高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)-各個(gè)知識(shí)點(diǎn)攻破5-5-解斜三角形課件-新人教B版

第五節(jié)解斜三角形1.2.考綱要求1.理解掌握正弦定理、余弦定理，并會(huì)利用它們解三角形．2．會(huì)利用正弦定理、余弦定理解三角形，會(huì)判斷三角形的形狀，會(huì)求三角形的面積及有關(guān)最值問(wèn)題．考試熱點(diǎn)1.利用正弦定理、余弦定理求角、求角的函數(shù)值、求邊．2．解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積等綜合問(wèn)題.3.4.1．正弦定理、余弦定理設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，R是△ABC的外接圓半徑．(1)正弦定理：(2)正弦定理的變式①a＝

，b＝

，c＝

.②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ .③a∶b∶c＝

.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC5.(3)余弦定理1①a2＝

，②b2＝

，③c2＝

.(4)余弦定理的變式cosA＝ ；cosB＝ ；cosC＝b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC6.2．解斜三角形的類(lèi)型(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求得其他邊、角；(3)已知三邊，求三個(gè)角；(4)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．7.在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形8.A為銳角A為鈍角或直角關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)

一解一解一解兩解9.1．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，則b的值為 ()答案：C10.2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若c＝ B＝120°，則a等于 ()11.答案：D12.3．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則 的值為 ()13.答案：D14.4．△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，a＋c＝3，cosB＝，則 等于 ()15.答案：B16.17.18.19. 三角形中的邊角關(guān)系[例1]在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A.[分析]先用余弦定理求出c，然后利用正弦定理求出sinA，進(jìn)而求出A.20.21.[拓展提升]本題易誤點(diǎn)為由sinA求A時(shí)解的情況的判定，應(yīng)結(jié)合圖形，或“大邊對(duì)大角”作出判斷．22.已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，求其他邊和角．∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°.23.24. 判斷三角形的形狀[例2]在△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷該三角形的形狀．[分析]利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互比，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系．25.[解]解法1：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0<A<π，0<B<π，∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．26.解法2：同解法1可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．27.[拓展提升]確定三角形的形狀主要有兩條途徑：(1)化邊為角．(2)化角為邊．具體有四種方法：①通過(guò)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化．②通過(guò)余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化．③通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系．④通過(guò)三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)有界性的討論．28.已知△ABC中，AB＝m，BC＝m＋p(m、p均為正實(shí)數(shù))，AC＝ ，若m2＝n2＋p2，試分別對(duì)下列三種情況討論△ABC是銳角三角形？直角三角形？還是鈍角三角形？(1)m2－mp－p2>0；(2)m2－mp－p2＝0；(3)m2－mp－p2<0.29.30.31. 正、余弦定理的綜合運(yùn)用[例3](2009·湖北高考)在銳角三角形ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且(1)確定角C的大??；[分析](1)只要變換關(guān)系式a＝2csinA就可以求出sinC，根據(jù)sinC的值確定角C的大??；(2)根據(jù)第(1)問(wèn)的結(jié)果，利用余弦定理可以得到一個(gè)關(guān)于a、b的方程組，解這個(gè)方程組就可以求出a、b的值．32.33.由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②變形得(a＋b)2＝3ab＋7.③將①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.34.[拓展提升]本題的新穎之處是考查方程思想和整體思想．第(1)問(wèn)實(shí)際上是為第(2)問(wèn)服務(wù)的，在解決了第(1)問(wèn)后，第(2)問(wèn)中給出的兩個(gè)條件其目的是讓考生列出關(guān)于a，b的方程組，而結(jié)論求a＋b的值，既可以求出a、b后解決，也可以整體解決．考生容易忽視已知條件中的△ABC為銳角三角形，得出角C有兩個(gè)解，導(dǎo)致解題復(fù)雜化和解題錯(cuò)誤．所以在解題中要仔細(xì)審題，把明顯的、隱含的已知條件弄清楚，防止出現(xiàn)上面所說(shuō)的情況．35.(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足(1)求△ABC的面積；(2)若b＋c＝6，求a的值．36.37. 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用[例4](2009·寧夏、海南高考)為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A(yíng)，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖1所示)．飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N間的距離的步驟．38.圖1圖239.40.41.[拓展提升]本題并沒(méi)有直接給出測(cè)量數(shù)據(jù)讓考生直接計(jì)算，而是要求考生親臨實(shí)際問(wèn)題的環(huán)境里進(jìn)行具體操作，找到解決問(wèn)題的方案，并設(shè)計(jì)出計(jì)算步驟，可以說(shuō)本題是一道真正意義上的應(yīng)用題．42.(2009·遼寧高考)如圖3所示，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，≈1.414，