中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺壓軸題專題復(fù)習(xí) 三角形綜合強(qiáng)化訓(xùn)練

中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺壓軸題專題復(fù)習(xí)：三角形綜合強(qiáng)化訓(xùn)練1、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）求證：△ABC≌△EAF；（2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結(jié)論．2、如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．3、已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；（2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M．①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．4、如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求證：AD=BE；②求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN．5、從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．6、已知O為直線MN上一點(diǎn)，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點(diǎn)，DE⊥DC交MN于E．（1）如圖1，若點(diǎn)B在OP上，則①ACOE（填“＜”，“=”或“＞”）；②線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是；（2）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜45°），如圖2，那么（1）中的結(jié)論②是否成立？請說明理由；（3）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式．7、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，）．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）如圖1，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針得△A′OB′，當(dāng)A′恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關(guān)系？為什么？（3）若將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，S1與S2的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．8、邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2（1）如圖1，將△DEC沿射線方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M，邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC′多大時(shí)，四邊形MCND′為菱形？并說明理由．（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD′、BE′．邊D′E′的中點(diǎn)為P．①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD′的值．（結(jié)果保留根號(hào)）9、如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△PCE≌△EDQ；（2）延長PC，QD交于點(diǎn)R．①如圖1，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．10、如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連結(jié)DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．11、閱讀理解：我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡．問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交EF于點(diǎn)P，那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，由平行線分線段成比例得：動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是：．知識(shí)應(yīng)用：如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長．拓展提高：如圖3，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點(diǎn)為Q．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長．12、問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．①求證：△ADB≌△AEC；②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)E，連接AE并延長交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．①證明△CEF是等邊三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的長．13、尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．求證：．該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算，消去m，n即可得證．（1）請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程．（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖2所示，求的值．14、問題背景：已知∠EDF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點(diǎn)M，DF交BC所在直線于點(diǎn)N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時(shí)，則S1?S2=；（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求S1?S2的值；（3）延伸拓展：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，求S1?S2的表達(dá)式（結(jié)果用a，b和α的三角函數(shù)表示）．（Ⅱ）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=a，BD=b，直接寫出S1?S2的表達(dá)式，不必寫出解答過程．15、【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60°角與∠ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使∠DCE=30°，連接AF，EF．①求∠EAF的度數(shù)；②DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，先將三角板的90°角與∠ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使∠DCE=45°，連接AF，EF，請直接寫出探究結(jié)果：①求∠EAF的度數(shù)；②線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系．16、問題探究：1．新知學(xué)習(xí)若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．2．解決問題已知等邊三角形ABC的邊長為2．（1）如圖一，若AD⊥BC，垂