奧賽天天練(填三階幻方)

《奧賽天天練》第講《巧填幻方》。概念：如果一個(gè)n×n矩陣（教材中表現(xiàn)為方格圖）的每行，每列及兩條對(duì)角線的元素之和都相等，且這些元素都是從到n×n的自然數(shù)，這樣的矩陣就稱為n幻方有關(guān)幻方問(wèn)題的研究在我國(guó)已流傳了兩千多年這是一類形式獨(dú)特的填數(shù)字問(wèn)題。本講主要介紹比較簡(jiǎn)單的三階幻方的填寫，三階幻方就n=3時(shí)的幻方。三階幻的填法：三階幻方傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”，在北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書中記有三階幻方的填法九宮者，二為肩，八為足，左右三，戴九一，五中央。三階幻的構(gòu)造方法我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家輝是最早系統(tǒng)研究幻方的數(shù)學(xué)家。他曾將幻方命名為“縱橫圖”(階幻方也叫絡(luò)書或九宮圖)給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說(shuō)明階以上幻方輝只畫出圖形而未留下作法但他所畫的五階六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無(wú)誤輝在《續(xù)古摘奇算法》中，總結(jié)出了三階幻方構(gòu)造的方法“九子斜，上下對(duì)易左右相，四維挺出?！彼际牵合劝裭九個(gè)數(shù)依次斜排（如下圖一），再把上l9數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖二），左73數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖三），最后把四面的2、4、6向外面挺出（如下圖四），這樣就構(gòu)造了一個(gè)三階幻方。199424249757357868681911圖一

圖二

圖三

圖四三階幻方的填法不是唯一的矩陣的第一行與第三行對(duì)調(diào)或第一列與第三列對(duì)調(diào)，可以得出4種填法，將其中的任意一種填法旋90°，又可以得到另外的4填法例如，將上面圖四的第一列與第三列對(duì)調(diào)，就可以得出前面口訣中的填法。三階幻方的構(gòu)造原理：通常我們把幻方中每行個(gè)數(shù)的和稱為幻方的幻和，幻方正中心的那個(gè)數(shù)叫做中心數(shù)中心數(shù)也就是這個(gè)數(shù)的中位數(shù)從到這9數(shù)的和為：…8+9=45；則三階幻方每個(gè)數(shù)字之和即幻和為：=15。到這9個(gè)數(shù)中，和的3數(shù)，只能是、9+4+2、8+6+1、、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每條對(duì)角線上個(gè)數(shù)只能是其中某個(gè)算式中的3個(gè)數(shù)。仔細(xì)分析九宮格經(jīng)過(guò)中心數(shù)的有一行、一列和兩條對(duì)角線，即這個(gè)數(shù)必須在4不同的算式中出現(xiàn)在上面的算式中只有符合要求。同理經(jīng)過(guò)九宮格四個(gè)角上的數(shù)字都有一行、一列和一條對(duì)角線，即四個(gè)角上的數(shù)字必須同時(shí)個(gè)不同的算式中出現(xiàn)，只有2、6、8符合要求。先填好中心數(shù)和四個(gè)角上數(shù)字，再完成其它填空，就完成幻方填寫了。在教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)三階幻方中數(shù)字有趣的排列順序如四個(gè)偶數(shù)在四角從某個(gè)方向看奇偶數(shù)的是按大小有序排列的等等讓孩子在了解構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上熟記簡(jiǎn)單三階幻方的填法口訣寫三階幻方的個(gè)數(shù)論如何變化，只要將它們按大小的順序排列編號(hào)，均可按口訣“對(duì)號(hào)入座”完成填空；理解并掌握幻方中的兩個(gè)公式：幻和＝中心數(shù)；幻和＝總數(shù)可以在已知幻和的情況下，先求出中心數(shù)，或在已知中心數(shù)的情況下，先求出幻和，以便繼續(xù)求出其它的數(shù)讓孩子初步了解幻方的構(gòu)造原理這種推理方法在學(xué)習(xí)其它問(wèn)題時(shí)可以遷移使用?！秺W賽天練》第講，模訓(xùn)練，習(xí)【題目：將下面左邊方格中的9個(gè)填入右邊幻方中，使每一行、每一列條對(duì)角線中的三個(gè)數(shù)相加的和相等?！窘馕觯航夥ㄒ话堰@九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，1、3號(hào)為“6”，4、5、6號(hào)為8”、8、9號(hào)為10”。按口訣：九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。對(duì)號(hào)入座，如下圖可以填好表格。解法二這個(gè)三階幻方的幻和為10+8+6=24；中心數(shù)為24÷3=8。如上圖：首先可以填好中心數(shù)8。因?yàn)榛煤蜑?，任意行列如果有個(gè)，3個(gè)數(shù)的和必定小于24所以任意行列不可能有個(gè)6，根據(jù)這點(diǎn)，第二步可以確定個(gè)6位置，保證任26不同行不同列，不在同一條對(duì)角線上三步根據(jù)已填好的四個(gè)數(shù)，及幻和為，可以完成余下的填空。《奧賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：將9連續(xù)自然數(shù)填入的方格使每一橫行每一豎行及兩條對(duì)角線的3數(shù)之和都等于60。【解析：由已知條件可知，這個(gè)幻方，幻和為中心數(shù)為：所以這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為：、17、19、20、21、22、23、24。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：下圖中，要使每一行，每一列，兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都是27，B，，E，F(xiàn)，G應(yīng)各是多少？【解析：由題意可知幻和為中心數(shù)為27÷3=9所以等于填好中心數(shù)后，根據(jù)幻和，可以用蠶食的方法依次求出其它方格里的數(shù)：；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；F=27-9-14=4。答案略?！秺W賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面一個(gè)三階幻方中已填入了一個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)谄渌鼈€(gè)空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得9方格是9個(gè)連續(xù)自然數(shù)?！窘馕觯河梢阎獥l件可知這個(gè)幻方的中心數(shù)為所以這個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為8、9、10、11、12、13、14、15、16。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面兩個(gè)圖形中的空格填入不大于互不相同的自然數(shù)（其中已各填好一個(gè)數(shù)），使每一橫行、每一豎行及兩條對(duì)角線的個(gè)數(shù)之和都等于?！窘馕觯河深}意可知，幻和為，中心數(shù)為：如下圖，可以分別填好兩個(gè)方格圖中的一條對(duì)角線。因?yàn)橹行臄?shù)是，經(jīng)過(guò)中心數(shù)每一組另外兩個(gè)數(shù)必須一個(gè)大于10個(gè)小于所以兩個(gè)方格圖中剩下個(gè)數(shù)中有個(gè)數(shù)大于且不大于15題目左圖中，大于的數(shù)可能是、13、14、15，數(shù)字如果和同行列，，8重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)1412行列，14+12+4=30，而必須出現(xiàn)，與題意不符。所以，左圖于的三個(gè)數(shù)只能是11、13，剩下的3個(gè)數(shù)是：9、7、5通過(guò)嘗試檢驗(yàn)、或“對(duì)號(hào)入座”可以完成表格，如上圖一。同理，題目右圖于的數(shù)可能是、12、13、15，數(shù)字如果和同行列，12+6+12=30，12重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)字12與14行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必須出現(xiàn)16，與題意不符。所以，右圖于三個(gè)數(shù)只能是11、13