《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)的圖象課件

第二十講三角函數(shù)的圖象回歸課本1.作y=Asin(ωx+φ)的圖象主要有以下兩種方法:(1)用“五點(diǎn)法”作圖.用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0, π, ,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象.(2)由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.方法一:先平移后伸縮y=sinxy=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).方法二:先伸縮后平移y=sinx y=sinωx

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí),A叫做振幅,T=叫做周期,叫做頻率,ωx+φ叫做相位,x=0時(shí)的相位φ稱為初相.3.對(duì)稱問題y=sinx圖象的對(duì)稱中心是(kπ,0),(k∈Z).對(duì)稱軸方程是x= +kπ,(k∈Z).y=cosx圖象的對(duì)稱中心是

(k∈Z).對(duì)稱軸方程是x=kπ,(k∈Z).考點(diǎn)陪練答案:A2.若f(x)=sin(ωωx+φφ)的圖象(部分)如圖所示示,則ω和φ的取值是是()答案:C答案:C4.(2010·四川)將函數(shù)y=sinx的圖象上上所有的的點(diǎn)向右右平行移移動(dòng)個(gè)個(gè)單位長長度,再把所得得各點(diǎn)的的橫坐標(biāo)標(biāo)伸長到到原來的的2倍(縱坐標(biāo)不不變),所得圖象象的函數(shù)數(shù)解析式式是()答案:C答案:C類型一“五點(diǎn)法”作圖解題準(zhǔn)備備:根據(jù)三角角函數(shù)的的圖象在在一個(gè)周周期內(nèi)的的最高點(diǎn)點(diǎn)?最低點(diǎn)及及與x軸的三個(gè)個(gè)交點(diǎn)來來作圖,即先確定定這五個(gè)個(gè)點(diǎn)來作作這個(gè)函函數(shù)的圖圖象.其一般步步驟是:(1)令ωx+φφ分別等于于0,π,,2ππ,求出對(duì)應(yīng)應(yīng)的x值和y值,即求出對(duì)對(duì)應(yīng)的五五點(diǎn);(2)在坐標(biāo)系系中描出出這五個(gè)個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn),用平滑的的曲線順順次連接接,得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周周期內(nèi)的的函數(shù)圖圖象;(3)將所得圖圖象向兩兩邊擴(kuò)展展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的圖象象.【典例1】作出函數(shù)數(shù)的的一個(gè)周周期內(nèi)的的圖象.[分析]考查:“五點(diǎn)法”作圖.[反思感悟悟]用“五點(diǎn)法”作正?余弦函數(shù)數(shù)的圖象象要注意意以下幾幾點(diǎn):①先將解析析式化為為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;②周期;③振幅A(A>0);④列出一個(gè)個(gè)周期的的五個(gè)特特殊點(diǎn);⑤描點(diǎn)?用平滑曲曲線連線線.類型二三三角函函數(shù)的圖圖象變換換解題準(zhǔn)備備:三角函數(shù)數(shù)的圖象象變換包包括平移移和伸縮縮兩類變變換,具體有以以下三種種變換:(1)相位變換換:y=sinx的圖象向向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)單位得得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象.(2)周期變換換:y=sinx的圖象上上所有點(diǎn)點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)伸長長(0<ωω<1)或縮短(ω>1)到原來的的倍倍(縱坐標(biāo)不不變),得到y(tǒng)=sinωx的圖象.(3)振幅變換換:y=sinx圖象上所所有點(diǎn)的的縱坐標(biāo)標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的的A倍(橫坐標(biāo)不不變),得到y(tǒng)=Asinx的圖象.[分析]先化異名名為同名名,后作變換換.[反思感悟悟]對(duì)于y=f(x)的圖象,若將圖象象平移a(a>0)個(gè)單位,當(dāng)向左平平移則把把x換成x+a,當(dāng)向右平平移則把把x換成x-a,其他任何何數(shù)值和和符號(hào)不不變,若將圖上上各點(diǎn)的的橫坐標(biāo)標(biāo)伸長到到原來的的ω倍(ω>1),則只需將將x換成,若將圖象象上各點(diǎn)點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)縮短短到原來來的(ω>1),則只需將將x換成ωx即可.類型三三三角函函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式式解題準(zhǔn)備備:給出圖象象求解析析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的難點(diǎn)在在于φ的確定,本質(zhì)為待待定系數(shù)數(shù)法.基本方法法是:①“五點(diǎn)法”,運(yùn)用“五點(diǎn)”中的一點(diǎn)點(diǎn)確定.②圖象變換換法,即已知圖圖象是由由哪個(gè)函函數(shù)的圖圖象經(jīng)過過變換得得到的,通?？捎捎闪阒迭c(diǎn)點(diǎn)或最值值點(diǎn)確定定φ,有時(shí)從找找“五點(diǎn)法”中的第一一零值點(diǎn)點(diǎn)作為突破破口,要從圖象象的升降降情況找找準(zhǔn)第一一零值點(diǎn)點(diǎn)的位置置.【典例3】下圖為y=Asin(ωx+φ)的圖象的的一段,求其解析析式.[分析]確定A.若以N為五點(diǎn)法法作圖中中的第一一零點(diǎn),由于此時(shí)時(shí)曲線是是先下降降后上升升(類似于y=-sinx的圖象)所以A<0;若以M點(diǎn)為第一一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn),由于此時(shí)時(shí)曲線是是先上升升后下降降(類似于y=sinx的圖象)所以A>0.而ω=,φφ可由相位位來確定定.(2)由此題兩兩種解法法可見,在由圖象象求解析析式時(shí),“第一零點(diǎn)點(diǎn)”的確定是是很重要要的,盡量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段圖圖象,求其解析析式時(shí),A比較容易易看圖得得出,困難的是是求待定定系數(shù)ω和φ,常用如下下兩種方方法:①如果圖象象明確指指出了周周期T的大小和和“零點(diǎn)”坐標(biāo),那么由ω=即可求出出ω;確定φ時(shí),若能求出出離原點(diǎn)點(diǎn)最近的的右側(cè)圖圖象上升升(或下降)的零點(diǎn)橫橫坐標(biāo)x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=ππ)即可求出出φ.②代入點(diǎn)的的坐標(biāo).利用一些些已知點(diǎn)點(diǎn)(最高點(diǎn)?最低點(diǎn)或或零點(diǎn))坐標(biāo)代入入解析式式,再結(jié)合圖圖形解出出ω和φ,若對(duì)A,ω的符號(hào)或或?qū)Ζ盏姆秶杏幸?則可用誘誘導(dǎo)公式式變換使使其符合合要求.(3)利用圖象象特征確確定函數(shù)數(shù)解析式式y(tǒng)=Asin(ω+φφ)+k或根據(jù)代代數(shù)條件件確定解解析式時(shí)時(shí),要注意以以下幾種種常用方方法:①振幅A=(ymax-ymin).②相鄰兩個(gè)個(gè)最值對(duì)對(duì)應(yīng)的橫橫坐標(biāo)之之差,或者一個(gè)個(gè)單調(diào)區(qū)區(qū)間的長長度為由由此推推出ω的值.③確定φ值,一般用給給定特殊殊點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)代入解解析式確確定.類型四三三角函函數(shù)圖象象的對(duì)稱稱性解題準(zhǔn)備備:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的的對(duì)稱問問題(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)關(guān)于直線線x=xk(其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z)成軸對(duì)稱稱圖形,也就是說說波峰或或波谷處處且與x軸垂直的的直線為為其對(duì)稱稱軸.(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對(duì)對(duì)稱圖形形,也就是說說函數(shù)圖圖象與x軸的交點(diǎn)點(diǎn)(平衡位置置點(diǎn))是其對(duì)稱稱中心.類型五三三角函函數(shù)模型型的常見見應(yīng)用解題準(zhǔn)備備:三角函數(shù)數(shù)能夠模模擬許多多周期現(xiàn)現(xiàn)象,因此在解解決實(shí)際際問題時(shí)時(shí)有著廣廣泛的應(yīng)應(yīng)用.如果某種種變化著著的現(xiàn)象象具有周周期性,那么它就就可以借借助三角角函數(shù)來來描述,三角函數(shù)數(shù)模型的的常見類類型有:(1)航海類問問題.涉及方位位角概念念,方位角指指的是從從指正北北方向線線順時(shí)針針旋轉(zhuǎn)到到目標(biāo)方方向線所所成的角角度.還涉及正正?余弦定理理.(2)與三角函函數(shù)圖象象有關(guān)的的應(yīng)用題題.近年全國國高考有有一解答答題正是是此類應(yīng)應(yīng)用題.(3)引進(jìn)角為為參數(shù),利用三角角函數(shù)的的有關(guān)公公式進(jìn)行行推理,解決最優(yōu)優(yōu)化問題題,即求最值值.(4)三角函數(shù)數(shù)在物理理學(xué)中的的應(yīng)用.【典例5】已知某海海濱浴場場的海浪浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤≤t≤24,單位:小時(shí))的函數(shù),記作:y=f(t).下表是某某日各時(shí)時(shí)的浪高高數(shù)據(jù):t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀觀測(cè),y=f(t)的曲線可可近似地地看成是是函數(shù)y=Acosωωt+b的圖象.(1)根據(jù)以上上數(shù)據(jù),求出函數(shù)數(shù)y=Acosωωt+b的最小正正周期T?振幅A及函數(shù)表表達(dá)式;(2)依據(jù)規(guī)定定,當(dāng)海浪高度度高于1米時(shí)才可對(duì)對(duì)沖浪愛好好者開放.請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)內(nèi)的8：00到20：00之間,有多少時(shí)間間可供沖浪浪者進(jìn)行運(yùn)運(yùn)動(dòng)?[解](1)由表中數(shù)據(jù)據(jù),知周期T=12.∴ω=由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①①由t=3,y=1.0,得b=1.②②由①②得A=0.5,b=1,∴振幅為∴(2)由題知,當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖沖浪者開放放,∴∴∴∴2kπ-(k∈Z),即12k-3<t<12k+3(k∈Z).③∵0≤t≤≤24,故可令③中中k分別為0?1?2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤≤24.∴在規(guī)定時(shí)間間8：00至20：00之間,有6個(gè)小時(shí)的時(shí)時(shí)間可供沖沖浪者運(yùn)動(dòng)動(dòng),即9:00至15：00.錯(cuò)源一未未抓住平移移對(duì)象而致致誤【典例1】將函數(shù)的的圖圖象沿x軸向左平移移個(gè)單位,求所得圖象象的解析式式.[剖析]此題出錯(cuò)率率極高,主要原因是是未抓住函函數(shù)圖象平平移是針對(duì)對(duì)自變量x而言的.錯(cuò)源二伸伸縮變換中中記憶不準(zhǔn)準(zhǔn)而致錯(cuò)[剖析]“錯(cuò)解一”錯(cuò)在變換公公式記憶錯(cuò)錯(cuò)誤;“錯(cuò)解二”錯(cuò)誤較多,不僅變換公公式記憶錯(cuò)錯(cuò)誤,還不清楚變變換是針對(duì)對(duì)自變量x的.錯(cuò)源三抓抓不住對(duì)稱稱變換中針針對(duì)對(duì)象而而致錯(cuò)[剖析]錯(cuò)在前前也加了負(fù)負(fù)號(hào),將函數(shù)圖象象關(guān)于y軸對(duì)稱,只是在自變變量x前加負(fù)號(hào),其他處都不不變.[評(píng)析]若將函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于于y軸對(duì)稱,所得圖象的的解析式為為y=sin(-ωx+φ);若將函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于于x軸對(duì)稱,所得圖象的的解析式為為y=-sin(ωx+φ).技法“四看”解決圖象平平移問題一看:平移要求拿到這類問問題,首先要看題題目要求由由哪個(gè)函數(shù)數(shù)圖象平移移到哪個(gè)函函數(shù)圖象,這是判斷移移動(dòng)方向的的關(guān)鍵點(diǎn).一般題目會(huì)會(huì)有下面兩兩種常見的的敘述.[解析]上面兩題是是平移問題題兩種典型型的敘述方方法,粗看兩題好好像差不多多,其實(shí)兩題的的要求是不不同的.第(1)題是要把函函數(shù)y=sin2x移到而而第第(2)題是要把函函數(shù)移到y(tǒng)=sin2x,兩題平移的的要求不同同.第(1)題是基本形形式,應(yīng)該選D,而第(2)題是它的反反形式,故選C.[答案](1)D(2)C二看:函數(shù)形式我們?cè)诮鉀Q決這類問題題時(shí),一定要依賴賴y=Asin(ωx+φ)的形式,如果題目給給定的函數(shù)數(shù)不是這樣樣的形式,就要化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再考慮平移移.[解析]此題主要是是函數(shù)形式式的變化,我們所研究究的兩