初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：幾何的定值與最值(附練習(xí)題及答案)

初中數(shù)學(xué)賽：幾何的值與最值幾何中的定值問(wèn)題是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變幾元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類(lèi)問(wèn)題幾何定值問(wèn)題的基本方法是清題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下面何圖形中某個(gè)確定的(如線段長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積等最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：．特殊位置與極端位置法；．幾何定理公理)法；．?dāng)?shù)形結(jié)合法等．注幾中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競(jìng)賽中冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn)這是由于這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索(目標(biāo)不明確題需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維形合殊一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．【題解【例1】如，已知AB=10是線段AB上任一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為作等邊△APC和等邊，CD度的最小值為．思點(diǎn)如圖，作CC⊥AB于′⊥AB于D′⊥CC=DQ+CQ，DQ=

AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越，越，本例也可設(shè)AP=，x，代數(shù)角度探求CD的最小值．注從殊位置與極端位置的研究中易得到啟示能找到解題突破口特殊位置與極端位置是指：中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；端點(diǎn)處、臨界位置等．【例2】如，圓的半徑等于三角形的高，此圓在沿底邊AB滾動(dòng)，切點(diǎn)為T(mén)，交⌒AC、BC于M、N，對(duì)于所有可的圓的位置而言，為的度數(shù)（）A．從30°到60°變動(dòng)B．60°到90°動(dòng)C．保持30°不變．持60°變12222思點(diǎn)先慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時(shí)弧數(shù)證一般形而出判斷．注：幾何定值與最值問(wèn)題，一般是置于動(dòng)態(tài)背景下，動(dòng)與靜是相對(duì)的，我們可以研究問(wèn)題中的變量當(dāng)變化的元素運(yùn)到特定的位置圖變?yōu)閳D形時(shí)究的量取得定值與最值．【例】圖，已知平行四邊a

(>

b

)為邊上動(dòng)點(diǎn)，直線DPCB的線于Q，AP+BQ的最值思點(diǎn)

設(shè)

x

，把、BQ分

的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等式ab

(當(dāng)且僅當(dāng)ab

時(shí)取等號(hào)求最小值．⌒【例4如圖知等ABC內(nèi)于，劣AB上取于A、B點(diǎn)，設(shè)直線AC與BM交于K，直線CB與AM交點(diǎn)N證明：線段和的乘M點(diǎn)擇無(wú)關(guān)．思點(diǎn)即證一個(gè)定值，在圖形中ABC邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，明AB關(guān)，從圖知AB為△ABM△的共，一大的想而我們的證明目標(biāo)更加明確．1注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問(wèn)題．【例5】已△是角邊長(zhǎng)為等腰直角三角，它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰eq\o\ac(△,Rt)的邊，求直角邊長(zhǎng)的最大可能值．思點(diǎn)點(diǎn)在斜上或直角邊CA(CB)上，當(dāng)頂點(diǎn)Z在斜AB上時(shí)取xy的中點(diǎn)，通過(guò)幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點(diǎn)(AC或上時(shí)，設(shè)CX=

x

，CZ=y

，建立，的系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問(wèn)題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識(shí)方法求解．常見(jiàn)的解題途徑是：利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何最值；構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值．專(zhuān)訓(xùn)1．如圖，正方形ABCD的長(zhǎng)為1，點(diǎn)邊BC任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)C點(diǎn)合別過(guò)B、C、D作線AP的線垂足分別是B′、C、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)，PO=10在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R(均不同于點(diǎn)O)，則△的長(zhǎng)的最小值為．1．如圖，兩點(diǎn)A在線MN外同側(cè)A到MN距離AC=8，B到MN的離BD=5，CD=4，P在線MN上運(yùn)，則的大值等于．．如圖A點(diǎn)半圓上一個(gè)三等點(diǎn)B點(diǎn)弧AN的中P點(diǎn)是直徑MN上動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則AP+BP的小值(A．

22

C．2

D．5．如圖，圓柱的軸截面是長(zhǎng)為4的正形動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出沿圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中S的短距離()A．

2

B．

2

C．1

2

D．

26．如圖、已知矩形ABCD戶分別是DC上的點(diǎn)E分別是AP的點(diǎn)，當(dāng)P在上從B向C移而R不動(dòng)，那么下列結(jié)論成立的(A．線段EF的長(zhǎng)漸增大B線段EF的長(zhǎng)漸減小C．線段EF的長(zhǎng)不改變D．線段EF的不能確定7．如圖，點(diǎn)C是段AB上任一(C點(diǎn)不點(diǎn)重合，分別以AC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和邊三角形BCE，AE與CD相交點(diǎn)M，BD與CE相于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若AB的長(zhǎng)為l0cm當(dāng)C在段AB上移時(shí)是存在這樣的一點(diǎn)C使線段MN的度最長(zhǎng)若在，請(qǐng)確定C點(diǎn)的置并求出MN的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2002年南省中考題18．如圖，定長(zhǎng)的弦T在一以AB為直的半圓上滑動(dòng)ST的點(diǎn)P是S對(duì)AB作線的垂足，求證：不管ST滑到么位置，∠SPM是一定角．9．已知ABC是⊙的內(nèi)接三角BT⊙的切B為切P為線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平線交直線BT于，交直線AC于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)P在段AB上時(shí)(如圖)，求證PA·PB=PE·PF；當(dāng)點(diǎn)P為段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)第1)的結(jié)論還成立?如果成立請(qǐng)證明如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．圖，已知；邊長(zhǎng)為4的方形截去一角成為五邊形ABCDE，中AF=2，在AB上的一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大積，則矩形PNDM的面積最大值是()AB．12C．

252

D．1411如圖是半的直徑段CA上AB于點(diǎn)段DB上AB于BAB=2AC=1BD=3，P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則封閉形ACPDB的最大面積(A．

B．2

C．

D．3212．圖，在△ABC中，，AC=12，在邊AB、AC上分取點(diǎn)D、E，使線段DE將△分面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長(zhǎng)度．1．如圖是個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形U、V別是AB、CD上的，與DU相于點(diǎn)P，BV與CU相于點(diǎn)Q．四邊形PUQV面積的最大值．．利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇壇全部都能?chē)姷剿衙總€(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓問(wèn)如何設(shè)計(jì)求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、)，才能使矩形花壇的面積最?15．住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)八邊形居民廣(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與個(gè)相同矩(中陰影部)的面積的和為800平方米．(1)設(shè)矩形的邊AB=(米)，AM=y(米，含x的代數(shù)式表示為．(2)現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇均每平方米造價(jià)為2100元四個(gè)相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪平每方米造價(jià)為105元在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪均每平方米造價(jià)為40元設(shè)該工程的總造價(jià)為元，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任?若能，請(qǐng)列出設(shè)計(jì)