《統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用》設(shè)計(jì)

5.4統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1.通過實(shí)例進(jìn)一步理解概率的意義及應(yīng)用．2．能用概率的知識解決實(shí)際生活中的問題．【教學(xué)重點(diǎn)】通過實(shí)例進(jìn)一步理解概率的意義及應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】能用概率的知識解決實(shí)際生活中的問題．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】新知初探1．生活中的概率概率和日常生活有著密切的聯(lián)系，對生活中的隨機(jī)事件，我們可以利用概率知識做出合理的判斷與決策．2．概率的應(yīng)用概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個(gè)常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生．小試牛刀1．若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有()A．f(n)與某個(gè)常數(shù)相等B．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小C．f(n)與某個(gè)常數(shù)差的絕對值逐漸減小D．f(n)在某個(gè)常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定D[隨著n的增大，頻率f(n)會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系．]2.今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列說法不正確的是()A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B.上海今天可能降雨，而北京可能不降雨C.北京和上海都可能不降雨D.北京降雨的可能性比上海大解析：北京降雨的概率大于上海降雨的概率，說明北京降雨的可能性比上海大，兩個(gè)城市都可能降雨，也可能不降雨，但不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨．答案：A3.某銀行儲蓄卡上的密碼是一個(gè)6位數(shù)號碼，每位上的數(shù)字可以在0～9這10個(gè)數(shù)字中選取，某人未記住密碼的最后一位數(shù)字，如果隨意按密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對密碼的概率是解析：只考慮最后一位數(shù)字即可，從0到9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選一個(gè)的概率為eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)4．魚池中共有N條魚，從中捕出n條并標(biāo)上記號后放回池中，經(jīng)過一段時(shí)間后，再從池中捕出M條，其中有記號的有m條，則估計(jì)魚池中共有魚N＝________條．eq\f(nM,m)[由題意得eq\f(n,N)≈eq\f(m,M)，∴N≈eq\f(nM,m).]例題講解游戲的公平性例1.一天，甲拿出一個(gè)裝有三張卡片的盒子（一張卡片的兩面都是綠色，一張卡片的兩面都是藍(lán)色，還有一張卡片一面是綠色，另一面是藍(lán)色），跟乙說玩一個(gè)游戲，規(guī)則是：甲將盒子里的卡片打亂順序后，由乙隨機(jī)抽出一張卡片放在桌上，然后卡片朝下的面的顏色覺得勝負(fù)，如果朝下的面的顏色與朝上的面的顏色一致，則甲贏，否則甲輸.乙對游戲的公平性提出了質(zhì)疑，但是甲說：“當(dāng)然公平！你看，如果朝上的面的顏色是綠色，則這張卡片不可能兩面都是藍(lán)色，因此朝下的買諾要么是綠色，要么是藍(lán)色，因此，你贏的概率為，我贏的概率也是，怎么不公平？”分析這個(gè)游戲是否公平.解：（方法一）把卡片六個(gè)面的顏色記為：其中，G表示綠色，B表示藍(lán)色；是兩面顏色不一樣的那張卡片的顏色.游戲的所有結(jié)果可以用下圖表示：不難看出，樣本空間共有6個(gè)樣本點(diǎn)，朝上的面與朝下的面顏色不一致的情況只有2種，因此乙贏的概率為，因此這個(gè)游戲不公平.（方法二）把三張卡片分別記為：，其中G表示兩面都是綠色的卡片，B表示兩面都是藍(lán)色的卡片，M表示一面是綠色另一面是藍(lán)色的卡片.考慮乙抽取到的卡片只有三種可能，而且只有抽到M乙才能贏，所以乙贏得概率為，因此這個(gè)游戲不公平.方法總結(jié)游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時(shí)，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．當(dāng)堂練習(xí)1如圖所示，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標(biāo)上1,2,3三個(gè)數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標(biāo)上3,4,5,6四個(gè)數(shù)字．現(xiàn)為甲、乙兩人設(shè)計(jì)游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指上一個(gè)數(shù)字，將指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則乙獲勝，你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？【解析】列表如下：BA3456145672567836789由表可知，可能的結(jié)果有12種，和為6的結(jié)果只有3種．因此，甲獲勝的概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，乙獲勝的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，甲、乙獲勝的概率不相等，所以這個(gè)游戲規(guī)則不公平.概率的意義例2.某廠家聲稱子集得產(chǎn)品合格率為95%，市場質(zhì)量管理人員抽取了這個(gè)廠家的3件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)3件都不合格，廠家聲稱的合格率可信嗎？解：如果產(chǎn)品的合格率為95%，則隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，不合格的概率應(yīng)為1-95%=5%.此時(shí)，隨機(jī)抽取3件，都不合格的概率為：也就是說，如果廠家所聲稱的合格率可信，那么就發(fā)生了一件可能性只有0.0125%的事！但是一件概率只有0.0125%的事情是不大可能發(fā)生的，因此有理由相信，廠家所聲稱的合格率是不可信的.方法總結(jié)利用概率的穩(wěn)定性解題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件．當(dāng)堂練習(xí)2新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù)．通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.(1)分別估計(jì)我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；(2)根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？【解析】(1)2014年男嬰出生的頻率為eq\f(115.88,100＋115.88)≈0.537，2015年男嬰出生的頻率為eq\f(113.51,100＋113.51)≈0.532.由此估計(jì)，我國2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率約為0.532.(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計(jì)具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.總體概率的估計(jì)例3人的卷舌與平舌(指是否能左右卷起來)同人的眼皮單雙一樣，也是由遺傳自父母的基因決定的，其中顯性基因記作D，隱性基因記作d；成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，就一定是卷舌的(這就是說，“卷舌”的充要條件是“基因?qū)κ荄D，dD或Dd”)．同前面一樣，決定眼皮單雙的基因仍記作B(顯性基因)和b(隱性基因)．有一對夫妻，兩人決定舌頭形態(tài)和眼皮單雙的基因都是DdBb，不考慮基因突變，求他們的孩子是卷舌且單眼皮的概率．(生物學(xué)上已經(jīng)證明：控制不同性狀的基因遺傳時(shí)互不干擾．)【解析】方法一根據(jù)題意，這對夫妻孩子的決定舌頭形態(tài)和眼皮單雙的基因的所有可能可以用圖表示．不難看出，樣本空間中共包含16個(gè)樣本點(diǎn)，其中表示卷舌且單眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率為eq\f(3,16).方法二先考慮孩子是卷舌的概率．所有的情況可用右圖表示，由圖可以看出，孩子是卷舌的概率為eq\f(3,4).同理，孩子是雙眼皮的概率為eq\f(3,4)，因此是單眼皮的概率為1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).由于不同性狀的基因遺傳時(shí)互不干擾，也就是說是否為卷舌與是否為單眼皮相互獨(dú)立，因此是卷舌且單眼皮的概率為eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).方法總結(jié)1．取出元素?zé)o序的試驗(yàn)可采用字典排列法列舉基本事件．2．先將元素表示出來，如例1用“1,2,3,4,5”表示5個(gè)球，列舉時(shí)，先寫出含元素“1”的，寫完后除去1，再寫出含元素“2”的，依次進(jìn)行，即3．解決“5個(gè)元素任取4個(gè)”時(shí)，可利用“5取4剩1”來解決，如例1中若一次摸出4個(gè)球，則根據(jù)剩下的1個(gè)，列舉出基本事件．{1}→{2,3,4,5}等．當(dāng)堂練習(xí)3某社區(qū)為了解該社區(qū)退休老人每天的平均戶外活動時(shí)間，從該社區(qū)退休老人中隨機(jī)抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外活動時(shí)間(單位：時(shí))，活動時(shí)間按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)該社區(qū)退休老人每人每天的平均戶外活動時(shí)間的中位數(shù)；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)這兩組中采用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人恰好在同一個(gè)組的概率．解析：(1)由頻率分布直方圖，可知平均戶外活動時(shí)間在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，平均戶外活動時(shí)間在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]內(nèi)的頻率分別為0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)設(shè)中位數(shù)為m時(shí)．因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5.所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估計(jì)該社區(qū)退休老人每人每天的平均戶外活動時(shí)間的中位數(shù)為2.06時(shí)．(3)由題意得平均戶外活動時(shí)間在[1,1.5)，[1.5,2)內(nèi)的人數(shù)分別為15,20，按分層抽樣的方法在[1,1.5)，[1.5,2)內(nèi)分別抽取3人、4人，從7人中隨機(jī)抽取2人，共有Ceq\o\al(2,7)＝21種方法，抽取的兩人恰好都在同一個(gè)組有Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)＝9種方法，故