初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明本章復(fù)習(xí)與測(cè)試 市一等獎(jiǎng)

《第1章三角形的證明》一、選擇題1．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1：1：2，則這個(gè)三角形為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形2．下面命題不正確的是（）A．兩個(gè)內(nèi)角分別是50°和65°的三角形是等腰三角形B．兩個(gè)外角相等的三角形是等腰三角形C．一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形D．兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若a2＞1，則a＞1”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)=﹣2 B．a(chǎn)=﹣1 C．a(chǎn)=1 D．a(chǎn)=24．反證法證明“三角形中至少有一個(gè)角不小于60°”先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．有一個(gè)內(nèi)角小于60° B．每個(gè)內(nèi)角都小于60°C．有一個(gè)內(nèi)角大于60° D．每個(gè)內(nèi)角都大于60°5．如圖，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DF=DE，連接FC，若∠B=70°，則∠F的度數(shù)是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里二、填空題8．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC邊上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是．9．如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若AB=5，AC=4，則△ADE的周長(zhǎng)是．10．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答題11．證明題：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求證：PB≠PC．12．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀．（只寫結(jié)果）13．已知∠AOB及其內(nèi)部一點(diǎn)P，試討論以下問(wèn)題的解答：（1）如圖①，若點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，我們可以過(guò)P點(diǎn)作直線垂直于角平分線，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，則可以得到△OCD是以CD為底邊的等腰三角形；若點(diǎn)P不在∠AOB的平分線上（如圖②），你能過(guò)P點(diǎn)作直線，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底邊嗎？請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法．（2）若點(diǎn)P不在∠AOB的平分線上（如圖③），我們可以過(guò)P點(diǎn)作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直線PR分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，則可以得到△OCD是以O(shè)C為底的等腰三角形．請(qǐng)你說(shuō)明這樣作的理由．（3）若點(diǎn)P不在∠AOB的平分線上，請(qǐng)你利用在（2）中學(xué)到的方法，在圖④中過(guò)P點(diǎn)作直線分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底邊．保留畫圖的痕跡，不用寫出畫法．

《第1章三角形的證明》參考答案與試題解析一、選擇題1．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1：1：2，則這個(gè)三角形為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】由三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1：1：2，可設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：x，x，2x，然后由三角形的內(nèi)角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1：1：2，∴設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為：45°，45°，90°．∴這個(gè)三角形為等腰直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1：1：2，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命題不正確的是（）A．兩個(gè)內(nèi)角分別是50°和65°的三角形是等腰三角形B．兩個(gè)外角相等的三角形是等腰三角形C．一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形D．兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【分析】認(rèn)真閱讀各選項(xiàng)，結(jié)合各選項(xiàng)提供的已知條件及等腰三角形的定義可得．【解答】解：A、第三個(gè)角180°﹣50°﹣65°=65°，有兩等角的三角形是等腰三角形，正確；B、外角相等，則對(duì)應(yīng)的內(nèi)角也相等，有兩等角的三角形是等腰三角形，正確；C、利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位相等，可知，另外的兩內(nèi)角也相等，有兩等角的三角形是等腰三角形，正確；D、兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形可能是等腰三角形，錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；找出各選項(xiàng)的正誤是正確解答本題的關(guān)鍵．3．下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若a2＞1，則a＞1”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)=﹣2 B．a(chǎn)=﹣1 C．a(chǎn)=1 D．a(chǎn)=2【考點(diǎn)】反證法．【分析】根據(jù)要證明一個(gè)結(jié)論不成立，可以通過(guò)舉反例的方法來(lái)證明一個(gè)命題是假命題．【解答】解：用來(lái)證明命題“若a2＞1，則a＞1”是假命題的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用舉例法證明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要說(shuō)明數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤，只需舉出一個(gè)反例即可這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．4．反證法證明“三角形中至少有一個(gè)角不小于60°”先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．有一個(gè)內(nèi)角小于60° B．每個(gè)內(nèi)角都小于60°C．有一個(gè)內(nèi)角大于60° D．每個(gè)內(nèi)角都大于60°【考點(diǎn)】反證法．【專題】證明題．【分析】此題要運(yùn)用反證法，由題意先假設(shè)三角形的三個(gè)角都小于60°成立．然后推出不成立．得出選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)三角形的三個(gè)角分別為：a，b，c．假設(shè)，a＜60°，b＜60°，c＜60°，則a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°與三角形內(nèi)角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假設(shè)不成立，即三角形中至少有一個(gè)角不小于60°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是反證法，解答此題的關(guān)鍵是由已知三角形中至少有一個(gè)角不小于60°假設(shè)都小于60°進(jìn)行論證．5．如圖，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DF=DE，連接FC，若∠B=70°，則∠F的度數(shù)是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由題意可得EB=ED，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根據(jù)平行線等分線段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可證得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中點(diǎn)，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解題意．6．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【專題】分類討論．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【解答】解：如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．7．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；方向角；平行線的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)方向角的定義即可求得∠M=70°，∠N=40°，則在△MNP中利用內(nèi)角和定理求得∠NPM的度數(shù)，證明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角的定義，以及三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定義是關(guān)鍵．二、填空題8．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC邊上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是6．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC邊上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，易求得各角的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若AB=5，AC=4，則△ADE的周長(zhǎng)是9．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，易證得△DOB與△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，繼而可得△ADE的周長(zhǎng)等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意證得△DOB與△EOC是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．10．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來(lái)判斷①②是否正確；③④要通過(guò)作等腰三角形來(lái)判斷其結(jié)論是否成立．【解答】解：應(yīng)添加的條件是②③④；證明：②當(dāng)∠BAD=∠CAD時(shí)，∵AD是∠BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；則△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延長(zhǎng)DB至E，使BE=AB；延長(zhǎng)DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題的難點(diǎn)是結(jié)論③的證明，能夠正確的構(gòu)建出等腰三角形是解答③題的關(guān)鍵．三、解答題11．證明題：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求證：PB≠PC．【考點(diǎn)】反證法．【專題】證明題．【分析】運(yùn)用反證法進(jìn)行求解：（1）假設(shè)結(jié)論P(yáng)B≠PC不成立，PB=PC成立．（2）從假設(shè)出發(fā)推出與已知相矛盾．（3）得到假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．【解答】證明：假設(shè)PB≠PC不成立，則PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；與∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，則PB≠PC．【點(diǎn)評(píng)】解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．12．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀．（只寫結(jié)果）【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）以D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：（2）△ADF的形狀是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和推理能力，題目比較典型，難度也適中．13．已知∠AOB及其內(nèi)部一點(diǎn)P，試討論以下問(wèn)題的解答：（1）如圖①，若點(diǎn)P在∠AO