初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理單元復(fù)習(xí)（區(qū)一等獎(jiǎng)）

勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納和題型歸類一．知識(shí)歸納１．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么２.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為，所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證３.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題５.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊③勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形６.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子的正整數(shù)）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）７．勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決．題型一：直接考查勾股定理例１.在中，．⑴已知，．求的長(zhǎng)⑵已知，，求的長(zhǎng)題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.⑴在中，，，，于，＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為，斜邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形的面積為例３.如圖中，，，，，求的長(zhǎng)例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積題型三：實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹(shù)，一棵高，另一棵高，兩樹(shù)相距，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵數(shù)的樹(shù)梢，至少飛了。題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為，，，判定是否為直角三角形①，，②，，例7.三邊長(zhǎng)為，，滿足，，的三角形是什么形狀？題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知中，，，邊上的中線，求證：。1、在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？2、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長(zhǎng)為10米的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。3、如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E的的距離相等，則E應(yīng)建在距A多少千米處？4、在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的路程和最短，問(wèn)：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？5、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別為多少？典型題訓(xùn)練勾股定理在Rt△ABC中，AC=12，AB=20，求BC的長(zhǎng)?！鰽BC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，求△ABC的周長(zhǎng)。勾股定理的逆定理已知，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c,，求∠C的度數(shù)。2.如圖，A,B是公路l(l為東西走向)兩旁的兩個(gè)小村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45°方向上．

（1）求出A，B兩村之間的距離；

（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車(chē)站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡）。一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方向儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左轉(zhuǎn)90o，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你判斷船轉(zhuǎn)彎后是否沿正西方向航行？三．最短路徑問(wèn)題1.如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？有一圓柱形油罐，如圖所示，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點(diǎn)的正上方B點(diǎn)，若油罐底面半徑是4m，高是7m，π≈3，問(wèn)梯子最短是多少米？折疊問(wèn)題如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF=6.25cm，求AD的長(zhǎng)。如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC=10cm，AB=8cm，求EC的長(zhǎng)。3.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)。如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，且B′C=3，求CN和AM的長(zhǎng)。網(wǎng)格問(wèn)題如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，求△ABC中AB邊上的高。面積問(wèn)題1.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的邊長(zhǎng)分別為6和8，求b的面積。2.如圖所示，在△ABC中，AC=10，BC=17，CD=8，AD=6，（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積。如圖，在△ABC中，∠ABC=90o，分別以BC,AB,AC為邊向外作正方形，面積分別記為S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，則S1=。4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，BC=6cm