勾股定理的逆定理 課件 八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

20213.2勾股定理的逆定理八年級(jí)上冊(cè)復(fù)習(xí)回顧1B

C

A

問題1

勾股定理的內(nèi)容是什么?

直角三角形的直角邊的平方和等于斜邊的平方，如圖，Rt△ABC三邊關(guān)系有a2+b2=c2.bca問題2求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)：①

a＝3，b＝4；②

a＝7，b＝24；③a＝5，b＝12.c=5c=25c=13思考

以前我們已經(jīng)學(xué)過了通過角的關(guān)系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角形呢？復(fù)習(xí)引入教學(xué)新知2巴比倫時(shí)期美索不達(dá)米亞有豐富的粘土資源，學(xué)生們以手掌大小的粘土板為練習(xí)本．只要粘土板還潮濕，就可以擦掉上面原有的計(jì)算，開始新的計(jì)算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后來人們就是在這些建筑中發(fā)現(xiàn)的“普林頓332泥板”。泥板上的神秘符號(hào)，實(shí)際上是一些數(shù)組，經(jīng)過專家的潛心研究,發(fā)現(xiàn)其中兩列數(shù)字竟然是直角三角形的勾和弦的長(zhǎng),運(yùn)用勾股定理算得另一條直角邊的長(zhǎng)也是整數(shù)。

同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3段，4段，5段的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.情景引入講授新課勾股定理的逆定理一下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題

分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個(gè)等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2我覺得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問題3據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足

a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角.特別說明：歸納總結(jié)

例1下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.

根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.歸納【變式題1】若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，是判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長(zhǎng)，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個(gè)相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.歸納常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).常見勾股數(shù)記憶順口溜：勾3股4弦53455月12記一生（13）51213連續(xù)偶數(shù)6，8，1068108月15在一起（17）81517課堂練習(xí)31.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)分別是3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形4.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，55.將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA勾股數(shù)的性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù)。4、若△ABC的三邊a,b,c滿足a:b:c=3:4:5，是判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長(zhǎng)，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個(gè)相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.課堂小結(jié)4勾股定理的逆定理內(nèi)容作用從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個(gè)三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意最長(zhǎng)邊不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股數(shù)一定是正整數(shù)拓展提升51.若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5即a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形.2.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù)).（1）試問△ABC是直角三角形嗎？（2）若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.3.如圖，在正方形ABCD中，