4分〕所以〔6分〕設(shè)是平面的一個(gè)法向量，易求得〔8分〕設(shè)為與平面所成的角，因?yàn)椤?0分〕所以：〔11分〕〔12分〕31．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，.〔1〕證明:：；〔2〕證明：；〔3〕假設(shè)，且平面平面，求三棱錐體積.【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕詳見(jiàn)解析；〔3〕.【解析】〔1〕因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以，可得；?〕如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、，那么，，所以平面，所以；〔3〕作，垂足為，連結(jié)，因?yàn)椋?，，由，平面平面，故，因?yàn)?，所以、、都是等腰直角三角?由，得，的面積，因?yàn)槠矫妫匀忮F的體積.32．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上且．〔1〕求證：平面；〔2〕設(shè)二面角的大小為，假設(shè)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).【解析】〔1〕由，得，．又面，所以以分別為軸建設(shè)坐標(biāo)系如圖．那么設(shè)，那么．設(shè)，得：．解得：，，，所以．5分所以,，．設(shè)面的法向量為，那么，?。?yàn)?，且面，所以平面?分〔2〕設(shè)面法向量為，因?yàn)椋?，所以，?。?1分由，得．，，所以．15分三、解答題33．如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)存在，理由見(jiàn)解析【解析】解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PC.又因?yàn)镈E?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝EG，所以Q為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)．34．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線(xiàn)EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.35．如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系O－xyz，那么O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．由題意，得G(0,4,0)．因?yàn)椋?8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE的一個(gè)法向量n＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直線(xiàn)FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，那么＝(x0－4，y0，－3)．因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，－，0)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組．所以，在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.36．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線(xiàn)BC1平行于平面DA1C，并求直線(xiàn)BC1【答案】證明見(jiàn)解析，【解析】此題主要考察直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行、直線(xiàn)與平面的垂直、三棱錐的體積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。解答中需要注意線(xiàn)面平行中直線(xiàn)在平面外的交代，體積公式運(yùn)用不要漏掉。此類(lèi)問(wèn)題屬于?？碱}之一，難度屬于容易題。因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線(xiàn)BC1平行于平面DA1C直線(xiàn)BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線(xiàn)BC1到平面D1AC的距離為．【考點(diǎn)定位】考察空間幾何體的相關(guān)計(jì)算，屬中檔題。37．如圖，四棱錐P-ABCD中，，，和都是等邊三角形.〔1〕證明：；〔2〕求二面角A-PD-C的大小.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕【解析】〔1〕解題的關(guān)鍵是輔助線(xiàn)的添加，取BC的中點(diǎn)E是入手點(diǎn)，然后借助三垂線(xiàn)定理進(jìn)展證明；〔2〕利用三垂線(xiàn)定理法或者空間向量法求解二面角.求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線(xiàn)定理定角法，先找到一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，然后過(guò)垂足作二面角棱的垂線(xiàn)，再連接第三邊，即可得到平面角。假設(shè)考慮用向量來(lái)求：要求出二個(gè)面的法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要注意兩個(gè)法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補(bǔ)，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補(bǔ)即可?！?〕證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，那么ABED為正方形.過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB,OD,OE.由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，故，從而.3分因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//CD.因此.5分〔2〕解法一：由〔1〕知，，.故平面PBD.又平面PBD，所以.取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，那么FG//CD，F(xiàn)G//PD.連結(jié)AF，由為等邊三角形可得AF⊥PD.所以為二面角A-PD-C的平面角.8分連結(jié)AG，EG，那么EG//PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.設(shè)AB=2，那么，，故.在中，，，，所以.因此二面角A-PD-C的大小為.12分解法二：由〔1〕知，OE,OB,OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)，那么，，，.，.，.設(shè)平面PCD的法向量為，那么，，可得，.取，得，故.8分設(shè)平面PAD的法向量為，那么，，可得.取m=1，得，故.于是.由于等于二面角A-PD-C的平面角，所以二面角A-PD-C的大小為.12分【考點(diǎn)定位】此題考察線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明和二面角的求解，考察學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力。38．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.〔1〕求證：AA1⊥平面ABC；〔2〕求二面角A1-BC1-B1的余弦值；〔3〕證明：在線(xiàn)段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕〔3〕證明見(jiàn)解析，【解析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和平面垂直.要證直線(xiàn)和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直.求二面角，往往利用“作——證——求〞的思路完成，作二面角是常常利用直線(xiàn)和平面垂直.第〔3〕題，求解有難度，可以空間向量完成.〔1〕因?yàn)闉檎叫危?因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，所以⊥平面ABC.〔2〕由〔1〕知，⊥AC,⊥AB.由題意知，所以.如圖，以A為原點(diǎn)建設(shè)空間直角坐標(biāo)系,那么.設(shè)平面的法向量為，那么即令，那么，所以.同理可得，平面的法向量為.所以.由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.〔3〕設(shè)是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，且.所以，解得，所以.由，即，解得.因?yàn)?，所以在線(xiàn)段上存在點(diǎn)D，使得，此時(shí).【考點(diǎn)定位】此題考察了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線(xiàn)和平面垂直的判定定理，考察了法向量、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和二面角的求法，考察了空間想象能力和推理論證能力.39．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面,〔1〕求證：平面〔2〕假設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值〔3〕現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全一樣的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：假設(shè)拼成的新四棱柱形狀和大小完全一樣，那么視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的外表積為，寫(xiě)出的解析式。〔直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由〕【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕1〔3〕【解析】立體幾何第一問(wèn)對(duì)于關(guān)系的決斷往往基于對(duì)公理定理推論掌握的比較熟練，又要善于做出一線(xiàn)輔助線(xiàn)加以證明，那么第二問(wèn)就可以在其根基上采用坐標(biāo)法處理角度或者距離問(wèn)題，坐標(biāo)法所用的公式就必需熟練掌握，第三問(wèn)主要考察了學(xué)生的空間思維能力，要在平時(shí)多加練習(xí)。此題坐標(biāo)法也很考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算功底?！?〕取中點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形且在中，,即，又，所以平面，平面，又，平面〔2〕以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，，，所以，，設(shè)平面的法向量，那么由得取，得設(shè)與平面所成角為，那么，解得．故所求的值為1〔3〕共有種不同的方案【考點(diǎn)定位】此題主要考察立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系線(xiàn)面關(guān)系的判斷以及線(xiàn)面角的算法，并且通過(guò)第三問(wèn)的設(shè)問(wèn)又把幾何體的外表積與函數(shù)巧妙的結(jié)合起來(lái)，計(jì)算和空間思維要求比較高。屬于難題。40．如圖，平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點(diǎn)為．〔1〕證明：平面平面；〔2〕在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面假設(shè)存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕點(diǎn)存在，且為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；〔3〕.【解析】〔1〕直二面角的平面角為，又，那么平面，所以．又在平面四邊形中，由數(shù)據(jù)易得，而，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?分〕〔2〕解法一：由〔1〕的分析易知，，那么以為原點(diǎn)建設(shè)空間直角坐標(biāo)系如以下列圖．結(jié)合數(shù)據(jù)可得，，，，那么中點(diǎn).平面，故可設(shè)，那么，平面，，又，由此解得，即，易知這樣的點(diǎn)存在，且為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；〔8分〕解法二：〔略解〕如以下列圖，在中作，交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，那么有平面．在中，結(jié)合數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識(shí)可以求得，故知所求點(diǎn)存在，且為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；..〔8分〕〔3〕解法一：由〔2〕是平面的一個(gè)法向量，又，那么得，所以，記直線(xiàn)與平面所成角為，那么知，故所求角的正弦值為...〔12分〕解法二：〔略解〕如上圖中，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與平面所成角等于直線(xiàn)與平面所成角，由此，在中作于，易證平面，連接，那么為直線(xiàn)與平面所成角，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得，故所求角的正弦值為...〔12分〕41．如圖,三棱柱中,,,.(1)證明:;(2)假設(shè),,求三棱柱的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)3．【解析】(1)取AB的中點(diǎn),連接、、,因?yàn)镃A=CB,所以,由于,,故為等邊三角形，所以,因?yàn)?，所以平?又，故.(2)由題設(shè)知都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以42．如圖，四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點(diǎn)，平面，，是中點(diǎn)．〔1〕證明：平面平面；〔2〕求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕【解析】(1)證明：且∥，2分那么平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.6分(2)『解法1』：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連結(jié)，那么平面，易證△與△全等，過(guò)作于，連，那么，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補(bǔ)角.易求，又，，由面積橋求得，所以所以所求角為，所以因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為『解法2』：以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，以平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于方向?yàn)檩S以方向?yàn)檩S，建設(shè)如以下列圖空間直角坐標(biāo)系.那么，，，，，8分所以，，可求得平面的法向量為又，，可求得平面的法向量為那么，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為12分43．如圖,四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.〔1〕求證:EC⊥CD；〔2〕求證：AG∥平面BDE；〔3〕求：幾何體EG-ABCD的體積.【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;〔3〕【解析】〔1〕證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC,平面BCEG,EC⊥平面ABCD，3分又CD平面BCDA,故EC⊥CD4分〔2〕證明：在平面BCDG中，過(guò)G作GN⊥CE交BE于M，連DM，那么由知；MG=MN，MN∥BC∥DA,且MG∥AD,MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，AG∥DM6分∵DM平面BDE，AG平面BDE，AG∥平面BDE8分〔3〕解：10分12分44．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，，.〔1〕求證：OD//平面VBC；〔2〕求證：AC⊥平面VOD；〔3〕求棱錐的體積.【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(3)【解析】證明：〔1〕∵O、D分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴OD//BC.〔1分〕又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.〔3分〕〔2〕∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)，∴.〔4分〕連接，在和中，,∴≌VOC，∴=VOC=90，∴.〔5分〕∵,平面ABC,平面ABC,∴VO⊥平面ABC.〔6分〕∵平面ABC，∴.〔7分〕又∵，是的中點(diǎn)，∴.〔8分〕∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴AC平面DOV.〔9分〕〔3〕由〔2〕知是棱錐的高，且.〔10分〕又∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，且，∴三角形的面積，〔11分〕∴棱錐的體積為，〔12分〕故棱錐的體積為.〔13分〕45．如圖1，在直角梯形中，，.把沿折起到的位置，使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線(xiàn)段上，如圖2所示，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).〔1〕求證：平面平面；〔2〕求證：平面；〔3〕假設(shè)，求四棱錐的體積.【答案】〔1〕證明見(jiàn)解析；〔2〕證明見(jiàn)解析.〔3〕.【解析】〔1〕因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線(xiàn)段上所以平面，所以1分因?yàn)椋允侵悬c(diǎn)，