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文檔簡介

第2課時奇偶性的應(yīng)用【教學(xué)目標】1.會根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式.2.能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡單的問題.3.利用奇偶性求函數(shù)的解析式,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).4.借助奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【教學(xué)重點】會根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式.【教學(xué)難點】能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡單的問題.【教學(xué)過程】例題講解【例1】(1)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=eq\f(1,x-1),求函數(shù)f(x),g(x)的解析式.[思路點撥](1)eq\x(設(shè)x<0,則-x>0)eq\o(→,\s\up15(當x>0),\s\do15(fx=-x+1))eq\x(求f-x)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)))eq\x(得x<0時fx的解析式)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)),\s\do15(的性質(zhì)))eq\x(f0=0)eq\o(→,\s\up15(分段函數(shù)))eq\x(fx的解析式)(2)eq\x(fx+gx=\f(1,x-1))eq\o(→,\s\up15(用-x代式中x))eq\x(得f-x+g-x=\f(1,-x-1))eq\o(→,\s\up15(奇偶性))eq\x(得fx-gx=-\f(1,x+1))eq\o(→,\s\up15(解方程組))eq\x(\a\al(得fx,gx,的解析式))[解](1)設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=x+1,∴當x<0時,f(x)=-x-1.又x=0時,f(0)=0,所以f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x-1,x<0,,0,x=0,,-x+1,x>0.))(2)∵f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=eq\f(1,x-1),①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=eq\f(1,-x-1),∴f(x)-g(x)=eq\f(1,-x-1),②(①+②)÷2,得f(x)=eq\f(1,x2-1);(①-②)÷2,得g(x)=eq\f(x,x2-1).把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)”,再求f(x),g(x)的解析式.[解]∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),又f(x)+g(x)=eq\f(1,x-1),①用-x代替上式中的x,得f(-x)+g(-x)=eq\f(1,-x-1),即f(x)-g(x)=eq\f(1,x+1).②聯(lián)立①②得f(x)=eq\f(x,x2-1),g(x)=eq\f(1,x2-1).方法總結(jié)利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法1“求誰設(shè)誰”,既在哪個區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).2要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.3利用fx的奇偶性寫出-fx或f-x,從而解出fx.提醒:若函數(shù)fx的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f0=0,但若為偶函數(shù),未必有f0=0.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問題[探究問題]1.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,那么f(x)在(-b,-a)上的單調(diào)性如何?如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,那么f(x)在(-b,-a)上的單調(diào)性如何?提示:如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,那么f(x)在(-b,-a)上單調(diào)遞增;如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,那么f(x)在(-b,-a)上單調(diào)遞增.2.你能否把上述問題所得出的結(jié)論用一句話概括出來?提示:奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.3.若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,那么f(3)和f(-2)的大小關(guān)系如何?若f(a)>f(b),你能得到什么結(jié)論?提示:f(-2)>f(3),若f(a)>f(b),則|a|<|b|.角度一比較大小問題【例2】函數(shù)y=f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是()A.f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1) D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路點撥]eq\x(y=fx+2是偶函數(shù))→eq\x(fx的圖象關(guān)于x=2對稱)eq\o(→,\s\up15([0,2]上),\s\do15(遞增))eq\x(比較大小)B[∵函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),又f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).]方法總結(jié)比較大小的求解策略,看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上.1在同一單調(diào)區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小;2不在同一單調(diào)區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.課堂練習(xí)1.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數(shù),則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)A[由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知,若x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數(shù),則x∈(-∞,0)時,f(x)是減函數(shù),故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小,則其函數(shù)值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f(π)>f(-3)>f(-2),故選A.]角度二解不等式問題【例3】已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實數(shù)m的取值范圍.[解]因為f(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上為減函數(shù).又f(1-m)<f(m),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2≤1-m≤2,,-2≤m≤2,,1-m>m,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1≤m≤3,,-2≤m≤2,,m<\f(1,2).))解得-1≤m<eq\f(1,2).故實數(shù)m的取值范圍是-1≤m<eq\f(1,2).方法總結(jié)解有關(guān)奇函數(shù)fx的不等式fa+fb<0,先將fa+fb<0變形為fa<-fb=f-b,再利用fx的單調(diào)性去掉“f”,化為關(guān)于a,b的不等式.另外,要特別注意函數(shù)的定義域.,由于偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反,所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)fx=f|x|=f-|x|將fgx中的gx全部化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用單調(diào)性去掉符號f,使不等式得解.課堂練習(xí)2.函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),f(3)<f(2a+1),則aA.a(chǎn)>1 B.a(chǎn)<-2C.a(chǎn)>1或a<-2 D.-1<a<2C[因為函數(shù)f(x)在實數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以3<|2a+1|,解之得a>1或a<-2.故選課堂小結(jié)1.具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點(1)奇函數(shù)在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的單調(diào)性.(2)偶

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